相关试卷

1、“完美洗牌”（ $perfect shuffle$ ）是魔术术中常用的技巧．通过多次完美洗牌，魔术师可以将任意一张扑克牌调整到牌堆中想要的任意位置上去：完美洗牌的操作如右图所示：首先将牌堆（共52张牌）分成上下相等的两摞，接下来通过洗牌手法将两摞牌交错叠放在一起，最后再将它们合成新的一摞牌．以上整个过程称作一次完美洗牌，其中做第二步时，如果将第一步中上面那摞牌的第一张置于整个牌堆的顶端，则称其为“A型完美洗牌”，反之如果将第一步中下面那摞牌的第一张置于整个牌堆的顶端，则称其为“B型完美洗牌”．

(1)、牌堆中的第3张牌经过一次“A型完美洗牌”后变成了牌堆中的第______张；牌堆中的第42张牌经过一次B型完美洗牌后变成了牌堆中的第______张．

(2)、假设最初牌堆的第5张牌是“红桃A”，如果只进行“A型完美洗牌”，那么：
①想要“红桃A”变成牌堆的第14张牌，最少需要进行_____次完美洗牌；
②经过2026次完美洗牌后，“红桃A”位于牌堆的第_______张．

(3)、假设最初牌堆的第1张牌是“黑桃A”，如果“A型完美洗牌”和“B型完美洗牌”均可使用，那么：
①想要“黑桃A”出现在牌堆的第23张牌，最少需要进行_____次完美洗牌；
②如果经过不超过N次完美洗牌一定可以将“黑桃A”洗到牌堆中的任意位置，那么，N的最小值为________．

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2、在平面直角坐标系中，定义不重合的两点A，B之间的“直角距离”为： $d (A, B) = |x_{A} - x_{B}| + |y_{A} - y_{B}|$ ．

(1)、在 $A_{1} (0, 2)$ ， $A_{2} (1, 2)$ ， $A_{3} (1, 1)$ ， $A_{4} (3, 0)$ 中，到原点O的“直角距离”为2的点是________．

(2)、对于图形M上一点P和图形N上的任意一点Q，若 $d (P, Q)$ 有最小值，则称这个最小值为点P到图形N的“直角距离”，记作 $d_{1}$ （点P，图N）；若图形M上任意一点到图形N的“直角距离”中存在最大值，则称这个最大值为图形M到图形N的“强直角距离”，记作 $d_{2}$ （图M，图N）；若 $d_{2}$ （图M，图N） $= d_{2}$ （图N，图M），则称图形M和图形N存在“完美直角距离”，记作D（图M，图N）．
①已知点 $B (a, 2 a + 6)$ ，其中 $- 3 \leq a \leq 0$ ，点C到原点O的“直角距离”为2，若由点B组成的图形记作图形M，点C组成的图形记作图形N，则：图形M到图形N的“强直角距离” $d_{2}$ （图M，图N）=________；图形N到图形M的“强直角距离” $d_{2}$ （图N，图M）=________．
②对于点 $B (a, 2 a + 6)$ 组成的图形M和到原点直角距离为2的点C组成的图形N，若图形M和图形N存在“完美直角距离”，直接写出D（图M，图N）的最小值以及此时a的最小值与最大值．

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3、为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元．

(1)、求A、B两种路灯的单价；

(2)、该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？

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4、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, - 2)$ 、 $B (3, - 2)$ 、 $C (1, 3)$ 、 $D (- 2, 1)$ ．

(1)、求出四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、若点P在坐标轴上，且四边形 $A B P D$ 的面积是 $△ A B D$ 面积的2倍，直接写出点P的坐标．

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5、已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 4 m - 7 \\ x - y = 2 m + 3 \end{matrix}$ 的解满足 $x > y > 0$ ，求m的取值范围．

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6、解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 (x - 1) < 5 x - 1 \\ \frac{5 x - 3}{2} < 2 x \end{matrix}$

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7、解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} y = x - 1 \\ x + 2 y = 7 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 1 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{matrix}$ ．

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8、计算： $\sqrt[3]{8} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ．

