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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是高，点 $D$ 是 $A C$ 边的中点，点 $E$ 在 $B C$ 边的延长线上， $E D$ 的延长线交 $A B$ 于点 $F$ ，且 $E F ⊥ A B$ ，若 $∠ E = 30 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(2)、若 $A F = 1$ ，求 $A B$ 的长．

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2、如图 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (2, 3)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (3, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向左平移3个单位长度，画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在x轴上求作一点P，使得 $P A + P B_{1}$ 的值最小，并直接写出此时点P的坐标．

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3、如图，等腰三角形 $A B C$ 的底边 $B C$ 的长为 $4$ ，面积为 $12$ ，腰 $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E, F$ ，若 $D$ 为底边 $B C$ 的中点， $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ B D M$ 的周长的最小值为（）．

A、6 B、8 C、10 D、12

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4、如图， $A C = A D$ ， $B C = B D$ ，则正确的结论是（）

A、 $A B$ 垂直平分 $C D$ B、 $C D$ 垂直平分 $A B$ C、 $A B$ 与 $C D$ 互相垂直平分 D、以上说法都正确

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线 $A O$ ，交 $B C$ 于点E．已知 $C E = 2$ ， $A B = 6$ ， $△ A E B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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6、如图，若 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C$ 关于直线 $M N$ 对称， $B B^{'}$ 交 $M N$ 于点 $O$ ，则下列说法中，不一定正确的是（）

A、 $A B = A^{'} B^{'}$ B、 $A B ∥ B^{'} C$ C、 $B B^{'} ⊥ M N$ D、 $B O = B^{'} O$

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7、下列数学符号是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、要把一块长 $B C$ 为30米，宽 $A B$ 为20米的矩形 $A B C D$ 空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路（如图），且小路的总面积为96平方米，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x米．

(1)、用含x的代数式表示小路的总面积：_______．

(2)、求小路的宽．

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9、有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病．

(1)、求平均一只鸡传染几只鸡？

(2)、按此传播速度，经过3轮传染后共有多少只鸡受到传染？

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10、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求m的取值范围；

(2)、当 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = - 4$ 时，求m的值．

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11、

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{0} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt{8}$ ．

(2)、解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ．

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12、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润16万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份获得利润25万元．则该产品平均每月利润的增长率为（用百分数表示）．

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13、随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为 $1.6$ 万人，5月份游客人数为 $2.5$ 万人．这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是多少？可设这两个月的平均增加率为x，则可列方程为．

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14、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + a = 0$ 可以配方成 ${(x + b)}^{2} = 7$ ，那么 ${(a + b)}^{2026} =$ ．

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15、一元二次方程 $x^{2}$ -4x-3=0配方可化为．

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16、如图是按一定规律排列的，第 $1$ 个图中有 $5$ 个◇与 $1$ 个☆，第 $2$ 个图中有 $7$ 个◇与 $2$ 个☆，第 $3$ 个图中有 $9$ 个◇与 $3$ 个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是 $107$ 个时，☆的个数是（）

A、 $51$ 个 B、 $52$ 个 C、 $53$ 个 D、 $54$ 个

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17、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是( )

A、1185 ${(1 - x)}^{2}$ =580 B、1185(1-2x)=580 C、580 ${(1 + x)}^{2}$ =1185 D、580(1+2x)=1185

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18、将方程 $4 x^{2} + x = 5$ 化为一般形式后， $a, b, c$ 的值分别是（）

A、 $a = 4, b = 1, c = 5$ B、 $a = 1, b = 4, c = 5$ C、 $a = 4, b = 1, c = - 5$ D、 $a = 4, b = - 5, c = 1$

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19、下列关于 $x$ 的方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 5 x - 2 = 0$ B、 $3 x + 1 = 0$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$ D、 $x - 5 y = 6$

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20、定义一种新运算，观察下列等式：
$1 ⊙ 3 = 1 \times 4 + 3 = 7$ $3 ⊙ (- 1) = 3 \times 4 - 1 = 11$
$5 ⊙ 4 = 5 \times 4 + 4 = 24$ $4 ⊙ (- 3) = 4 \times 4 - 3 = 13$

(1)、请你想一想： $a ⊙ b =$ ________；

(2)、若 $a ⊙ (- 2 b) = 4$ ，请计算 $(a - b) ⊙ (2 a + b)$ 的值．（新定义）

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