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相关试卷

1、某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高元时，可以使每天的销售利润最大．

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2、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = - 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 在点 $(- 3, 0)$ 和 $(- 2, 0)$ 之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（）
① $a b c > 0$ ；② $3 a + c < 0$ ；③若 $m ， n (m < n)$ 是方程 $a x^{2} + (b + 2) x = x - c$ 的两个根，则 $m < - 1 ， n > 0$ ；④图象上有两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 和 $Q (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > - 2$ ，则一定有 $y_{1} > y_{2}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ 是对角线．

(1)、请你用无刻度的直尺和圆规，作线段 $A C$ 的垂直平分线，分别交 $A D 、 B C$ 于点M、N，交 $A C$ 于点O（不写作法、保留作图痕迹）；

(2)、判断四边形 $A M C N$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $A C ⊥ A B$ ， $B C = 10$ ，则四边形 $A M C N$ 的周长为______．

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4、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ，以 $A B$ 为斜边作Rt△ADB， $∠ A D B = 90 °$ ， $\tan ∠ A B D = \frac{1}{2}$ ，连接 $C D$ ，交 $A B$ 于点E，则 $B E =$ ．

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5、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 6$ 与y轴交于点C，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第一象限内的图象交于点B，连接 $O B$ ，若 $S_{△ O B C} = 9$ ， $\tan ∠ B O C = \frac{1}{3}$ ，则m的值是．

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6、如图，将 $△ A B C$ 的 $A B$ 边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知 $D E ∥ A C$ ， $E F ∥ A B$ ， $A F = 1.8 cm$ ，则 $A C =$ ．

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7、一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于 $0.8$ ，估计箱子里白球的个数为个．

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8、已知：菱形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $O B$ 上一点，以 $A E$ 为对称轴，折叠 $△ A B E$ ，使点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $C D$ 上，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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9、某光敏电阻因光电效应使其阻值

R

与所受光照的强弱

E

（即光强，国际单位

cd

）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻

R

上的光照强度减小，已知电源电压

U = 8 V, R_{0} = 20 Ω

．当闭合开关

S

时，下列说法错误的是（）

信息框

1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比．

2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和．

3．当电路中的电流达到 $0.1 A$ 时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警．

A、当

E = 40 cd

时，

R = 15 Ω

B、光照强度越大，电路中的电流越大 C、当报警器报警时，光照强度为

15 cd

D、烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大

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10、在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图， $D E F G$ 是一座正方形小城，北门H位于 $D G$ 的中点，南门K位于 $E F$ 的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线 $A B$ 上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（）

A、 $\frac{20}{x + 14} = \frac{x}{1775}$ B、 $\frac{20}{20 + x + 14} = \frac{\frac{1}{2} x}{1775}$ C、 $\frac{20}{x + 14} = \frac{\frac{1}{2} x}{1775}$ D、 $\frac{20}{20 + x + 14} = \frac{x}{1775}$

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11、如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序
角平分线 $A D$ 的长
$∠ B A D$ 的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
$60 °$
2
4
4
图②
1
$45 °$
$\sqrt{2}$
$2 \sqrt{2}$
2
图③
1
$30 °$
______
______
______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知 $△ A B C$ 的角平分线 $A D = 1$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A D = α$ ，用含 $α$ 的等式写出两腰之和 $A B + A C$ 与两腰之积 $A B \cdot A C$ 之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知 $△ A B C$ 的角平分线 $A D = 1$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，用等式写出两边之和 $A B + A C$ 与两边之积 $A B \cdot A C$ 之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，点D在边 $A C$ 上， $B D = B C = A D$ ．以点C为圆心， $C D$ 长为半径作弧与线段 $B D$ 相交于点E，过点E作任意直线与边 $A B$ ， $B C$ 分别交于M，N两点．请补全图形，并分析 $\frac{1}{B M} + \frac{1}{B N}$ 的值是否变化？