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9、在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输 $1km$ 需100元．运输成本可由公式：“运输成本 $=$ 货物量 $\times$ 距离 $\times$ 单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和．
（1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为 $L : 1$ 吨， $M : 10$ 吨， $N : 1$ 吨，运输距离 $L M = 4 km$ ， $M N = 4km$ ，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为元．
（2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为 $A : 2$ 吨， $B : 8$ 吨， $C : 3$ 吨， $D : 2$ 吨， $E : 5$ 吨，每两个货运站之间的运输距离分别为 $A B = 5km$ ， $B D = 2 km$ ， $C D = 5 km$ ， $A C = 2 km$ ， $A E = 3km$ ， $B E = 1km$ ， $C E = 4km$ ， $D E = 3km$ ，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为元．

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10、如图，直线 $a ∥ b$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，若 $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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11、《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒 $x$ 斗，买得行酒 $y$ 斗，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 2 \\ 10 x + 30 y = 50 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ 50 x + 10 y = 30 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 2 \\ 10 x + 50 y = 30 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 2 \\ 50 x + 10 y = 30 \end{array}$

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12、在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点 $A (x_{1}, y_{1})$ 移动到点 $B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $y_{2} - y_{1} = m (x_{2} - x_{1})$ （m是常数，且 $m \neq 0$ ），则称点A，B是“m一共倾移动点对”．

(1)、已知点A，B在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图像上，其中点A的坐标为 $(1, 2)$ ，若点A，B是“1一共倾移动点对”，则点B的坐标是_________．

(2)、若机器人从直线 $y = k x + 3$ 与曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的交点A移动到交点B，若A和B是“1一共倾移动点对”．且 $A B < 3 \sqrt{2}$
①求m的取值范围；
②若 $A B = \sqrt{2}$ ，求m的值．

(3)、已知智能图形绘制器绘制的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 过点 $A (0, - 3)$ ，点 $D (1, s)$ 是抛物线对称轴上一点，且 $- 3 < s < 0$ ，点C为平面内一点，点B为抛物线上的动点．若四边形 $A B C D$ 为正方形，则正方形 $A B C D$ 的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“ $\frac{1}{4}$ 一共倾移动点对”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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13、如图①，在圆内接四边形 $A B C D$ 中，点E是四边形 $A B C D$ 中对角线 $B D$ 上的一点，且满足 $∠ B A E + ∠ B C E = 90 °$ ，分别延长 $A E$ ， $C E$ 交 $⊙ O$ 于点M，N，连接 $M N$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的直径．

(2)、如图②，若 $∠ B C E = 60 ° ， ∠ B A E = 30 ° ， B C = C E ， A E = 4 ， A B = 3$ ．求 $A C$ 的长．

(3)、在 $⊙ O$ 内是否存在其他点G，使 $∠ B A G + ∠ B C G = 90 °$ ？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

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14、如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．
可可： $\frac{700}{x} = \frac{1000}{x + 30}$ 琪琪： $\frac{1000}{y} - \frac{700}{y} = 30$
根据以上信息，解答下列问题．

(1)、可可同学所列方程中的x表示________；
琪琪同学所列方程中的y表示________；

(2)、在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________；

(3)、利用（2）中你所选择的方程，解答该例题．

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15、如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 的图象交于 $A, B$ 两点，已知点 $A (1, 4)$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- 2$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、如果 $D$ 点坐标为 $(3, 0)$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、根据函数图象，直接写出不等式 $y_{1} \leq y_{2}$ 的解集．

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16、计算： $- 1^{2026} - ∣ - 2 ∣ + {(\sqrt{2})}^{2} - {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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17、河源国家5A级旅游景区万绿湖，拥有丰富的旅游资源，核心景点包括水月湾、龙凤岛、镜花缘等．小明和小花两人相约来到河源旅游，两人分别从水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点中随机选择一个景点游览，小明和小花两人同时选择水月湾的概率为．

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18、如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是．

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19、如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，点P在 $O C$ 上， $P D ⊥ O B ， P D = 5$ ，则点P到 $O A$ 的距离是．

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20、将一组数 $\sqrt{2} ， 2 ， \sqrt{6} ， 2 \sqrt{2} ， \sqrt{10} ， 2 \sqrt{3} ， \dots ， \sqrt{2 n} ， \dots$ 按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（     ）
第一行             $\sqrt{2}$
第二行            2    $\sqrt{6}$
第三行    $2 \sqrt{2}$       $\sqrt{10}$       $2 \sqrt{3}$
……

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $7 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{74}$ D、 $\sqrt{78}$

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