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1、已知关于 $x$ 的整式 $A = 2 x + 1$ ， $B = 3 x - a$ ，其中 $a$ 为常数，则下列说法：
①若 $A \cdot B = 6 x^{2} + 7 x + m$ ，则 $m = 2$ ；
②若方程 $\frac{A}{B} + 1 = \frac{A + 3}{- B}$ 的解为 $x = - \frac{5}{4}$ ，则 $a = - \frac{15}{4}$ ；
③若对于任意的 $x$ ， $\frac{3 A - (6 x - 3)}{3 x - 2 - B}$ 的值均为整数，则所有符合要求的整数 $a$ 的值有8个．
其中正确的有（）个

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、给定一列数，把这列数中的第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ， …，以此类推，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ （ $n$ 为正整数）．已知 $a_{1} = x$ ，并规定 $a_{k + 1} = \frac{1 + a_{k}}{1 - a_{k}}$ （ $k$ 为正整数），下列说法：
①当 $x = 2$ 时， $a_{7} = - \frac{1}{2}$ ；
②当 $a_{1} + a_{3} = 2$ 时， $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 6$ ；
③ $a_{1} a_{2} ⋯ a_{2026} = \frac{x (1 + x)}{1 - x}$ ．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3、对于分式： $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ， $\frac{1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ， $\frac{1}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x + 1}$ ，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”．
例如： $| + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 1} |$ ， $| - \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 1} |$ ，下列说法：
①对于“绝对和差操作” $| + \frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x}{x + 1} |$ ，化简后的结果为 $\frac{2 x^{2} + 2}{x + 1}$ ；
②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；
③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果：
其中说法正确的是（）．

A、①② B、②③ C、①②③ D、①③

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4、现有以下四个说法：①分式 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ 是最简分式；②若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ 的值为0，则 $x$ 的值为 $- 2$ ；③若关于 $x$ 的方程 $\frac{3 x}{x - 4} = 1 + \frac{a x}{x - 4}$ 有增根，则 $a$ 的值为3；④若关于 $x$ 的方程 $\frac{3 x}{x - 4} = 1 + \frac{a x}{x - 4}$ 无解，则 $a$ 的值为2．其中正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、若 $a = \frac{202 6^{111} + 1}{202 6^{222} + 1}$ ， $b = \frac{202 6^{222} + 1}{202 6^{333} + 1}$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系为（）

A、 $a > b$ B、 $a \geq b$ C、 $a < b$ D、 $a \leq b$

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6、小明同学计算 $\frac{4 x}{x^{2} - 16} - \frac{2}{x - 4}$ 的过程如下：
解：原式 $= \frac{4 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x - 4}$         第一步
$= \frac{4 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)}$           第二步
$= \frac{4 x - 2 x + 8}{(x + 4) (x - 4)}$                      第三步
$= \frac{2 x + 8}{(x + 4) (x - 4)}$                  第四步
$= \frac{2}{x - 4}$ ．                     第五步

(1)、小明同学化简第一步用到的知识是．（填“整式乘法”或“因式分解”）

(2)、化简过程中第步出现错误，出现错误的原因是．

(3)、请你写出正确的答案．

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7、先化简： $(x - \frac{3 x}{x + 1}) \div \frac{2 x^{2} - 4 x}{x^{2} + x}$ ，再请你在 $- 1$ 、0、1、2这四个数中选取一个合适的 $x$ 的取值代入求值．

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8、某商场计划购进一批 $A$ 、 $B$ 两种型号的体温测量仪器，每台 $B$ 种仪器价格比每台 $A$ 种仪器价格多60元，花9100元购买 $A$ 种仪器和花 $1.3$ 万元购买 $B$ 种仪器的数量相同．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种仪器每台各多少元？

(2)、根据销售情况，需要购进 $A$ 、 $B$ 两种仪器共120台，总费用不超过 $1.8$ 万元，求 $A$ 种仪器至少要购买多少台？

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9、按要求填空：以下是某同学化简分式 $(\frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{3}{x - 2}$ 的部分运算过程：
解：原式 $= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2}] \cdot \frac{x - 2}{3}$ 第一步
$= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}] \times \frac{x - 2}{3}$ 第二步
$= \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \times \frac{x - 2}{3}$ 第三步
…

(1)、上面第二步计算中，括号里的变形是，其依据是．

(2)、上面的运算过程中第 ▲ 步出现了错误，错误原因是 ▲ ．请你写出完整的解答过程．

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10、计算及解方程

(1)、计算： $\frac{a - 2}{a^{2} - 1} \div (\frac{1}{a - 1} - 1)$ ．

(2)、解分式方程： $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^{2} - x}$ ．

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11、定义一种新运算*，规定运算法则为 $a * b = \frac{a - b}{a + b}$ ，则计算 $(x * 2 y) [2 y * (- x)]$ 的结果是．

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12、计算 $(a - \frac{3 a}{a + 1}) \cdot \frac{a^{2} - 1}{3 a - 6}$ 的结果是．

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13、若 $y = \frac{1}{6} x$ ，则 $\frac{1}{x - y} (x + \frac{y^{2} - 2 x y}{x})$ 的值为．

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14、为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水吨．

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15、下列说法正确的是（）

A、分式 $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ 的值为零，则x的值为 $\pm 3$ B、根据分式的基本性质，等式 $\frac{m}{n} = \frac{m x^{2}}{n x^{2}}$ 恒成立 C、分式 $\frac{x y}{3 x - 2 y}$ 中的 $x$ ， $y$ 都扩大3倍，分式的值不变 D、分式 $\frac{m + 1}{m^{2} + 1}$ 是最简分式

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16、若分式方程 $\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{m}{x - 3}$ 有增根，则m的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、0 D、任意实数

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17、一艘轮船在静水中的最大航速为 $30 k m / h$ ，它以最大航速沿江顺流航行 $90 k m$ 所用时间，与以最大航速逆流航行 $60 k m$ 所用时间相等．设江水的流速为 $x k m / h$ ，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{90}{30 - x} = \frac{60}{30 + x}$ B、 $\frac{90}{30 + x} = \frac{60}{30 - x}$ C、 $\frac{90}{x} = \frac{60}{30 - x}$ D、 $\frac{90}{30 + x} = \frac{60}{x}$

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18、若 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，则 $\frac{x^{3} + 2 x - 1}{x (x - 1)}$ 的值是（）

A、－2 B、－1 C、1 D、2

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19、小明解分式方程 $\frac{1}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} - 1$ 的过程如下．
解：去分母，得 $3 = 2 x - (3 x + 3)$ ． ①
去括号，得 $3 = 2 x - 3 x + 3$ ． ②
移项、合并同类项，得 $- x = 0$ ． ③
系数化为1，得 $x = 0$ ． ④
以上步骤中，开始出错的一步是（）

A、① B、② C、③ D、④

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20、五个整数 $a 、 b 、 c 、 d 、 e$ ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是 $183 ， 186 ， 187 ， 190 ， 191 ， 192 ， 193 ， 194 ， 196 ， x$ ．已知 $a < b < c < d < e ， x > 196$ ．

(1)、求 $a 、 b 、 c 、 d 、 e 和 x$ 的值；

(2)、若 $y = 10 x + 4$ ，求 $y$ 的值．

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