相关试卷

1、下列说法中，正确的是（）

A、有限小数一定是有理数 B、无限小数一定是无理数 C、实数可以分为正实数和负实数两类 D、数轴上的所有点都对应有理数

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2、实数16的平方根是（）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、 $\pm 2$

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3、【提出问题】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A B D = ∠ A C D$ ，作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，要研究 $B E$ ， $D E$ ， $C D$ 之间的数量关系．
【特例分析】
（1）如图2， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A B D = ∠ A C D = 30 °$ ，假设 $D E = a$ ，则 $D C =$ ________， $B E =$ ________， $B E$ 与 $D E + C D$ 之间的数量关系为______．
【猜想证明】
（2）在图1中，（1）中的结论是否仍然成立，请证明你的猜想．
【结论应用】
（3） $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $∠ A B D = ∠ A C D$ ，作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ．若 $∠ C B D = 15 °$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，请直接写出 $△ B C D$ 的周长．

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4、某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．

(1)、现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．
①根据题意，完成以下表格：
纸盒
纸板
竖式纸盒（个）
横式纸盒（个）
x
$100 - x$
正方形纸板（张）

$2 (100 - x)$
长方形纸板（张）
$4 x$

②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？

(2)、若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？

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5、下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）
$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？_________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

(4)、若多项式 $N = (t^{2} + k t) (t^{2} + k t + 2) + 1$ （ $k$ 为常数）因式分解的结果为 ${(t^{2} + 3 t + 1)}^{2}$ ，直接写出 $k$ 的值．

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6、
问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“ $30 °$ 角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
（1）已知：如图2， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
证明：以点B为圆心，以 $B C$ 为半径作弧交 $A B$ 于点E，连接 $C E$ ；
【知识应用】
（2）如图3，等边 $△ A B C$ 的边长为8，点D在 $A B$ 上，且 $A D = 2$ ，过D点作 $D E ⊥ B C$ 于点E，过点E作 $E F ⊥ A C$ 于点F，求 $A F$ 的长．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点D．

(1)、尺规作图：作 $A B$ 的垂直平分线，交 $B C$ 于点E，交 $A B$ 于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若 $B E = A C$ ，求证： $C D = E F$ ．

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8、先化简 $(\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，再选择一个合适的 $x$ 的值，代入求值．

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9、先因式分解，再求值： $x^{2} y - x y + \frac{1}{4} y$ （其中， $x = 1$ ， $y = 4$ ）

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10、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 x + 1 > - 5 \\ 2 (x + 2) < x + 7 \end{array}$ ，并求它的最小整数解．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $D E$ 是 $A B$ 的垂直平分线， $B C = 12 cm$ ，则 $C E$ 的长度为．

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12、如果9x²＋kx＋25是一个完全平方式，那么k的值是（）

A、15 B、±5 C、30 D、±30

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13、若把分式 $\frac{3 x y}{x + y} (x \neq 0, y \neq 0)$ 中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大3倍 C、扩大9倍 D、不确定

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14、化简 $\frac{2}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x - 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2}{x - 1}$ B、 $\frac{2}{x^{3} - 1}$ C、 $\frac{2}{x + 1}$ D、 $(x + 1)$

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15、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是

A、1-3x-4y B、-1-3x-4y C、1+3x-4y D、-1-3x+4y

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16、一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）

A、﹣2＜x＜1 B、﹣2＜x≤1 C、﹣2≤x＜1 D、﹣2≤x≤1

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17、【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
如 $\{\begin{matrix} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5 \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 3 \end{matrix}$ ，分析：由于方程组中含有式子 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ ，所以可设 $\frac{1}{x} = m$ ， $\frac{1}{y} = n$ ，原方程组转化为 $\{\begin{matrix} 2 m + 3 n = 5 \\ 5 m - 2 n = 3 \end{matrix}$ ，解得 $\{\begin{matrix} m = 1 \\ n = 1 \end{matrix}$ ， $∴ \{\begin{matrix} \frac{1}{x} = 1 \\ \frac{1}{y} = 1 \end{matrix}$ ，由倒数定义得，原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ ．
【问题解决】用换元法解决下列问题：

(1)、关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = 5 \\ \frac{10}{x} - \frac{4}{y} = 3 \end{matrix}$ 的解_____；

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - m y = 5 \\ 2 x + n y = 6 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = 5 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，则关于 $a$ ， $b$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 3 (a + b) - m (a - b) = 5 \\ 2 (a + b) + n (a - b) = 6 \end{matrix}$ 的解是_____；

(3)、已知关于 $m$ ， $n$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 2^{m} + 3^{n} = 11 \\ 3 \times 2^{m} - 3^{n} = - 3 \end{matrix}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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18、某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：

(1)、如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ， $∠ A = 62 °$ ，则 $∠ B P C =$ ________；

(2)、如图 $2$ ， $△ A B C$ 的内角 $∠ A C B$ 的平分线与 $△ A B C$ 的外角 $∠ A B D$ 的平分线交于点 $E$ ，其中 $∠ A = 58 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数．

(3)、如图 $3$ ， $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 为 $△ A B C$ 的外角， $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 的平分线交于点 $Q$ ，其中 $∠ A = α$ ．求 $∠ B Q C =$ ________（用 $α$ 表示）

(4)、如图 $4$ ， $△ A B C$ 外角 $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 的平分线交于点 $Q$ ， $∠ C B Q$ 、 $∠ B C Q$ 的平分线交于点 $P$ ，则延长 $B C$ 至点 $E$ ， $∠ E C Q$ 的平分线与 $B P$ 的延长线相交于点 $R$ ，则 $∠ R$ 与 $∠ B P C$ 的数量关系为________．

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19、已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少 $15$ 元，购买 $2$ 个甲款玩偶和 $3$ 个乙款玩偶共需 $255$ 元（免运费）．请解答下列问题：

(1)、该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？

(2)、根据市场需求，该网店计划用不超过 $8900$ 元购进甲、乙两款玩偶共 $200$ 个，且甲款数量超过 $87$ 个．已知甲款玩偶每个进价 $50$ 元，乙款玩偶每个进价 $40$ 元，该网店有哪几种进货方案？

(3)、在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？

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20、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为 $1$ ，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的 $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图①中画的 $△ A B C$ 高 $A H$ ．

(2)、在图②中在 $A B$ 找一点 $E$ ，连接 $C E$ ，使得 $△ A C E$ 的面积等于 $△ B C E$ 的面积．

(3)、在图③中 $D$ 是 $B C$ 边上一格点， $△ A B C$ 边 $A C$ 上找一点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $D F$ ，使 $B F + D F$ 取得最小值

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纸盒纸板	竖式纸盒（个）	横式纸盒（个）
纸盒纸板	x	$100 - x$
正方形纸板（张）		$2 (100 - x)$
长方形纸板（张）	$4 x$