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1、【问题背景】如图 $1$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点．点 $E$ 是线段 $B D$ 上一个动点，在线段 $E C$ 上取一点 $F$ 使得 $∠ E A F = 45 °$ ．
【提出问题】当点 $E$ 在线段 $B D$ 上移动时， $E F$ 的长度是否发生变化？
【初步思考】小明通过尝试画出 $E$ 在不同位置时的图形，发现 $E F$ 的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理：
思路：求出 $E$ 在两个不同位置时， $E F$ 的长度．
$①$ 先求出点 $E$ 在特殊位置时 $E F$ 的长度：
如图 $2$ ，当点 $E$ 与点 $B$ 重合时，易求得 $E F = \frac{1}{2} B C = 4$ ．
$②$ 再求出点 $E$ 不与两端点 $B$ ， $D$ 重合时 $E F$ 的长度：
如图 $3$ ，小明在 $A C$ 右侧作 $∠ C A G = ∠ B A E$ ，且 $A G = A E$ ．连接 $F G$ ， $C G$ ．可证得： $△ A B E ≌ △ A C G (SAS)$ ．请你根据以下问题帮小明继续完成探究：
（1）求证： $E F = F G$ ．
（2）当 $B E = 2$ 时，求 $E F$ 的长度．
【延伸思考】如图 $4$ ，当点 $E$ 运动到线段 $D C$ 上时，点 $F$ 落在线段 $D C$ 的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题：
（3）当 $B E = \frac{16}{3}$ 时， $E F =$ _____．（直接写出答案）

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2、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 是 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ．小明：以点 $D$ 为圆心， $D E$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ ，则 $D E ⊥ D F$ ．
小华：小明，你的作法有问题．应当以点 $A$ 为圆心， $C E$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ （如图2），则 $D E ⊥ D F$ ．
小明：哦．．．我明白了！

(1)、指出小明作法中存在的问题．

(2)、给出小华作法中 $D E ⊥ D F$ 的证明．

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3、如图，已知点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $A C = D E$ ， $A B ∥ E C$ ， $∠ A C B = ∠ E$ ．求证： $B C = C E$ ．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和 $S_{4}$ ，若 $S_{1} = 5 π$ ， $S_{2} = 9 π$ ， $S_{4} = \frac{3}{4} S_{3}$ ，则 $S_{4}$ 的值是．

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5、如图，将两副直角三角板直角顶点重合，使得 $∠ A B C = 105 °$ ，则 $∠ 1 =$ 度．

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6、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $A$ 与 $D$ ， $B$ 与 $E$ 分别是对应点，根据图中给定的数量条件，则 $∠ F =$ 度．

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7、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 35 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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8、命题“如果 $a = 2$ ，那么 $|a| = 2$ ”的逆命题为．

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9、如图，一张长方形纸条 $A B C D$ ，将纸条分别沿 $E F$ 和 $E G$ 折叠，使顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 分别落在 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ 处，点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $E$ 在同一条直线上， $B^{'} E$ 交 $A D$ 于点 $H$ ，若求 $F G$ 的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长（）

A、 $E G$ B、 $E C^{'}$ C、 $E H$ D、 $E F$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ ， $B E$ 上的中点，已知 $△ A B C$ 的面积为16，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{16}{5} {cm}^{2}$ B、 $6 {cm}^{2}$ C、 $7 {cm}^{2}$ D、 $8 {cm}^{2}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $A C$ 的中垂线分别交 $B C$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，已知 $B D = 5$ ， $C E = 4$ ，若 $A E ⊥ B C$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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12、具备下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、三边的长度分别为1，2， $\sqrt{5}$ B、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ C、 $A B : B C : A C = 5 : 12 : 13$ D、 $A B = A C$ ， $∠ A = 45 °$

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13、如图，在△ABC中，∠B=65°，∠DCA=100°，则∠A的度数是( )

A、55° B、45° C、35° D、25°

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14、为了保护环境，国家大力支持新能源，以下是四个新能源汽车的 $l o g o$ （图标），其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图1，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O分别交BC，AB于点D，E.

(1)、求证：BD=CD.

(2)、若 $B D = 2 \sqrt{5}$ ， BE=4，求⊙O半径.

(3)、如图2，点F在⊙O上， $\overset{⌢}{C F} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接DE，EF.求证：∠AEF=∠BED.

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16、已知二次函数y=a（x-1）²+a+1（a≠0），其图象经过点（-1，p），（2，q），（x₀ ， m）.

(1)、当p=6时，求该二次函数的表达式.

(2)、当p=m时，求x₀的值.

(3)、若存在x₀使得（p-q）m＜0成立，求a的取值范围.

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17、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 $\overset{⌢}{A C}$ 上任意一点，连接AD，AG，GD.

(1)、若∠ADC=70°，求∠AGD的度数.

(2)、若BE=2，AE=8，求CD的长.

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18、钱塘江边的文创店购进一批印有“钱塘”字样的水杯，成本价格为20元/个.由销售经验可知，每周销售量y（个）与销售单价x（元）满足关系式y=-10x+700（20≤x≤70）.

(1)、当销售单价为30元时，求销售杯子的总利润.

(2)、当销售单价为多少元时，销售杯子的总利润最大，并求出最大利润.

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19、如图，已知 $\overset{⌢}{A B}$ .

(1)、用无刻度直尺和圆规作 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点P.（保留作图痕迹）

(2)、连结AB，AP，圆圆认为AB=2AP，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由.

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20、在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同.圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据：
摸球的次数n
50
100
200
400
1000
2000
3000
摸到白球的次数m
35
69
142
280
702
1398
2103
摸到白球的频率 $\frac{m}{n}$
0.70
0.69
0.71
0.70
0.702
0.699
0.701

(1)、当n很大时，请估计摸到白球的概率.（精确到0.1）

(2)、试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？

(3)、若要使摸到白球的概率为0.8，则需要往盒子里再放入多少个白球？

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摸球的次数n	50	100	200	400	1000	2000	3000
摸到白球的次数m	35	69	142	280	702	1398	2103
摸到白球的频率 $\frac{m}{n}$	0.70	0.69	0.71	0.70	0.702	0.699	0.701