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1、综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥。
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意。主拱和副拱轮廓近似抛物线。
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱。这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡。
(1)、【模型建立】如图1，实践小组记主拱所在抛物线为副拱所在抛物线为以它们的对称中心为原点O建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为x轴，即和关于原点中心对称。通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点A、B间距离为米，则的顶点D的坐标为（0， ， 左交点A的坐标为 ， 0），抛物线的解析式为 ， 抛物线的解析式为；
(2)、【模型应用】实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于y轴对称的副拱和如图2，和所在抛物线关于点P（m，0）对称，且恰好经过C1的顶点D，请求出左副拱所在抛物线的解析式；
(3)、在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索EF，所在直线为y=x+n，如图3，要求斜拉索EF和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线y=x+n至少要与和各有一个交点，求出n的取值范围. -
2、如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD.
(1)、判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由.(2)、若AB=5，AD=4，求⊙O的半径长.(3)、尺规作图：作∠A的角平分线AE（点E在线段BD上）。 -
3、某景区需购买A，B两种帐篷，已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.(1)、A，B两种帐篷的单价各是多少元?(2)、若该景区需要购买A，B两种帐篷共20顶（两种帐篷均需购买），且购买B种帐篷的数量不少A种帐篷数量的 ， 则购买A，B两种帐篷各多少顶时，总费用最低?最低总费用是多少元?
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4、 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量.某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x<70，B.70≤x<80，C.80≤x<90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100.
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89.
九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
八年级
89
90
a 九年级
89
b 92
根据以上信息，解答下列问题：
(1)、填空：m=；a= ， b=；(2)、根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好?请说明理由；（写一条）(3)、该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率. -
5、计算：
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6、如图，点E是矩形ABCD的边CD的中点，以点D为圆心，DE长为半径作弧，交AD于点F，若矩形ABCD的面积为8，则图中扇形EDF的面积为.
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7、如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若则AF=.
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8、如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数的图象交于A、B两点，当x>0时，请利用函数图象直接写出不等式的解集是
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9、将函数的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为
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10、若是整数，则n的值可以是（写出一个即可）
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11、一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象。如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（ ）
A、2m B、4m C、 D、 -
12、我国古代计算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（ ）A、 B、 C、 D、
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13、已知直线a//b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC=30°，∠ACB=90°）按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A、60° B、50° C、45° D、40° -
14、下列各式计算正确的是（ ）A、3a（1-a）=3a-3a2 B、 C、 D、
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15、概念学习：若三角形的有一组邻边之比为 ， 则称该三角形为 倍比三角形.(1)、【概念辨析】
下列三角形是 倍比三角形的是.
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有角的直角三角形；④直角边分别为和 的直角三角形；
(2)、【问题探究】小明想研究 倍比三角形，发现有点困难，他先尝试从特殊情况出发，用几何画板画出一个特殊的2倍比三角形 ABC，其中 ， ， 当他试着让点 动起来时发现 点始终在一个圆上运动.
好奇的小明想该如何用数学的方法证明C在圆上运动呢，这时他想到：既然△ABC的 ， 那我好像可以以AC和BC为对应边构造一组相似三角形。于是他延长AB至点D，使得∠DCB=∠DAC·····，所以C在以D为圆心，CD长为半径的圆上。
请你顺着小明的思路，求出 点所在圆的半径.
(3)、【拓展研究】①从特殊到一般：若 是 倍比三角形， ， ， 请求出点 所在圆的半径(用 k，c 表示).
② 为 倍比三角形， ， 将点 绕点 逆时针旋转得到点 ， 连接 BD，若 ， ， 直接写出 AC 的长为_▲_.
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16、问题解决：
【实际情境】
深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线(下列出现的无人机只向右飞行).
【数学建模】
无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面 ， 起飞点 和降落点 (都在水平地面上)的距离为 ， 以 为原点，OE 所在直线为 轴，过点 与水平地面垂直的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)、求抛物线 C 的关系式；(2)、【问题解决】无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ， 才能安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形 ABDE，其中 ， ， ， .无人机乙原计划从距离 AB 左侧的 点 处起飞(其飞行轨迹抛物线 C' 与抛物线 的形状和最高点距地面的高度均相同)，发现不能安全越过障碍物.若该公司人员在起飞点 处放置一个平台，无人机乙从平台上的点 轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线 C''.
①求该平台的高度 MN；
②求当 时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在 相同时的最大高度差.
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17、(9分)如图， 是 的外接圆，.
(1)、尺规作图：作出点 使得四边形 ABCD是平行四边形；(2)、求证：CD 是 的切线；(3)、 CB 与 交于点 ， 若 ， ， 求 的半径. -
18、(9分)APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料.已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元.(1)、求帆布袋与染料的单价；(2)、制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个.若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？
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19、(8分)深圳教育秉承"以万物为教材、把世界作课堂"的核心理念，某校八年级开展"每周半天"计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现对八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)、此次抽样调查共有人；(2)、补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为__▲__；(3)、若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人；(4)、该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率. -
20、先化简，再求值 ， 其中