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1、填空并完成以下证明：已知：如图， $B D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $E F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $∠ D M G + ∠ A G F = 180^{\circ}$ ，    $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $D M / / B C$ ．
证明 $∶ ∵ B D ⊥ A C, E F ⊥ A C$ ， $（$ 已知 $)$
$∴ ∠ B D F = ∠ E F C = 90^{\circ}$
$∴ B D / /$     ▲
$∴ ∠ 2 =$         ▲         （     ）
$∵ ∠ 1 = ∠ 2$ ， $（$ 已知 $)$
$∴ ∠ 1 =$      ▲        （     ）
$∴ G F / / B C$ ，（     ）
$∵ ∠ D M G + ∠ A G F = 180^{\circ}$ ．
$∴ M D / /$     ▲         ，   （     ）
又 $∵ G F / / B C$ ， $（$ 已知 $)$
$∴ D M / / B C .$   （     ）

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2、如图，已知直线 $B C$ 及直线外一点 $A$ ，按要求完成下列问题：

(1)、画出射线 $C A$ ，线段 $A B$ ，过 $C$ 点画 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ；

(2)、比较线段 $C D$ 和线段 $C A$ 的大小，并说明理由．

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3、已知，点 $P (2 m, m + 2)$ 为平面直角坐标系内一点．

(1)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；

(2)、若点 $P$ 的横坐标比纵坐标大 $3$ ，求点 $P$ 的坐标．

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4、计算： $- 1^{2} + \sqrt[3]{- 27} + | - 2 | \times \sqrt{9}$ ．

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5、如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为 $1$ 个单位长度，以点 $P$ 为顶点作正方形 $P A_{1} A_{2} A_{3}$ ，正方形 $P A_{4} A_{5} A_{6}$ ， $\dots$ ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 $P A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $P (- 3,0)$ ， $A_{1} (- 2,1)$ ， $A_{2} (- 1,0)$ ， $A_{3} (- 2, - 1)$ ，则顶点 $A_{100}$ 的坐标为．

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6、定义新运算“ ”： $a$ $b = \sqrt{a b + 1}$ ，则 $3$ $5 =$ ．

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7、把命题：“直角都相等”改写成“如果 $\dots \dots$ 那么 $\dots \dots$ ”的形式为．

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8、若已知点 $P (3, - 4)$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离是．

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9、在如图所示的运算程序中，输入 $x$ 的值是 $64$ 时，输出的 $y$ 值是（ )

A、 $2$ B、 $\sqrt[3]{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $8$

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10、近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图 $（$ 台灯底座高度忽略不计 $)$ 如图所示，其中 $B C ⊥ A B$ ， $D E / / A B$ ，经使用发现，当 $∠ D C B = 140^{\circ}$ 时，台灯光线最佳．则此时 $∠ E D C$ 的度数为（ )

A、 $130^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $110^{\circ}$ D、 $100^{\circ}$

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11、如图，雷达探测器测得六个目标 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ，若目标 $E$ ， $F$ 的位置表示为 $E (4,300^{\circ})$ ， $F (6,210^{\circ})$ ，按照此方法在表示目标 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的位置时，其中表示正确的是（ )

A、 $A (30^{\circ}, 6)$ B、 $B (1,90^{\circ})$ C、 $C (120^{\circ}, 7)$ D、 $D (5,240^{\circ})$

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12、如图 $1$ 是小强奶奶编的竹篓，图 $2$ 是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线 $a / / b$ 的是（ )

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 = ∠ 5$

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13、 $49$ 的算术平方根是（ )

A、 $7$ B、 $- 7$ C、 $\pm 7$ D、 $49$

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14、平面直角坐标系中，属于第一象限的点是（ )

A、 $（ - 3, - 4)$ B、 $（ 3,4)$ C、 $（ - 3,4)$ D、 $（ 3, - 4)$

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15、下列“比”字的四种书法字体中，可以看作由一个基本图形平移得到的是（ )

A、 B、 C、 D、

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16、如图，已知 $∠ 1 = ∠ B D E$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ．

(1)、证明： $A D ∥ E F$ ；

(2)、若 $D A$ 平分 $∠ B D E$ ， $F E ⊥ A F$ 于点 $F$ ， $∠ 1 = 56 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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17、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l： $y = a x + 9$ 与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的交点为 $C (3, m)$ ， $D$ （ $C$ 在D的左边），且C，D恰好是线段 $A B$ 的三等分点．

(1)、求a，k的值；

(2)、将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接 $D E$ ，若 $D E$ 与x轴所形成的锐角为 $60 °$ ，求n的值．

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18、已知直线 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上， $∠ E F D = α$ ．点 $P$ 是直线 $A B$ 上的动点（不与点 $E$ 重合），连接 $P F$ ， $∠ P E F$ 和 $∠ P F C$ 的平分线所在直线交于点 $H$ ．

(1)、如图1，若 $E F ⊥ C D$ ，点 $P$ 在射线 $E B$ 上．则当 $∠ E P F = 50 °$ 时， $∠ E H F =$ ______ $°$ ；

(2)、如图2，若 $α = 100 °$ ，点 $P$ 在射线 $E A$ 上．
①补全图形；
②探究 $∠ E P F$ 与 $∠ E H F$ 的数量关系，并证明你的结论．

(3)、如图3，若 $0 ° < α < 90 °$ ，直接写出 $∠ E P F$ 与 $∠ E H F$ 的数量关系（用含 $α$ 的式子表示）．

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19、“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装 $1.5 t$ ．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案：
①全部进行粗加工并包装；
②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售；
③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成．
请根据以上信息，回答下列各小问：

(1)、若选择方案①，求该公司所得的利润．

(2)、请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由．

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20、已知 $Δ A B C$ 和点 $P$ 在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在网格图中作出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、接第（1）小问，将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $180^{\circ}$ 之后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在网格图中作出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在上述信息下，求 $△ A_{1} B_{1} B_{2}$ 的面积．

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