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1、下列实数中，比 $- 2$ 小的数是（）

A、 $- 3.5$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 $x$ 轴交于 $A, C$ 两点．（ $A$ 点在 $C$ 点右侧），与 $y$ 轴交于点 $B$ ，已知抛物线的顶点为 $D (1, \frac{9}{2})$ ， $O B = 4$ ．过 $A$ ， $B$ 两点作直线 $l$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知直线 $y = t$ 在点 $D$ 下方、将抛物线在直线 $y = t$ 上方的部分沿直线 $y = t$ 翻折，使点 $D$ 落在点 $E$ 处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案；
①当 $t = 4$ 时，在图形 $M$ 位于 $x$ 轴上方的部分是否存在点 $H$ ，使得 $S_{△ A C H} = 6$ ？若存在，求点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部（含边界）时，求 $t$ 的取值范围．
③当 $t = 0$ 时，将直线 $l$ 向下平移 $n$ 个单位长度，得到直线 $l^{'}$ ，当直线 $l^{'}$ 与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出 $n$ 的值．

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3、【情境】如图1，有一张 $▱ A B C D$ 的铁板，经测量可知 $A B = 6$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $▱ A B C D$ 的面积为24．
【操作】点 $P$ 是 $B D$ 上的一动点（点 $P$ 与点 $B$ ， $D$ 不重合）．将平行四边形铁板分别沿 $B D$ ， $A P$ 剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）．

(1)、【探究】问题1：在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D C =$ ______ $°$ ；

(2)、问题2：当切割线 $A P$ 与 $B D$ 相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定 $P$ 点位置；（不写作法，保留作图痕迹）

(3)、【拓展】问题3：当点 $P$ 是 $B D$ 的中点时，求 $A P$ 的长；

(4)、问题4：当点 $P$ 在 $B D$ 的什么位置上时， $M N$ 的长最小？请求出这个最小值．

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4、杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆 $A B$ 的端点 $A$ 处，提纽固定在点 $O$ 处，秤砣悬挂的位置记为点 $C$ ．杆秤称物符合杠杆原理“动力 $\times$ 动力臂 $=$ 阻力 $\times$ 阻力臂”．
设秤盘的质量为 $50 g$ ，秤砣的质量为 $200 g$ ，物体的质量为 $m$ ， $O A = l_{0}$ ， $O C = l$ ．根据杠杆原理、可得： $l_{0} \times (50 + m) = l \times 200$ ．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点 $B$ 处．）

(1)、已知一款秤杆长度 $A B = 55 cm$ ，提纽到秤盘固定点距离 $O A = 4 cm$ ；
①根据题意，求出 $l$ 关于 $m$ 的函数表达式；
②在秤杆 $A B$ 上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点 $O$ 之间的距离；

(2)、在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为 $550 g$ ，若该物体的实际质量为 $580 g$ ，求生锈秤砣的质量；

(3)、若杆秤可用长度 $A B = 100 cm$ ，为保证杆秤的最大刻度不小于 $2 kg$ ，请计算 $O A$ 的取值范围．

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5、某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作 $⊙ O$ ，摩天轮依靠等腰三角形 $O C D$ 钢架支撑固定于地面 $M N$ 上，如图2所示，已知 $O C = O D = 79 m$ ， $∠ O C D = 65 °$ ，轿厢旋转至最低点 $A$ 距离地面高度为 $16 m$ ，摩天轮匀速旋转一圈用时 $27 min$ ．

(1)、求支架固定点 $O$ 距离地面的高度；（ $sin 65 ° \approx 0.91$ ， $cos 65 ° \approx 0.42$ ， $tan 65 ° \approx 2.14$ ，结果保留整数）

(2)、某轿厢从点 $A$ 出发， $9 min$ 后到达点 $B$ ，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留 $π$ ）

(3)、要在摩天轮上安装一条彩灯 $E F$ （ $E F$ 为线段，如图3），彩灯 $E F$ 到劣弧 $E F$ 的中点 $G$ 的距离为 $14 m$ ，求彩灯 $E F$ 的长度．

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6、“ $AI$ 赋能，改变生活”， $AI$ 行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款 $AI$ 软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和 $m$ 名各行业普通使用者做评委，对甲款 $AI$ 软件的使用效果进行评分（评分用 $x$ 表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：
a．软件工程师评分：82 83 85 88 90 90 90 91 95 96
b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组： $80 \leq x < 84$ ， B组： $84 \leq x < 88$ ， C组： $88 \leq x < 92$ ， D组： $92 \leq x < 96$ ， E组： $96 \leq x \leq 100$ ，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图．
c．评委评分平均数、中位数、众数如下表：

平均数
中位数
众数
软件工程师评分
$a$
90
$c$
普通使用者评分
91
$b$
91
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、 $m =$ _____， $a =$ _____， $c =$ _____；

(2)、b的值位于____组，请补全频数分布直方图；

(3)、在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____ $°$ ；

(4)、为了让使用者对 $AI$ 软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和 $m$ 名普通使用者考察乙款 $AI$ 软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款 $AI$ 软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占 $40 %$ ，普通使用者打分（平均数）占 $60 %$ ，确定甲、乙两款 $AI$ 软件的最终得分，如果只比较两款 $AI$ 软件的最终得分，请通过计算说明哪款 $AI$ 软件更受欢迎？

