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1、筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)、图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O， ， 垂足为点O， ． 则的度数为___________．(2)、图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若 ， 则与所在的直线存在的位置关系是___________．(3)、图3为“丁字型”抓法及示意图， ， 射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H．①若 ， ， 求的度数．
②若 ， 当 ， 垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．
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2、为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片．
(1)、该明信片的边长为__________；(2)、制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为 ， 面积为 ， 请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． -
3、如图，先将三角形向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形 ．
(1)、画出经过两次平移后的图形，并写出、、的坐标；(2)、已知三角形内部一点P的坐标为 ， 若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为 ， 请直接写出a，b的值；(3)、求三角形的面积． -
4、计算：
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5、如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为 ， ， ， ， ， ， ， 并将 ， ， ， ， ， ， 顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点 ， 且 ，
， ， 则的度数为 ．
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6、实数 ， 是连续整数，如果 ， 那么的值是( )A、 B、 C、 D、
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7、如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
8、如图，直线 ， 若 ， 则的度数是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
9、如图 ， 已知的半径为3，弦 ， C是上一点（不与点A，B重合），连接 ， 以 ， 为边作平行四边形 ．
(1)、如图1，当经过圆心O时，求的值；(2)、如图2，当时，求劣弧的长；(3)、如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离；(4)、直接写出点B与点D的最大距离． -
10、如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系，单位长度为1 ． 从y轴上的点P处伸出两枝麦穗，这两枝麦穗分别看作抛物线（点P与点M之间的部分）：（）和抛物线（点P与点N之间的部分）：（），其中m，n都为常数，且 ． 抛物线的顶点距离麦秆的水平距离为1 ， 点M到地面的距离为 ．
(1)、在图2中画出x轴，并求抛物线的解析式；(2)、求m的值；(3)、①若将抛物线经过平移得到抛物线 ， 通过计算写出一种合理的平移路径；②一只小蚂蚱原地竖直向上最高能跳到2的高度，当它从点O出发，沿x轴正方向前进a后，恰好能跳到麦穗或上，直接写出a的取值范围．
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11、
综合与实践
【模型】如图1， ， 、相交于点O，且O为的中点．
（1）求证：；
【情境】有一块边缘不规则的余料，其中 ， 点E、F分别在、上，且平分不规则图形的面积，现计划作出一条最短的分割线 ， 使仍可以平分不规则图形的面积，下面是淇淇解决问题的思路．
如图2，淇淇的思路如下：
①作的垂直平分线与交于点O；
②过点O作 ， 垂足为M；
③延长与交于点N，即为所求．
【探究】
（2）在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的符合要求．
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12、如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点 ， 直线：与轴交于点 ， 、与直线分别交于 ， 两点，其中 ．
(1)、当直线经过点时：①求直线的解析式；
②平行于轴的直线交直线于点 ， 交直线于点 ， 且点在点的左侧．当时，求的值．
(2)、设直线、交于点 ， 直接写出的值． -
13、从2025年春晚的《秧》到2026年春晚的《武》，我国生产制造的机器人通过高精度技术实现精准动作，展现了“人机共舞”的盛宴．已知某型号机器人小腿 ， 大腿 ， 上半身（含头部） ， 手臂 ， 现将该型号机器人应用于篮球运动，图1和图2分别展示了投篮过程中的起跳和投篮动作．
(1)、如图1，该机器人在投篮起跳时腿部弯曲，使 ， 的延长线经过点A，且与地面相互垂直，求此时机器人头顶D到地面的距离；(2)、机器人由（1）的状态起跳后投篮，如图2，点A，B，C，D，E在同一直线上，且始终保持与地面互相垂直，此时 ， 点A到地面的高度为30，点F到地面的高度为270，通过以上数据求机器人头部的长．（参考数据：取 ， 取） -
14、随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生对于无人机技术的了解情况，某地区开展了无人机技术科普竞赛，现随机抽取40名学生的竞赛成绩（满分10分）并进行统计，得到了如图所示的不完整的条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)、补全条形统计图，抽取学生的竞赛成绩的中位数是 分，众数是 分；(2)、求抽取学生的竞赛成绩的平均数；(3)、若共有800名学生参加本次科普竞赛，成绩不低于9分的均可获得“无人机科普小先锋”称号，试估计此次科普竞赛获得此称号的学生人数． -
15、河北省教育厅制定《全面提升中小学生体质健康水平若干措施》，为确保学生每天综合体育活动时间不低于2小时，某校计划购进一批羽毛球拍和羽毛球．已知一副羽毛球拍元，一个羽毛球5元，商店有两种优惠方案：
方案一：买一副羽毛球拍送一个羽毛球；
方案二：按总价的付款．
现该校计划购买4副羽毛球拍，x个羽毛球．
(1)、当时，通过计算判断选择哪种方案更优惠；(2)、要使选择方案二比方案一更优惠，求x的最小值． -
16、因式分解或化简(1)、因式分解： ；(2)、因式分解：；(3)、直接写出的化简结果．
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17、已知P，Q两个点在数轴上做匀速运动，其中点Q比点P晚出发 ， 程序从点P出发时开始计时记录了同一时刻两点对应在数轴上的位置（如下表）．当点P到点Q的距离为20时，点P所对应的数为 ．
时间t（）
0
4
……
点P在数轴上的位置
10
……
点Q在数轴上的位置
2
……
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18、传统文化 北宋时期的《营造法式》是我国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合．如图是利用2个正方形和4个形状、大小完全一样的菱形设计的图案，则的值为 ．
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19、化简： ．
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20、2026年“中国水周”（3月22日－28日）的主题为“国家水网 世纪画卷”．某地提出“科学饮水，共享健康”的倡议，如图是水杯的截面图，已知 ， 线段a表示一根吸管，若 ， 则 ．
