相关试卷

1、
【教材呈现】：
已知 $M$ 是含字母 $x$ 的单项式，要使多项式 $4 x^{2} + M + 1$ 是某个多项式的平方，求 $M$ ．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当 $M$ 为含字母 $x$ 的一次单项式时，原式可以表示为关于 $x$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = {(2 x)}^{2} + M + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}, ∴ M = \pm 2 \times 2 x \cdot 1 = \pm 4 x$ ；
当 $M$ 为含字母 $x$ 的四次单项式时，原式可以表示为关于 $x^{2}$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = M + 2 \times 2 x^{2} \cdot 1 + 1^{2} = {(2 x^{2} + 1)}^{2}, ∴ M = 4 x^{4}$ ．
综上所述， $M$ 为 $4 x$ 或 $- 4 x$ 或 $4 x^{4}$ ．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式： $4 x^{2} \pm 4 x + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}; 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ ，
观察等式左边多项式的系数发现： ${(\pm 4)}^{2} = 4 \times 4 \times 1$ ．
②结合多项式的因式分解又如：
$16 x^{2} + 24 x + 9 = {(4 x + 3)}^{2}; 9 x^{2} - 12 x + 4 = {(3 x - 2)}^{2}$ ，
发现这两个多项式的系数规律： $24^{2} = 4 \times 16 \times 9, {(- 12)}^{2} = 4 \times 9 \times 4$ ．
③一般地：若关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数）是某个含 $x$ 的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________；
【解决问题】
（2）若多项式 $9 y^{2} + 4$ 加上一个含字母 $y$ 的单项式 $N$ ，就能表示为一个含 $y$ 的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式 $N$ ，并对 $9 y^{2} + 4 + N$ 进行因式分解；
（3）若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 (m - 3) x + (m^{2} + 3 m)$ 是一个含 $x$ 的多项式的平方，求实数 $m$ 的值．

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2、综合与实践

主题	2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案
信息1	为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台．
信息2	某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台．
信息3	采购完成后，设备供应商赠送n张（ $6 \leq n \leq 9$ 且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元．

(1)、探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价．

(2)、计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果）

(3)、确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案．

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3、如图，在直角坐标系内，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (- 3, 4)$ ．

(1)、点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点 $C$ 的坐标是___________；点 $B$ 关于原点对称的点 $D$ 的坐标是___________．

(2)、如图1，线段 $A B$ 绕着点 $M$ 逆时针旋转一定的角度得到线段 $A_{1} B_{1}$ ，若 $A$ 的对应点为 $A_{1}, B$ 的对应点为 $B_{1}$ ，请在图1中用无刻度直尺作出旋转中心 $M$ （不写作法，保留作图痕迹）．

(3)、如图2，在公路 $l$ 的同侧，有两个居民小区 $E 、 F$ ，现需要在公路边建一个长度为 $s$ 米绿化长廊 $G H$ ，要使 $G$ 到小区 $E$ 的距离与 $H$ 到小区 $F$ 的距离和最短，请在图2中用无刻度直尺作出绿化长廊 $G H$ 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, E, F$ 分别是 $B C ， A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点 $D$ ，使 $A D = \frac{1}{2} A B$ ．连接 $D F ， A E ， E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是平行四边形；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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5、小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为 $\frac{1}{x - 3}$ ．

(1)、求被墨水污染的部分；

(2)、小明认为当 $x = 4$ 时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？

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6、计算

(1)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (x + 1) > x - 1, \\ \frac{x + 5}{2} > 3 x . \end{array}$

(2)、因式分解： $a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (y - x)$

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7、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ，以 $B C$ 为斜边向 $△ A B C$ 内部作等腰直角 $△ B D C$ ，过直角顶点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于 $F, D E ⊥ A B$ 于 $E, D F = 1, A F = 2$ ，则线段 $D E$ 的长度为．．

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8、如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框 $A B C D$ ，固定边 $B C$ 在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花 $E F G H$ ．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形 $E F G H$ 的面积（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）．

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9、如图， $A B C D$ 是一张长方形纸片，且 $A D = 2 A B$ ，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在 $B C$ 上（如图中的点 $A^{'}$ ），折痕交 $A B$ 于点G，那么 $∠ A D G =$ ．

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10、关于 $x$ 的方程 $\frac{k}{x} - 1 = 0$ 的解为2，则 $k$ 的值为．

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11、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O A B = 90 °$ ， $A O = A B$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $A$ 在第一象限内，将 $△ O A B$ 沿 $O$ 到 $A$ 的方向平移 $6$ 个单位至 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 的位置，则点 $B^{'}$ 的坐标为（　　）

A、 $(8, 3 \sqrt{2})$ B、 $(2 + 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ C、 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ D、 $(2, 3 \sqrt{2})$

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12、如图，某市三个城镇中心 $A$ ， $B$ ， $C$ 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆（图示中的实线），以城镇中心 $A$ 为出发点设计了三种连接方案，记所需光缆的长度分别为 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ ，对于 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ ，它们之间的关系正确的是．（　　）

A、 $L_{1} > L_{2} > L_{3}$ B、 $L_{3} > L_{2} > L_{1}$ C、 $L_{1} > L_{3} > L_{2}$ D、 $L_{3} > L_{1} > L_{2}$

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13、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ， $∠ B = 120 °$ ． $B C$ 、 $A B$ 的中垂线 $D E$ 、 $F H$ 分别交 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 于D、E、F、H．若 $A H = 6$ ，则 $C E$ 的长度是（　　）

A、3 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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14、如图，这是一款手推车的平面示意图，其中 $A B ∥ C D, ∠ 1 = 36 °, ∠ 2 = 86 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（　　）

A、 $104 °$ B、 $128 °$ C、 $130 °$ D、 $156 °$

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15、如图，在四边形 $A C D B$ 中， $A B ∥ C D$ ，添加下列条件后，不能判断四边形 $A C D B$ 是平行四边形的是（　　）

A、 $B D ∥ A C$ B、 $A B = C D$ C、 $A D = B C$ D、 $∠ B = ∠ C$

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16、下列四个多项式，能因式分解的是（　　）

A、 $a - 1$ B、 $a^{2} + 1$ C、 $x^{2} - 4 y$ D、 $x^{2} - 16 x + 64$

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17、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $∠ A D C = 60 °$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ 是等边三角形．

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = m (0 < m < 1)$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连结 $O E$ ．
①若 $m = \frac{1}{2}$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积；
②设 $\frac{S_{四边形 O E C D}}{S_{△ A O D}} = k$ ，试求 $k$ 与 $m$ 之间满足的关系．

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18、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 是否为“邻根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 是“邻根方程”，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0 (a > 0)$ 是“邻根方程”，令 $t = 12 a - b^{2}$ ，试求 $t$ 的最大值．

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19、在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为 $\bar{v} = \frac{10 + 30}{2} = 20$ （米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即 $s = \bar{v} t$ ）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．

(1)、小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了 $t$ 秒后小球的速度为________米/秒．

(2)、小球从开始到滚动21米用了多少秒？

(3)、小球在最后一秒滚动了多少米？

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于点 $F$ ， $A E = 4$ ， $A F = 6$ ．若 $F$ 刚好是 $C D$ 的中点，则 $A D =$ ．

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