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1、定义：在平面直角坐标系中，对两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $d_{A B} = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}|$ ，则称 $d_{A B}$ 为 $A$ 、 $B$ 两点的“绝对距离”．

(1)、已知点 $A (3, 1)$ ，则 $d_{O A} =$ ______；

(2)、函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象上存在点 $B$ ，若 $d_{O B} = 3$ ，则点 $B$ 的坐标为______；

(3)、菱形 $A B C D$ 顶点 $A$ 的坐标是 $(2, 3)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (8, 3)$ ， $D (5, 5)$ ．
①若点 $E$ 在菱形的边上且 $d_{O E} = d_{O B}$ ，求点 $E$ 的坐标；
②已知点 $P (4, 2)$ ，且菱形 $A B C D$ 上只有两个点到点 $P$ 的“绝对距离”等于 $m$ ，则 $m$ 的取值范围是______．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E、F分别是 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点，连接 $D F 、 E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 4 ， tan ∠ F E C = \frac{2}{3}$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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3、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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4、计算：

(1)、 $\sqrt[3]{27} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt{3^{2}}$ ；

(2)、 $- \sqrt{3} - |\sqrt{3} - 2|$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 2$ ． D为直线 $A B$ 上一点，以 $C D$ 为边在 $C D$ 右侧作等边 $△ C D E$ ，连接 $B E$ ．当 $△ B D E$ 为等腰三角形时，则 $A D$ 的长为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $A B, A C$ 于点M，N；分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，作 $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ；以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径作弧，以点 $C$ 为圆心， $C D$ 长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接 $A E, C E, E F$ ，若 $E F = m$ ， $\sin ∠ E C A = \frac{4}{5}$ ，则 $B F$ 的长为．（用含m的式子表示）

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7、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A, B$ 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 $O A C B$ 是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象与边 $A C$ 交于点 $M$ ，与边 $B C$ 交于点 $N$ （ $M, N$ 不重合）．给出下面四个结论：
① $△ C O M$ 与 $△ C O N$ 的面积不一定相等；
② $△ M O N$ 与 $△ M C N$ 的面积一定不相等；
③ $△ M O N$ 不一定是锐角三角形；
④ $△ M O N$ 一定不是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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8、大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点 $P$ 是线段AB的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若 $A B = 4 cm$ ，则 $A P$ 的长为（）

A、 $(6 - 2 \sqrt{5}) cm$ B、 $(2 \sqrt{5} - 2) cm$ C、 $(\sqrt{5} - 1) cm$ D、 $(3 - \sqrt{5}) cm$

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9、下列函数表达式中为二次函数的是（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数）

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10、我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．

(1)、分别求出在新技术改造阶段 $(1 \leq x \leq 5)$ 及新技术改造后 $(x > 5)$ ， y与x之间的函数表达式；

(2)、若设第3个月时该厂的利润为 $y_{1}$ ，第4个月时该厂的利润为 $y_{2}$ ，第7个月时利润为 $y_{3}$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 的大小关系为：________（用“>”连接）；

(3)、当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？

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11、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，过点E作 $E F ⊥ A D$ 于点F，

(1)、求证：四边形 $A B E F$ 是矩形；

(2)、当 $A E$ 满足________时，矩形 $A B E F$ 是正方形；以此条件来判定矩形 $A B E F$ 是正方形的判定定理是________；

(3)、在（2）的条件下，连接 $B F$ 交 $A E$ 于点O，连接 $O D$ ．如果 $F O = 2$ ， $O D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ O F D$ 的面积．（先在备用图中按要求补全图形，再计算）

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12、2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．

(1)、求每张话剧票的原定零售票价；

(2)、为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率．

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13、从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体．

(1)、请画出该几何体的三视图；

(2)、计算该几何体的表面积．

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14、贵阳市目前已经修建并通车了四条地铁线路，给人们的出行带来了极大的便利．其中地铁三号线更是因为沿途经过的站点多为贵阳旅游火热的景点和热门打卡点而吸引大批外来游客乘坐，小明和小亮准备利用课余时间，以问卷的方式对各个三号线站点乘车的乘客进行调查，目的是想了解乘客们最想去的是以下几个景点或热门打卡点的哪个地方．这些景点或热门打卡点包括：A．花果园，B．黔灵山公园，C．十里河滩，D．孔学堂，E．花溪公园．下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图（如图1）：

(1)、本次调查的样本容量为________；

(2)、补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：孔学堂”的扇形圆心角的度数；

(3)、以下是三号线的沿途站点图（部分，如图2），小明和小亮分别从北京路（用F表示）、贵医（用G表示）、大营坡（用H表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．请你用画树状图或列表法，求小明与小亮所选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示）

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15、小明抛一枚质地均匀的硬币 $15$ 次，有7次正面朝上，当他抛第 $16$ 次时，正面朝上的概率为．

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16、如图，在 $Rt A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B D$ ，连接 $C E$ ，请添加一个条件：（不添加字母及辅助线），使 $△ A B C ∽ △ C D E$ ．（写出一个即可）

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17、不等式组： $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的解集为．

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18、如图： $A$ ， $B$ 是函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上关于原点 $O$ 点对称的任意两点， $A C$ 垂直于 $x$ 轴于点 $C$ ， $B D$ 垂直于 $x$ 轴于点 $D$ ，设四边形 $A D B C$ 的面积为 $S$ ，则（）

A、 $S = 2$ B、 $2 < S < 4$ C、 $S = 4$ D、 $S > 4$

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19、如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为 $4 \sqrt{3}$ 的四边形，当 $∠ A B C = 60 °$ 时，则纸条的宽度是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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20、如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若 $O H : H C = 3 : 2$ ，点G的坐标是 $(- 6, 2)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(- 4, \frac{4}{3})$ B、 $(- 8, \frac{4}{3})$ C、 $(- 9, \frac{10}{3})$ D、 $(- 10, \frac{10}{3})$

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