相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(-1，6)，B(m，-2).

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积.

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2、在平面直角坐标系中，已知存在点A(5，0)，B，C三点.

(1)、(一边在坐标轴上)如图①，若B(1，0)，C(2，3)，连接AC，BC，则AB=；AC=；BC=； $S_{△ A B C} =$ .

(2)、(一边平行于坐标轴)如图②，若B(5，3)，点C在y轴上，连接AB，AC，BC，则 $A B =_______; S_{△ A B C} =$ .

(3)、(三边均不与坐标轴平行)如图③，若B(0，4)，C(6，1)，连接AB，AC，BC，则 $S_{△ A B C} =$ .

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3、如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“必”字的面相对的那个面上的字是

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4、启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习.
【模型准备】
启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯.兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量 $($ 每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟 $)$ 与该方向车道数的比值来衡量.例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为 $10 .$ 拥堵度的数值越大，该方向越拥堵.记自东向西的拥堵度为 $u_{1}$ ，自西向东的拥堵度为 $u_{2} .$
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
时间x
8时
11时
14时
17时
20时
自东向西交通量 $y_{1} ($ 辆/分钟 $)$
32
26
20
14
8
自西向东交通量 $y_{2} ($ 辆/分钟 $)$
11
14
17
20
23
【建立模型】
成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到 $y_{1}$ 与x的函数关系式及 $y_{2}$ 与x的函数关系式.
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向.成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向.
【问题求解】

(1)、 $y_{1}$ 与x的函数关系式为； $y_{2}$ 与x的函数关系式为.

(2)、在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算 $u_{1}$ 及 $u_{2}$ 的值说明哪个方向更拥堵.

(3)、根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由.

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5、学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值.她是这样解答的：
解： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ， $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = - 1 .$
请你根据小慧的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{4} - 4 a^{3} - 4 a + 3$ 的值.

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6、下面对函数 $y_{1} = | 2 x - 4 | - 2$ 和 $y_{2} = x - 1$ 进行研究，完成下列探索过程：

(1)、补充列表：
x
…
$- 1$
0
1
2
3
4
5
…

$y_{1}$
…
4
2
0
2
4
…

$y_{2} = x - 1$
…

$- 2$

$- 1$
0
1
2
3
4
…

(2)、在平面直角坐标系中描点，画出函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象；

(3)、根据函数图象填空：
①函数 $y_{1}$ 的最小值为；
②当 $y_{2} = y_{1}$ 时，x的取值为.

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7、在正方形网格中，已知点A的坐标为 $(- 4,1)$ ，点B的坐标为 $(- 2,3) .$

(1)、在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点C的坐标： $C ($ ， $)$ ；

(2)、连接AB，BC，AC，画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 内一点P的坐标为 $(m, n)$ ，它在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的对应点 $P_{1}$ 的坐标为 $(2 m + 2, - 1)$ ，则点P的坐标为 $($ ， $) .$

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8、已知一个正数的两个不同的平方根分别是 $2 a - 3$ 与 $5 - a$ ， $2 b + 4$ 的立方根是 $- 2 .$

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $2 a - b$ 的平方根.

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9、计算

(1)、 $4 \sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18}$ ；

(2)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{3}} .$

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10、如图，一次函数 $y = - x + 4$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点， $O D = 3$ ，点P为AB上的动点，当 $∠ A P C = ∠ B P D$ 时，点P的坐标为.

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11、若一次函数 $y = k x + b (k$ 、b是常数， $k \neq 0)$ 的图象与直线 $y = - 3 x$ 平行，且过点 $(2, - 1)$ ，则一次函数的解析式为.

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12、在平面直角坐标系中，点 $P (- 4, a^{2} + 1)$ 在第象限.

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13、 $- \sqrt{8}$ $($ 填“是”或“不是” $)$ 无理数.

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14、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图” $($ 如图 $1) .$ 如图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 24$ ，则 $S_{2}$ 的值是( )

A、6 B、8 C、10 D、12

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15、已知正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的函数图象经过第二、四象限，则一次函数 $y = - k x + k$ 的图象大致是( )

A、 B、
C、 D、

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16、已知直线 $y = 2 x + 6$ 过点 $(- 1, y_{1})$ ， $(- 3, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系是( )

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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17、下列条件中，不能判断 $△ A B C$ 为直角三角形的是( )

A、 $a = 1.5$ ， $b = 2$ ， $c = 2.5$ B、a：b： $c = 3$ ：4：5
C、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ D、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 3$ ：4：5

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18、16的平方根是( )

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、8

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19、如图1，直线y $= \frac{3}{2}$ x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线y $= \frac{3}{2}$ x+6相交于点E（﹣2，n）．

(1)、求直线CD的解析式；

(2)、如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S_△_PDE $= \frac{5}{2}$ ，求点P的坐标；

(3)、如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

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20、“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．

几何模型在最短路径问题中的应用
素材一	提出问题：求 $\sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 的最小值．
素材二	建立模型： $\sqrt{x^{2} + 3^{2}}$ 可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， $\sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？”
素材三	解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB值最小，延长AC至AH使CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5，HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中， $A D = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ ， ∴\|AB+DB\|_min＝AD＝13， ∴ $\sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 2^{2}}$ 的最小值是13．
问题解决
任务一	根据以上学习：代数式 $\sqrt{x^{2} + 2^{2}} + \sqrt{{(5 - x)}^{2} + 1}$ 的最小值为．
任务二	知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 km．
任务三	思维拓展：已知正数x满足 $\sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{64 - x^{2}} = 10$ ，求x的值．（要求根据问题自己建模绘图，并解决问题）

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时间x	8时	11时	14时	17时	20时
自东向西交通量 $y_{1} ($ 辆/分钟 $)$	32	26	20	14	8
自西向东交通量 $y_{2} ($ 辆/分钟 $)$	11	14	17	20	23

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
$y_{1}$	…	4	2	0			2	4	…
$y_{2} = x - 1$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…