相关试卷

1、设方程 $∣ x^{2} + a x ∣ = 4$ 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.

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2、已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0 .$

(1)、求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根.

(2)、若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长.

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3、若关于x的方程 $a x^{2} + 2 (a + 2) x + a = 0$ 有实数解.则实数a 的取值范围是.

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4、已知关于x 的两个方程 $x^{2} - x + 3 m = 0, x^{2} + x + m = 0 (m \neq 0),$ 若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数 m 的值.

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5、已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1}^{2} - 5 x_{1} - 2 x_{2}$ 的值为( ).

A、-7 B、-3 C、2 D、5

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6、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 2 = 0$ 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为( ).

A、6 B、5 C、4 D、3

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7、你知道吗?对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 $x^{2} + 5 x -$ 14=0，即x(x+5)=14为例加以说明.数学家赵爽(公元2~3世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是( ${(x + x + 5)}^{2},$ 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2},$ 据此易得 $x = 2,$ ，那么下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程 $x^{2} - 4 x - 12 =$ 0的正确构图是(只填序号).

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8、若 $x^{2} + x - 1 = 0,$ 则 $x^{3} + 2 x^{2} + 3 =$ 。

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9、如图，在△ABC中， $∠ A C B = 9 0^{\circ},$ ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，连接CD.

(1)、若 $∠ A = 2 8^{\circ},$ ，求∠ACD 的度数.

(2)、设BC=a，AC=b.
①线段AD 的长是方程 $x^{2} + 2 a x - b^{2} = 0$ 的一个根吗?说明理由.
②若AD=EC，求 $\frac{a}{b}$ 的值

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10、已知关于x 的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + 2 = 0 .$

(1)、求证：不论m 为何值时，方程总有实数根.

(2)、当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根?

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11、欧几里得的《几何原本》记载，形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 方程的图解法：画Rt△ABC，使 $∠ A C B = 9 0^{\circ}, B C = \frac{a}{2}, A C = b,$ 再在斜边 AB 上截取 $B D = \frac{a}{2},$ 则该方程的一个正根是( ).

A、AC的长 B、AD 的长 C、BC的长 D、CD 的长

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12、我们知道方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3,$ 现给出另一个方程 ${(2 x + 3)}^{2} +$ 2(2x+3)-3=0，它的解是( ).

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$

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13、已知x=2是关于x的一元二次方程 $k x^{2} + (k^{2} - 2) x + 2 k + 4 = 0$ 的一个根，则k 的值为.

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14、已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的根，则这个三角形的周长为.

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15、已知a>2，b>2，试判断关于x的方程 $x^{2} - (a + b) x +$ ab=0与 $x^{2} - a b x + (a + b) = 0$ 有没有公共根，请说明理由.

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16、先请阅读材料：
为解方程( ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0,$ 我们可以将 $(x^{2} - 1)$ 视为一个整体，然后设( $(x^{2} - 1) = y,$ 则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2},$ 原方程化为 $y^{2} - 5 y + 4 =$ 0，解得 $y_{1} = 1, y_{2} = 4 .$
当y=1时， $x^{2} - 1 = 1,$ 得 $x = \pm \sqrt{2};$ 当y=4时， $x^{2} - 1 = 4,$ 得x= $\pm \sqrt{5} .$
故原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \sqrt{2}, x_{3} = \sqrt{5}, x_{4} = - \sqrt{5} .$
在解方程的过程中，我们将 $(x^{2} - 1)$ 用 y 替换，先解出关于 y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，体现了转化的数学思想.
请你根据以上的阅读材料，解下列方程：

(1)、 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0 .$

(2)、 ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{2} - (\frac{1}{2} x - 1) - 1 = 0 .$

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17、已知2是关于x 的方程. $x^{2} - 2 m x + 3 m = 0$ 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为( ).

A、10 B、14 C、10或14 D、8或10

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18、如图1所示，等边三角形 $A B C$ 内接于圆 $O$ ，点 $P$ 是劣弧 $B C$ 上任意一点（不与 $C$ 重合），连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．
【初步探索】
（1）将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 到 $△ A Q B$ ，使点 $C$ 与点 $B$ 重合，可得 $P$ 、 $B$ 、 $Q$ 三点在同一直线上，则线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问 $P B + P C$ 的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰 $Rt △ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $P$ 是弧 $B C$ 上任一点（不与 $B 、 C$ 重合），连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ，若圆的半径为8，试求 $△ P B C$ 周长的最大值．

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19、消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点 $D$ 、 $B$ 、 $O$ 在同一直线上， $D O$ 可绕着点 $O$ 旋转， $A B$ 为云梯的液压杆，点 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 在同一水平线上，其中 $B D$ 可伸缩，套管 $O B$ 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆 $A B = 3 m$ ， $∠ B A C = 53 °$ ， $∠ D O C = 37 °$ ．求 $B O$ 的长．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5} ， \tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\cos 67 ° \approx 0.39$ ）

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20、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作边 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，连接 $C D$ ，求证： $A D = C D$ ．

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