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点 $H$ 为 $B D$ 中点，直线 $E F$ 分别交 $D A$ ， $B C$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ，分别交 $A B$ ， $B D$ ， $D C$ 于点 $G$ ， $H$ ， $I$ ．

(1)、求证： $△ D E H ≌ △ B F H$ ；

(2)、若 $G 、 H 、 I$ 为 $E F$ 的四等分点，当 $A D = 6$ 时，求 $A E$ 的值．

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8、“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
表1

表2

表3
4
$- 3$
2

$x + 3$

$x + 1$

1
$- 1$
8
$- 1$
？
3

$x$
$x + 2$
$- 16$
$n$
$- \frac{1}{4}$
0
5
$- 2$
$x - 1$

$x - 3$
$\frac{1}{2}$
$m$
4
根据题意回答：

(1)、表1三阶幻方中间的数字是_____；

(2)、设表2三阶幻方中间的数字是 $x$ ，
①用含 $x$ 的代数式表示幻方中9个数的和；
②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；
③求第一行中间的代数式；

(3)、类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求 $m^{n}$ ．

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9、计算、解不等式组：

(1)、 $2 cos 30 ° + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x > - 6 \\ 2 x - 1 \leq x + 2 \end{array}$ ．

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10、如图，线段 $A B = 6$ ，点 $M$ 从点 $A$ 出发，点 $N$ 从点 $B$ 出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线 $A B$ 运动，其中 $M$ 向点 $B$ 运动， $N$ 向点 $A$ 运动，两点分别到达点 $B$ 、点 $A$ 时停止运动．以 $A M$ 为一边的矩形面积 $A M C D$ 始终为6．设点 $M$ 的运动时间为 $t (t > 0)$ 秒， $M N$ 之间的距离为 $y_{1}$ ， $A D$ 的长度为 $y_{2}$ ．在平面直角坐标系中，以 $t$ 为横坐标、 $y$ 为纵坐标，得到 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 随 $t$ 变化的图像．当 $1 \leq t \leq 6$ 时，设这两个函数的图象与直线 $y = 6$ 所围成的封闭图形为 $G$ （包括边界）．在封闭区域 $G$ 中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在 $y_{1}$ 或 $y_{2}$ 图像上的个数为个．

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11、如图， $M 、 N$ 分别是数轴上的两点， $M$ 点表示的数是 $- 15$ ， $N$ 点表示的数是5．定义：已知点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一个点，若点 $C$ 到线段两个端点的距离之比为 $1 : 4$ ，则称点 $C$ 为线段的“理想点”．则线段 $M N$ 的“理想点” $P$ 表示的数为．

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12、如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为 $10 cm$ ，则折成立方体的棱长为（）

A、 $2 \sqrt{2} cm$ B、 $2 \sqrt{3} cm$ C、 $\frac{9}{2} cm$ D、 $\frac{21}{5} cm$

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，点 $F$ 为 $B C$ 边上一点，将 $△ A B F$ 翻折，使点 $B$ 落在 $C D$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $A F$ ．点 $H$ 为 $C D$ 边上一点，将 $△ A D H$ 翻折，使点 $D$ 落在 $A E$ 边上的点 $G$ 处，折痕为 $A H$ ，则 $E H + E F =$ （）

A、 $\frac{25}{3}$ B、8 C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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14、如图，正六边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的边长为2，正六边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} E_{2} F_{2}$ 的外接圆与正六边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的各边相切，正六边形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} E_{3} F_{3}$ 的外接圆与正六边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} E_{2} F_{2}$ 的各边相切……按这样的规律进行下去， $A_{5} B_{5} C_{5} D_{5} E_{5} F_{5}$ 的边长为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{11}$ D、1

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15、《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟 $= 1$ 圭，10圭 $= 1$ 撮，10撮 $= 1$ 抄，10抄 $= 1$ 勺，10勺 $= 1$ 合，则9合为（）

A、 $5.4 \times 10^{4}$ 粟 B、 $5.4 \times 10^{5}$ 粟 C、 $9 \times 10^{4}$ 粟 D、 $9 \times 10^{5}$ 粟

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16、如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在 $D$ 座位，陪餐老师和学生乙在 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知 $a$ 、 $b$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、 $- \frac{7}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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18、如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线 $O A$ 经平面镜后反射入眼；若 $C B ∥ O A$ ； $∠ C B O = 122 °$ ， $∠ B O N = 90 °$ ，则入射角 $∠ A O N$ 的度数为（）

A、 $22 °$ B、 $31 °$ C、 $32 °$ D、 $35 °$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D E$ 上的点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、1.5 C、1.6 D、2

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20、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot 4 a^{2} = 4 a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $x^{2} + x^{3} = 2 x^{6}$ D、 ${(- 2 a b^{2})}^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$

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	平均数	中位数	众数
软件工程师评分	$a$	90	$c$
普通使用者评分	91	$b$	91

表1			表2			表3
4	$- 3$	2	$x + 3$		$x + 1$	1	$- 1$	8
$- 1$	？	3		$x$	$x + 2$	$- 16$	$n$	$- \frac{1}{4}$
0	5	$- 2$	$x - 1$		$x - 3$	$\frac{1}{2}$	$m$	4