相关试卷

1、有一些涉及三角形的数学问题，需要通过延长三角形某一边的中线，从而构造全等三角形进行解决.

(1)、【方法体验】
如图1，在△ABC中， BC=6，点D为AC中点，若BD=4， BD⊥BC，求AB的长.为解决此问题，小张延长BD至点 E，使得 DE=DB，连接AE，如图2，容易得到△BCD≌△EAD，可通过勾股定理求出线段AB的值，则AB=.

(2)、【问题解决】
如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 D为斜边 AC中点，点E在线段 BC上，连接DE，过点 D作 DF⊥DE交线段 AB于点 F，连接 EF，求证： $E F^{2} = A F^{2} + C E^{2} .$

(3)、【拓展应用】
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点D为斜边 AC中点，点E在CB的延长线上，连接DE，过点 D作 DF⊥DE交射线 BA于点 F，当BE=AF时，求此时AF的长.

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2、阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 $\frac{3}{\sqrt{5}} 、 \sqrt{\frac{2}{3}} 、 \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3}{5} \sqrt{5};$ (Ⅰ)
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} (I I)$
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1 . (I I I)$
以上这种化简的步骤叫做分母有理化. $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1 .$ (Ⅳ)

(1)、请用不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} .$
①参照(Ⅲ)式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} =$ ．
②参照(Ⅳ)式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} =$ ．

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} .$

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3、如图，在三角形支架中， AD⊥BC，垂足为 D，AB=2m， AC=1.5m，DC=0.9m.

(1)、求 BD的长；

(2)、判断支架外框△ABC的形状，并说明理由.

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4、如图，方格纸中每个小方格的边长均为1.

(1)、在方格纸上，以线段AB为边长画正方形，求所画正方形的面积，并解释你的计算方法：

(2)、请在方格纸上分别画出面积为5，10，13的正方形.

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5、已知3a+1的立方根是-2，a+2b的算术平方根是3，c是 $\sqrt{17}$ 的整数部分.

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求 a+4b-c的平方根.

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6、如右上图所示，长方形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为cm.

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7、如下图一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于米.

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8、计算 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2025} {(\sqrt{2} - 1)}^{2026} =$ .

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9、如上图，Rt△ABC中，∠B=90°，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作 AD⊥CE，垂足为D，若AD=7，AB=20，BC=15.记△ADE的面积为 S₁ ， △BCE的面积为 S₂ ，则S₂-S₁的值为( )

A、56 B、66 C、74 D、84

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10、如下图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm.

A、6 B、8 C、10 D、12

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11、如下图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D，若AB=BC=17， AD=8，则CD的长为( )

A、2 B、3 C、4 D、5

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12、下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )

A、 $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ B、∠A：∠B：∠C=5：12：17 C、∠A+∠B=∠C D、 $A B = 1, B C = \sqrt{2}, A C = \sqrt{5}$

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13、在实数0，- $\sqrt{2}$ ， $\frac{22}{7}$ ， -2π， $\sqrt[3]{27}$ ， 1.101001000.... (相邻两个1之间0的个数依次加1)中，无理数的个数有( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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14、数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程：
已知 $\frac{b}{a - 1} \cdot (Δ - \frac{1}{b}) = a + 1$ ，求“Δ”．
解：根据题意可得， $Δ - \frac{1}{b} = (a + 1) \cdot \frac{a - 1}{b}$ ， …第一步 $Δ = (a + 1) \cdot \frac{a - 1}{b} - \frac{1}{b} \dots$ 第二步
$Δ = \frac{a^{3} - 1}{b} - \frac{1}{b}$ ， …第三步
$Δ = \frac{a^{2} - 2}{b}$ ． …第四步

(1)、以上过程是从第　二步开始出现错误的，请写出正确的解答过程；

(2)、若a＝2×10^﹣² ， b＝2×10³ ，求正确的“Δ”的值．

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15、设A＝（ $+ \frac{2}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x + 1}{x - 1}$ ，其中“”遮盖了一个关于x的最简分式．

(1)、若“”部分是 $\frac{1}{x - 1}$ ，请化简A ，并求当 $x = \frac{1}{2}$ 时A的值；

(2)、若化简后 $A = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ ，求被“”遮盖的分式．

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16、小嘉在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算过程，并用黑板擦遮住了其中的一部分，然后让琪琪来解答，该等式为 $(■ + \frac{5}{3 - x}) \times \frac{x + 3}{2 x} = \frac{x + 3}{x - 3}$ ．

(1)、求被黑板擦遮住部分的代数式．

(2)、原分式运算的结果能等于﹣1吗？请说明理由．

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17、先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} + a b} \div (a - \frac{b^{2}}{a})$ ，其中a ， b满足 $\sqrt{a - 2} +$ |b+1|＝0．

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18、先化简 $(1 - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{2}{a^{2} - 4}$ ，再从﹣2，0，1中选一个合适的数代入求值．

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19、已知（x^m）ⁿ＝x^﹣³ ，（3^m）²•9ⁿ＝27，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值是．

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20、美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即 $\frac{x^{2} - 4}{3 x^{2} - 2 x y} \div ■$ ．通过查看答案，得知答案为 $\frac{x + 2}{3 x - 2 y}$ ，则被污染的式子为（　　）

A、 $\frac{2}{x + 2}$ B、 $\frac{2 - x}{x}$ C、 $\frac{x - 2}{x}$ D、 $\frac{2 + x}{x}$

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