相关试卷

1、阅读理解：
对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$
$= x^{3} - n^{2} x - x + n$
$= x (x^{2} - n^{2}) - (x - n)$
$= x (x + n) (x - n) - (x - n)$
$= (x - n) (x^{2} + n x - 1)$
理解运用：
如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ ，那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，
即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ．
因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 的解．
解决问题：
求方程 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 的解．

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2、已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下：a☆b＝ ${\begin{array}{l} \frac{a}{b} + a (a ⩾ b) \\ \frac{a}{b} - a (a < b) \end{array}$ ，若3☆（x+2）＝1，则x等于（）

A、 $- \frac{7}{2}$ 或 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ 或 $- \frac{8}{3}$ D、 $- \frac{8}{3}$

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3、我们定义一种新函数：形如 $y = | a x^{2} + b x + c |$ （ $a \neq 0, b^{2} -$ $4 a c > 0$ ）的函数叫做＂鹊桥＂函数．小丽同学画出了＂鹊桥＂函数 $y = | x^{2} - 2 x - 3 |$ 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的序号是．

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4、阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)、特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O ，求△OBC与△ABC面积．

(2)、性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O ，请判断 $\frac{O D}{O A}, \frac{S_{V O B C}}{S_{V A B C}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．

(3)、性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE角线AC于点M ．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若SCME=1，求正方形ABCD的面积．

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5、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $y = k x + b$ ，则点 $P$ 到直线 $y = k x + b$ 的距离证明可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．
例如：求点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $y = 3 x + 7$ 的距离．
解：因为直线 $y = 3 x + 7$ ，其中 $k = 3, b = 7$ ．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：
$d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{| 3 \times (- 1) - 2 + 7 |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；

(2)、已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= $\sqrt{3}$ x+9的位置关系并说明理由；

(3)、已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．

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6、有理数x ， y ，定义两种新运算“☆”与“¤”，规定：x☆y＝x²﹣xy ， x¤y＝|x+y|+|x﹣y|．
例如：1☆（﹣2）＝12﹣1×（﹣2）＝3，（﹣2）¤3＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3|＝6．

(1)、计算：2☆3＝，（﹣3）¤2＝．

(2)、若x ， y在数轴上的位置如图所示，化简：x¤y＝；

(3)、若（﹣3）☆x＝5¤（﹣2），求x的值．

(4)、对于任意有理数a ， b ， c ，
重新定义一种新运算“№”，使得（﹣2）№16＝4，（﹣9）№1＝0，请直接写出新定义的运算：若a№b＝c ，则.

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7、设P（x ， y1），Q（x ， y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”；②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”；③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、已知对于实数m ， n ，定义一种新运算“#”： $m # n = {\begin{array}{l} m^{2} + m + n, m \geq n \\ n^{2} + m + n, m < n \end{array}$ ，若 $x # (- 2) = 10$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、3 B、3或-4 C、8 D、3或8

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9、对于实数a，b，我们定义符号 $m i n {a, b}$ 的意义为：当 $a \geq b$ 时， $m i n {a, b} = b$ ；当 $a \leq b$ 时， $m i n {a, b} = a$ ．如： $m i n {3, - 2} = - 2, m i n {2, 5} = 2$ ，则关于 $x$ 的函数为 $y = m i n {2 x - 3, - x + 3}$ 的最大值是．

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10、学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $α$ ，能得到一个新的点 $P^{^{'}}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P^{^{'}}$ 也随之运动，并且点 $P^{^{'}}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标，角度 $α$ 的大小来解决相关问题．

(1)、【初步感知】
如图1，设 $A (1, 1), α = 9 0^{°}$ ，点 $P$ 是一次函数 $y = k x + b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_{1} (- 1, 1)$ ．
①点 $P_{1}$ 旋转后，得到的点 $P_{1}^{^{'}}$ 的坐标为 ▲ ；
②若点 $P^{^{'}}$ 的运动轨迹经过点 ${P_{2}}^{^{'}} (2, 1)$ ，求原一次函数的表达式．

(2)、【深入感悟】
如图2，设 $A (0, 0), α = 4 5^{°}$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 的图象上的动点，过点 $P^{^{'}}$ 作二，四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $△ O M P^{^{'}}$ 的面积．

(3)、【灵活运用】
如图3，设 $A (1, - \sqrt{3}), α = 6 0^{°}$ ，点 $P$ 是二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 7$ 图象上的动点，已知点 $B (2, 0), C (3, 0)$ ，试探究 $△ B C P^{^{'}}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

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11、新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，那么边AD的长为．

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12、定义{a ， b ， c}＝c（a＜c＜b），即（a ， b ， c）的取值为a ， b ， c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6} $= 6$ ，已知函数 $y = {x^{2} + 1, - x + 2, x + 3}$ 与直线 $y = \frac{1}{3} x + b$ 有3个交点时，则 $b$ 的值为．

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13、定义一个新的运算： $a \oplus b = {\begin{array}{l} - 2 a + b (a \leq b) \\ \frac{b + 2}{- a} (a > b) \end{array}$ ，则运算 $x \oplus 2$ 的最小值为（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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14、定义新运算：a※b＝ ${\begin{array}{l} a - 1 (a ⩽ b) \\ - \frac{a}{b} (a > b 且 b \neq 0) \end{array}$ 则函数y＝3※ $\frac{3}{2022}$ =。

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15、定义新运算：a※b＝ ${\begin{array}{l} b - 3 (a ⩽ b) \\ \frac{a}{b} (a > b 且 b \neq 0) \end{array}$ 则函数y＝4※x的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, ∠ B = 3 0^{°}, A B = 8$ ．若E，~F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边 $△ E F P$ 的顶点 $P$ 在 $△ A B C$ 内部或边上，则等边 $△ E F P$ 的周长的最大值为.

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17、如图，市政府准备修建一座高 $A B = 6 m$ 的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角 $∠ A C B$ 的正弦值为 $\frac{3}{5}$ ，则坡面AC的长度为m

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18、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE= $\frac{1}{2}$ GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有。

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19、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，将△ABO沿着AC折叠得到ΔAB^'O，B^'O与AD相交于点E，则OE的长是．

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20、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与半径为5的 $⊙ 0$ 交于M，N两点， $△ M O N$ 的面积为3.5，若动点 $P$ 在 $x$ 轴上，则 $P M + P N$ 的最小值是.

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