相关试卷

1、【感悟】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A = 30 °, B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 与点D；若 $C D = 2$ ，则 $A D =$ ；
【探究】
（2）如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 ° ， B D$ 平分 $∠ A B C ， C E ⊥ B D$ ，垂足E在 $B D$ 的延长线上，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线与F点，求证： $B D = 2 C E$ ；
【拓展】
（3）如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 90 °$ ，点D在线段 $B C$ 上， $2 ∠ F D C = ∠ A C B ， C F ⊥ D F$ ，垂足为 $F ， D F$ 交 $A B$ 与E点，试探究线段 $C F$ 与 $D E$ 的数量关系，并证明你的结论．

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2、如图1，将边长 $(a + b)$ 的正方形剪出两个边长分别为 $a ， b$ 的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：

(1)、用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：；方法2：；从中你发现什么结论呢：

(2)、根据上述结论，初步解决问题：已知 $a + b = 6, a^{2} + b^{2} = 20,$ 求 $a b$ 的值；

(3)、解决问题：如图2，C是线段 $A B$ 上一点，以 $A C ， B C$ 为边向两边作等腰直角三角形，记 $S_{Rt △ A C D} = S_{1}, S_{Rt △ C B E} = S_{2},$ 若 $A C + B C = 8, S_{1} + S_{2} = 25,$ 求图中阴影部分的面积．

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3、阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解： $a^{2} + 6 a + 8 ．$
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1 = {(a + 3)}^{2} - 1 = (a + 3 - 1) (a + 3 + 1) = (a + 2) (a + 4)$
例2：若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2,$ 利用配方法求M的最小值．
解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 = {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$
$∵ {(a - b)}^{2} \geq 0, {(b - 1)}^{2} \geq 0$
∴当 $a = b = 1$ 时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $x^{2} - 16 x + 60$ ；

(2)、求代数式 $- x^{2} + 14 x + 10$ 的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；

(3)、已知 $a ， b ， c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 a b + 4 b + 6 c - 13$ ，试判断三角形的形状．

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4、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $B ， E ， C ， F$ 在同一条直线上，已知： $A B = D E$ ，下列给出三个条件： $① A C = D F ； ② ∠ A B C = ∠ D E F ； ③ B E = C F$ ．解答下列问题：

(1)、请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：
我选择作为已知条件，作为结论（填写序号）．

(2)、在（1）的条件下，若 $A D ∥ B F ， A C$ 与 $D E$ 相交于点 $O ， ∠ A B C = 55 ° ， ∠ D A C = 48 °$ ，求 $∠ C O E$ ．

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5、为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进 $A ， B$ 两种文创饰品对游客销售．已知 $B$ 种的单价比 $A$ 种单价的 $2$ 倍少 $5$ 元，用 $400$ 元购买 $A$ 种的数量与用 $700$ 元购买 $B$ 种数量相等．

(1)、求 $A ， B$ 饰品每件的进价分别为多少元？

(2)、该商铺计划共购进 $80$ 个 $A ， B$ 两种文创饰品，购买总费用不超过 $2365$ 元，且 $B$ 种文创饰品的购买数量不少于 $A$ 种文创饰品购买数量的 $\frac{3}{2}$ ．问：共有哪几种购买方案？

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ C D E ≌ △ B D A$ ；

(2)、若 $∠ B A D = ∠ C A D ， A C = 4$ ，求 $C E$ 的长．

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7、平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 的四个顶点坐标分别为： $A (- 2, 3)$ ， $B (- 1, 1)$ ， $C (2, 2)$ ， $D (2, 3)$

(1)、请在平面直角坐标系中，标出 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点并连接起来；

(2)、若四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与 $A B C D$ 关于 $x$ 轴对称，画出四边形 $A B C D$ 的对称图形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

(3)、求四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积．

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8、先化简 $(1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{2 x - 2}$ ，在从 $- 2$ ， $1$ ， $0$ ， $2$ 选取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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9、（1）计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(2025 - π)}^{0} - \sqrt[3]{- 27}$
（2）小星解分式方程： $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 的过程如下：
解：方程两边乘 $(x - 2)$ ，得： $1 + 3 x - 6 = x - 1$ ···第一步
解得： $x = 2$ ···第二步
检验：当 $x = 2$ 时， $(x - 2) = 0$ ···第三步．
所以，原分式方程无解．···第四步
请你指出小星从第（）步开始出现错误，并写出完整的解题过程

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10、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，若点 $G$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A G$ ，以 $A G$ 为边作等边三角形 $A G M$ ，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，求 $C M$ 的最小距离为．

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11、对于两个非零的实数 $a ， b$ ，定义运算※如下： $a ※ b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} ．$ 例如： $3 ※ 4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} ．$ 若 $x ※ y = 4$ ，则 $\frac{y - x}{2 x y}$ 的值为．

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， ∠ C = 90 ° ， B C = 4 ， △ D B E ≌ △ A B C$ ，且 $B 、 C 、 D$ 三点共线，点 $F$ 是线段 $A B$ 上任意一点，连接 $D F 、 E F$ ，则 $D F + E F$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于 $A C$ 的长为半径画弧，分别交 $A B ， A C$ 于点 $E ， F$ ；②分别以点 $E ， F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线 $A G$ 交 $B C$ 边于点D．若 $C D = 4 ， A B = 10$ ，则 $△ A B D$ 的面积是（）

A、40 B、22 C、20 D、10

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14、如图，某小区规划在边长为a米的正方形空地上种植草坪，其中为了方便行人，在空地中修建两条宽为b米的人行道，利用图中草坪面积的等量关系可以得到的公式是（）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 $a^{2} - a b = a (a - b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

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15、如图，为做好健康宣传——共享健康生活，某地方政府计划在 $A ， B ， C$ 三个小区中间修建一个健康活动中心．为了同时照顾三个小区的民众，决定将健康活动中心修建在到 $A ， B ， C$ 三个小区距离都相等的地方，则该健康活动中心应建在（）

A、 $A B ， A C$ 两边高线的交点处 B、 $A B ， B C$ 两边中线的交点处 C、 $A C ， B C$ 两边垂直平分线的交点处 D、 $∠ A ， ∠ B$ 两内角的平分线的交点处

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16、如图，将六边形纸片剪切掉一部分，设剪切后的四边形和六边形的外角和的度数分别为 $α ， β$ ，则正确的是（）

A、 $α = β$ B、 $α > β$ C、 $α < β$ D、无法比较

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17、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为 $7200$ 文，如果每株椽的运费是 $4$ 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $7200$ 文能买多少株橡？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $4 (x - 1) = \frac{7200}{x}$ B、 $\frac{7200}{x - 1} = 4$ C、 $4 x - 1 = \frac{7200}{x}$ D、 $\frac{7200}{x} = 4$

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18、如图，将一块直角三角板放在直线 $E F$ 上， $∠ E A B = 65 °$ ，则 $∠ F A C$ 的度数（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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19、随着经济的发展，工作压力不断增大，咖啡也越来越受年轻人的喜爱，由于咖啡中的物质容易影响神经系统的正常发育，给青少年的健康造成不必要的伤害．故专家建议青少年每天的摄入量不得超过 $0.000095 kg$ ，将数据 $0.000095$ 用科学记数法表示为（）

A、 $9.5 \times 10^{- 6}$ B、 $9.5 \times 10^{- 5}$ C、 $95 \times 10^{- 6}$ D、 $0.95 \times 10^{- 5}$

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20、下列运算正确的是（）

A、 $2 a \cdot 3 a = 6 a$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(- a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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