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13、综合与实践
问题情境：如图1，矩形 $M N K L$ 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 $A B$ 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边 $M N$ 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2， $A B = 6$ 米， $A B$ 的垂直平分线与抛物线交于点P，与 $A B$ 交于点O，点P是抛物线的顶点，且 $P O = 9$ 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 $O P$ 上确定点C，使 $∠ A C B = 90 °$ ，用篱笆沿线段 $A C ， B C$ 分隔出 $△ A B C$ 区域，种植串串红；
第二步：在线段 $C P$ 上取点F（不与C，P重合），过点F作 $A B$ 的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿 $D E ， C F$ 将线段 $A C ， B C$ 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $△ A B C$ 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定 $D E$ 与 $C F$ 的长．为此，欣欣在图2中以 $A B$ 所在直线为x轴， $O P$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：

(1)、在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

(2)、求6米材料恰好用完时 $D E$ 与 $C F$ 的长．

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14、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．

(1)、若△ABO与△A₁B₁O关于y轴的对称，则A₁、B₁的坐标分别是_____________；

(2)、请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．

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15、对于反比函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ ，称 $M (\sqrt{2 K}, \sqrt{2 K})$ ， $N (- \sqrt{2 k}, - \sqrt{2 k})$ 为反比例函数图象的两个“焦点”，若点 $P$ 为反比例函数图象上的任意一点，则恒有 $∣ P M - P N ∣ = 2 \sqrt{2 k}$ ．如图，已知点 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 在第三象限的图象上的一个动点，点 $M ， N$ 为反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的两个焦点，若 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，过点 $M$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $B$ ，连接 $O B ， M N$ ，则 $O B$ 的长为．

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16、如图，已知 $∠ M A N$ ，以点 $A$ 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 $A M$ 、 $A N$ 相交于点 $B$ ， $C$ ；分别以 $B$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ M A N$ 内部相交于点 $P$ ，作射线 $A P$ ．分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $D$ ， $E$ ，作直线 $D E$ 分别与 $A B$ ， $A P$ 相交于点 $F$ ， $Q$ ．若 $A B = 4$ ， $∠ P Q E = 67.5 °$ ，则 $F$ 到 $A N$ 的距离为．

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17、如图， $⊙ O$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B D$ ， $C D$ ．以点D为圆心， $B D$ 的长为半径在 $⊙ O$ 内画弧，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $16 π$

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18、南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）．

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、右视图

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19、定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)、如图①，等腰直角四边形 $A B C D$ ， $A B = B C = 4$ ， $∠ A B C = 90 °$ ．
①若 $C D = 3$ ， $A C ⊥ C D$ 于点 $C$ ，求 $A D$ 的长；
②若 $A D = D C$ ， $∠ A D C =45 °$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 中 $A B = 6$ ， $B C = 15$ ，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上的一点，且 $B P = 2 P D$ ，过点 $P$ 作直线分别交边 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，要使四边形 $A B F E$ 是等腰直角四边形，求 $A E$ 的长．

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20、阅读与思考

下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．

我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：

如图1，给定不在同一直线上的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，如何利用无刻度的直尺和圆规在点 $B$ ， $C$ 之间画一条过点A的直线，且点 $B$ 和点 $C$ 到这条直线的距离相等？

下面是我的解题步骤：

如图 $2$ ，第一步：以点 $B$ 为圆心，以 $A C$ 的长为半径画弧；

第二步：以点C为圆心，以 $A B$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ；

第三步：作直线 $A D$ ，则点 $B$ 和点 $C$ 到直线 $A D$ 的距离相等．

下面是部分证明过程：

证明：如图 $3$ ．连接 $B D$ ， $C D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，连接 $B C$ 交 $A D$ 于点 $O$ ．

由作图可知 $A B = C D$ ， $A C = B D$ ，

$∴$ 四边形ABDC是平行四边形．（依据 $1$ ）

$∴ B O = C O$ ．（依据 $2$ ）

……

于是我得到了这样的结论：只要确定线段 $B C$ 的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．

任务：

(1)、填空：材料中的“依据

1

”是指______；“依据

2

”是指______．

(2)、请将小明的证明过程补充完整．

(3)、尺规作图：请在图

4

中，用不同于材料中的方法，在点

B

和点

C

之间作直线

A M

，使得点

B

和点

C

到直线

A M

的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）

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图序	角平分线 $A D$ 的长	$∠ B A D$ 的度数	腰长	两腰之和	两腰之积
图①	1	$60 °$	2	4	4
图②	1	$45 °$	$\sqrt{2}$	$2 \sqrt{2}$	2
图③	1	$30 °$	______	______	______