相关试卷

1、如图，矩形内有两个相邻的正方形.若两个正方形的面积分别为S₁=1和S₂=2，则图中阴影部分的面积为( )

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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2、配方法解一元二次方程 $x^{2} - 10 x + 5 = 0,$ 配方正确的是( )

A、 ${(x + 5)}^{2} = 20$ B、 ${(x - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 5)}^{2} = 20$ D、 ${(x + 5)}^{2} = 30$

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3、在△ABC中， $A B = B C, ∠ A B C = α （ 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}),$ ，点D是边 BC上一点，连接AD，在AD右侧作△ADE，使DE=AD， ∠ADE=α，连接CE.

(1)、【问题初探】
如图1，当α=90°时，请判断线段CE和线段BD的数量关系并给出证明；
小亮同学从α=90°时，△.1BC与△ADE均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证△ABD∽△ACE得到 $\frac{C E}{B D} = \frac{A C}{A B},$ 从而得到结论；
小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段AB上截取BP=BD，连接DP，通过证明△APD≌△DCE，将线段CE转化为线段 PD；
①线段 CE和线段 BD的数量关系为 ▲ .
②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程；

(2)、【类比研究】
如图3，当90°<α<180°， AB=8， CD=5， AC=12，求CE的长；

(3)、【拓展延伸】
如图4，当α=120°时，过点C作CF∥AB交AE于点F，若AB=6，CF=DF，求CD的长.

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4、综合与实践

一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.

知识背景

如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为 ${\begin{matrix} x = v t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} \end{matrix} .$

方案设计

用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表：

t（s)	1	2	3
x（cm)	10	20	30
y（cm)	-5	-20	-45

解决问题：

(1)、根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=cm/s，重力加速度

g =________c m / s^{2};

(2)、写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm?

(3)、若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.

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5、足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁.图①是一次某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA，PB 是圆的切线，A，B为切点.

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹)；

(2)、在（1）的条件下，延长BO交射线PA于点C，若PB=6，PC=10，请补全图形，并求OC的长.

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6、【素材呈现】
在全球气候变暖的大背景下，二氧化碳排放量持续走高是亟需应对的重要难题，开展植树造林等绿化工作可以助力实现碳中和.根据相关统计结果，2棵成年的阔叶树种（例如杨树)和2棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树)和6棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收1520千克二氧化碳.
【问题解决】

(1)、每棵成年的阔叶树种（例如杨树)和每棵成年的针叶树种（例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克?

(2)、某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克.
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.

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7、 DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.

数据收集与表示

随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组：

A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100.

下面给出了部分信息：

其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.

数据分析与应用

根据以上信息解决下列问题：

（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ；

（2）请补全频数分布直方图：

（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；

（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.

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8、先化简，再求值： $(1 - \frac{x + 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x},$ 其中 $x = \sqrt{3} - 2 .$

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9、计算： $2 - {(π - 2026)}^{0} + 4 c o s 3 0^{\circ} - ∣ 2 - 2 \sqrt{3} ∣ .$

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10、如图， ⊙O直径AB=10， C为圆上一点， CD⊥AB于D （BD<AD)， CD=4.点E在弧AC上，连接BE交CD于F，若CF：FD=1：2，则BF：EF=.

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11、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0, x > 0)$ 的图象经过顶点 D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF. 若点E为AC的中点， $△ A E F$ 的面积为2，则k的值为.

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12、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，将正方形沿某一方向平移后点C₁的坐标为（1，5)则点 A₁的坐标为.

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13、已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为.

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14、分解因式： $m^{3} - m n^{2} =$ .

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15、如图，四边形ABCD为正方形，延长CB 至点 E，使得 $B E = \frac{1}{2} C B,$ 连接AE，过点 C作CH⊥AE 于点 H，则. $\frac{A B}{C H}$ 的值为（ )

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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16、《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题为“良马与驽马发长安至齐”。若把一份文件用慢马送到 1800里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少4天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为 $\frac{1800}{x + 2} = \frac{1800}{2 (x + 4)},$ 其中x表示（ )

A、快马的速度 B、慢马的速度 C、规定的时间 D、以上都不对

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17、深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（ )度时， AM∥BE.

A、45 B、60 C、75 D、105

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18、下列运算正确的是（ )

A、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y - y^{2}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 ${(x y^{2})}^{3} = x^{3} y^{6}$

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19、第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若 $O A = \sqrt{3}, A B = B C = 1,$ 则sin∠BOC 的值为（ )

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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20、一个不透明的袋子中装有红球10个，白球6个，黑球4个，从中随机摸出一个球.以下说法正确的是（ )

A、摸出白球概率最小 B、摸出红球概率最大 C、不可能摸出黑球 D、可能摸出黄球

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