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1、如图，在正方形 ABCD 中，E 是AB 上一点，连接 DE.过点 A 作 AF⊥DE，垂足为F.⊙O 经过点C，D，F，与AD 相交于点G.

(1)、求证：△AFG∽△DFC.

(2)、若正方形ABCD 的边长为4，AE=1，求⊙O 的半径.

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2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦 AD 平分∠BAC，交 BC 于点 E，AB=6，AD=5，则AE 的长为( ).

A、2.5 B、2.8 C、3 D、3.2

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3、如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 $\sqrt{2}$ ， D 是线段BC上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段 EF 长度的最小值为.

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4、【推理】
如图①，在正方形ABCD 中，点E 是CD上一动点，将正方形沿着 BE 折叠，点C 落在点F处，连接BE，CF，延长CF 交AD 于点G.

(1)、求证：△BCE≌△CDG.

(2)、【运用】
如图②，在【推理】条件下，延长 BF 交 AD 于点 H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}, C E = 9,$ 求线段 DE 的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着 BE 折叠，连接CF，延长CF，BF 交直线AD 于G，H 两点，若 $\frac{A B}{B C} = k, \frac{H D}{H F} = \frac{4}{5},$ 求 $\frac{D E}{E C}$ 的值(用含k的代数式表示).

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5、如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB.作CF∥AD 交线段AE 于点F，连接BF.

(1)、求证：△ABF≌△EAD.

(2)、如图②，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE 的长.

(3)、如图③，若BF 的延长线经过AD 的中点M，求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.

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6、如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点 D 落在BC 边上的点E 处，过点 E 作EG∥CD 交AF 于点G，连接 DG.

(1)、求证：四边形 EFDG 是菱形.

(2)、探究线段EG，GF，AF 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、若AG=6，EG=2 $\sqrt{5}$ 求 BE 的长.

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7、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点 F 在CD上，点G，H 在对角线AC.上，若四边形 EGFH 是菱形，则AE 的长是( ).

A、2 $\sqrt{5}$ B、3 $\sqrt{5}$ C、5 D、6

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8、如图，点A 在线段BD 上，在 BD 的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD 与BE，AE 分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD=MA·ME； $③ 2 C B^{2} = C P \cdot C M .$ .其中正确的是( ).

A、①②③ B、① C、①② D、②③

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9、如图，△ABC 是等边三角形， $A B = \sqrt{7},$ ，点D 是边 BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH，CH，当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=.

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10、如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一点，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{2},$ 现将△ABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕为EF，点 E，F 分别在AC 和BC上，则 $\frac{C E}{C F} =$ 。

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11、如图，在矩形ABCD 中，E为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接CF 并延长交AB 于点M，MN⊥CM 交射线AD 于点 N.

(1)、当 F 为BE 中点时，求证：AM=CE.

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{B F} = 2,$ 求 $\frac{A N}{N D}$ 的值.

(3)、若 $\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{B F} = n,$ 当n为何值时，MN∥BE?

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12、如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在BC，AC 上，且 $B D = \frac{1}{3} B C, C E = \frac{1}{3} A C, B E,$ AD 相交于点F.连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF·DA；④AF·BE=AE·AC，其中正确的结论有( ).

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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13、如图，正方形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O，∠ACB 的平分线交AB，BD 于M，N两点.若AM=2，则线段ON 的长为( ).

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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14、如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP=1，D为AC 上一点，若∠APD=60°，则CD 的长为( ).

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，给出下列结论：①CE≠ $\frac{1}{2}$ BD；②△ABC≌△CBD；③AC=CD；④∠ABC=∠CBD.其中，正确的是(填序号).

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16、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线 $l_{1} ‖ l_{2} ‖ l_{3}, l_{1}$ 与l₂之间的距离是1，l₂与l₃之间的距离是2，且l₁ ， l₂ ， l₃分别过点A，B，C，则边AC 的长为.

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17、如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点， $B C = \sqrt{3} A B = 3 B D,$ ，则AD：AC 的值为.

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18、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0<x<3).把△PCQ 绕点P旋转，得到△PDE，点 D 落在线段 PQ 上.

(1)、求证：PQ∥AB.

(2)、若点 D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长.

(3)、若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围.

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19、如图①，在四边形ABCD 中，点E，F 分别是AB，CD 的中点.过点 E 作AB 的垂线，过点 F 作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接GA，GB，GC，GD，EF，若∠AGD=∠BGC.

(1)、求证：AD=BC.

(2)、求证：△AGD∽△EGF.

(3)、如图②，若AD，BC 所在直线互相垂直，求 $\frac{A D}{E F}$ 的值.

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20、如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点M，N 分别是边BC，CD 上的动点(不与点B，C，D 重合)，AM，AN 分别交BD 于点E，F，且∠MAN 始终保持45°不变.

(1)、求证： $\frac{A F}{A M} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

(2)、求证：AF⊥FM.

(3)、请探索：在∠MAN 的旋转过程中，当∠BAM 等于多少度时，∠FMN=∠BAM?写出你的探索结论，并加以说明.

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