相关试卷

1、2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 $B O T$ 》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台 $A$ 型机器人、3台 $B$ 型机器人，共需260万元；若买3台 $A$ 型机器人、2台 $B$ 型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

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2、随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图， $O$ ， $C$ 是同一水平线上的两点，无人机从 $O$ 点竖直上升到 $A$ 点，在 $A$ 点测得 $C$ 点的俯角为 $30 °, A, C$ 两点的距离为 $24 m$ ．无人机继续竖直上升到 $B$ 点，在 $B$ 点测得 $C$ 点的俯角为 $36.9 °$ ．求无人机从 $A$ 点到 $B$ 点的上升高度 $A B$ （结果精确到 $0.1 m$ ）．（点 $O, A, B, C$ 在同一平面内，参考数据： $sin 36.9 ° \approx 0.60$ ， $cos 36.9 ° \approx 0.80$ ， $tan 36.9 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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3、湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别
跳绳次数分段
频数
$A$
$40 \leq x < 80$
$n$
$B$
$80 \leq x < 120$
70
$C$
$120 \leq x < 160$
76
$D$
$160 \leq x < 200$
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一分钟跳绳成绩的扇形统计图

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为人；统计表中的 $n$ 的值是；扇形统计图中B组所对的圆心角是．

(2)、求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；

(3)、现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？

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4、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $E$ 、 $F$ 分别在 $A D$ 及其延长线上， $C E ∥ B F$ ，连接 $B E 、 C F$ ．

(1)、求证： $△ B D F ≌ △ C D E$

(2)、若 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，试判断四边形 $B F C E$ 的形状，并说明理由．

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5、先化简，再求值： $(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ 其中 $x$ ， $y$ 满足 $|x - 2| + {(y + 1)}^{2} = 0$ ．

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6、计算： ${(- 2023)}^{0} - 3 tan 30 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ ．

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7、如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知 $O B = 10, O A = 20, ∠ B O C = 120 °$ ，则图2中的阴影部分的面积为．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ．下列步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $A B 、 A D$ 于 $E 、 F$ 两点；②分别以点 $E 、 F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧；两弧相交于点 $P$ ；③作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，则 $C G$ 的长为．

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9、从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是 $89.7$ ，方差分别是 $S_{甲} ^{2} = 2.83$ ， $S_{乙} ^{2} = 1.71$ ， $S_{丙} ^{2} = 3.52$ ，你认为适合参加决赛的选手是．

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10、如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 $A$ ， $B$ 两点间的距离，同学们在 $A B$ 外选择一点 $C$ ，测得 $A C = 10 m$ ， $B C = 8 m$ ， $A C$ ， $B C$ 两边中点的距离 $D E = 6 m$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离是．

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11、如图，在单位为1的方格纸上， $△ A_{1} A_{2} A_{3}, △ A_{3} A_{4} A_{5}, △ A_{5} A_{6} A_{7}, \dots$ ，是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0), A_{2} (1, 1), A_{3} (0, 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1012, 0)$ B、 $(1014, 0)$ C、 $(2 ， - 507)$ D、 $(1 ， 506)$

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12、下列方程有两个相等的实数根的是（）

A、 $x^{2} + x + \frac{1}{2} = 0$ B、 $- x^{2} + 2 x - 1 = 0$ C、 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ D、 $x^{2} - x + 1 = 0$

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13、如图，平行于主光轴 $P Q$ 的光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凸透镜折射后，折射光线 $B E$ ， $D F$ 交于主光轴上一点 $G$ ，若 $∠ A B E = 130 °$ ， $∠ C D F = 150 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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14、下列因式分解正确的是（）

A、 $2 x + 6 x y = x (2 + 6 y)$ B、 $x^{2} y + 6 x y^{2} + 9 y^{3} = y (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$ C、 $x^{2} + 2 x - 8 = x (x + 2) - 8$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x + 2 y) (x - 2 y)$

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15、下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} + a^{3} = a^{7}$ B、 ${(a^{4})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a \cdot b)}^{3} = a^{3} \cdot b^{3}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$

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16、2026年2月5日上午，省十四届人大四次会议举行第二场“厅长通道”集体采访活动．省教育厅党组书记、厅长高山表示，今年将支持各地通过挖潜扩容、职普融通、建设综合高中等多种形式，扩充优质高中学位8万个.8万用科学记数法表示为（）

A、 $8 \times 10^{4}$ B、 $80 \times 10^{4}$ C、 $0.8 \times 10^{4}$ D、 $8 \times 10^{- 4}$

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17、如图， $⊙ O$ 的半径为5， $A B$ 为直径，E为 $O B$ 上一点，过点E作弦 $C D ⊥ A B$ ， M是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一动点，点N为线段 $C E$ 上一点，点F为线段 $O M$ 上异于O，M的一点.

(1)、若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；② $F N ⊥ C E$ ；③ $F N = F M$ ；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）

(2)、在（1）的条件下：
①若 $C N = 2$ ， $D N = 6$ ，求 $F N$ 的长；
②设 $M F = x$ ， $B E = y$ ，当 $C N \cdot D N = 12$ 时，求y关于x的函数关系式．

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18、

(1)、探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，折叠 $△ A B C$ ，使 $A C$ 边落在 $A B$ 边上，折痕为 $A D$ ，则 $B D$ 、 $C D$ 与 $∠ B A C$ 的两边 $A B$ 、 $A C$ 存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断 $\frac{A B}{A C}$ 与 $\frac{B D}{C D}$ 的数量关系为．

(2)、猜想验证
项目组猜想：当 $△ A B C$ 为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠， $A D$ 为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．

(3)、拓展应用
如图5，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 延长线上一点， $A E = D E$ ．求证： $\frac{B D}{C D} = \frac{D E}{C E}$ ．

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19、如图 $1$ 是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图 $2$ ，人从点 $A$ 处沿水滑道下滑至点 $B$ 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为 $x$ 轴，过腾空点 $B$ 与 $x$ 轴垂直的直线为 $y$ 轴， $O$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决：

(1)、如图 $2$ ，点 $B$ 与地面的距离为 $2$ 米，水滑道最低点 $C$ 与地面的距离为 $\frac{7}{8}$ 米，点 $C$ 到点 $B$ 的水平距离为 $3$ 米，求水滑道 $A C B$ 所在抛物线的解析式；

(2)、在（ $1$ ）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线 $B D$ 恰好与抛物线 $A C B$ 关于点 $B$ 成中心对称．
①直接写出腾空飞出后的最大高度为 $m$ ，抛物线 $B D$ 所对应的二次函数函数表达式为；
②腾空点 $B$ 与对面水池边缘的水平距离 $O E = 12$ 米，人腾空后的落点 $D$ 与水池边缘的安全距离 $D E$ 应不少于 $3$ 米．那么人飞出后落地点 $D$ 是否在安全距离内?请说明理由．

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20、第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件．

(1)、请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？

(2)、第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？

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组别	跳绳次数分段	频数
$A$	$40 \leq x < 80$	$n$
$B$	$80 \leq x < 120$	70
$C$	$120 \leq x < 160$	76
$D$	$160 \leq x < 200$	34