相关试卷

1、 $x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}$ 是下列哪个一元二次方程的根（）

A、 $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ C、 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ D、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

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2、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3、下列方程的变形中，正确的是（　　）

A、由 $x - 5 = - 3$ ，得 $x = 5 + 3$ B、由 $6 y = 3$ ，得 $y = 2$ C、由 $- \frac{1}{3} x = 0$ ，得 $x = 3$ D、由 $2 = x - 4$ ，得 $x = 4 + 2$

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4、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x (x - 1) = x^{2}$ B、 $a x^{2} + 2 x + 3 = 0$ （a为常数） C、 $\frac{x^{2} + 2}{x} = 1$ D、 $x^{2} - 6 = 7 x$

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5、根据以下材料，探索完成任务：

材料一	求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{10}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{10}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{11}$ ，因此 $2 S - S = S = 2^{11} - 1$ ．
材料二	求若干个相同的有理数（均不等于 $0$ ）的除法运算叫做除方，如： $5 \div 5 \div 5$ ， $(- 8) \div (- 8) \div (- 8) \div (- 8)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $5 \div 5 \div 5$ 记作 $5^{③}$ ，读作“ $5$ 的圈 $3$ 次方”， $(- 8) \div (- 8) \div (- 8) \div (- 8)$ 记作 ${(- 8)}^{④}$ ，读作“ $- 8$ 的圈 $4$ 次方”．一般地把 $\underset{n 个 a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 记作 $a^{ⓝ}$ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”．
	问题解决
问题 $1$	直接写出计算结果： ${(- 6)}^{④} =$ ___________；
问题 $2$	有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ${(\frac{1}{7})}^{ⓝ} =$ ___________； ${(\frac{1}{a})}^{ⓝ} =$ ___________．（ $n \geq 2$ 且 $n$ 为正整数）；
问题 $3$	计算： ${(\frac{1}{5})}^{②} + {(\frac{1}{5})}^{③} + {(\frac{1}{5})}^{④} + {(\frac{1}{5})}^{⑤} + \dots + {(\frac{1}{5})}^{ⓝ}$ （其中 $n = 2025$ ）

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6、魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为 ${64cm}^{3}$ ．

(1)、求组成这个魔方的小立方体的棱长．

(2)、图中阴影部分是一个正方形 $A B C D$ ，求出该正方形的面积和边长．

(3)、把正方形 $A B C D$ 放在数轴上，如图2，使得点 $A$ 与1重合，那么点 $D$ 在数轴上表示的数是___________．

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7、观察下列各式：
① $3^{2} - 3^{1} = 2 \times 3^{1}$
② $3^{3} - 3^{2} = 2 \times 3^{2}$
③ $3^{4} - 3^{3} = 2 \times 3^{3}$
……
探索以上式子的规律：

(1)、写出第5个等式：___________；

(2)、试写出第 $n$ 个等式：___________；

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8、定义一种新的运算“*”，规定有理数 $a * b = 4 a b - a$ ，如 $2 * 3 = 4 \times 2 \times 3 - 2 = 22$ ．

(1)、求 $3 * 5$ 的值；

(2)、求 $(- 2) * (1 * 3)$ 的值．

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9、计算．

(1)、 $(- 4) - (+ 13) + (- 5) - (- 9)$

(2)、 $10 - {(- 3)}^{2} \times 2$

(3)、 $- 24 \times (\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2})$

(4)、 $- 2^{2} + \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{64}$

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10、若 $x ， y$ 为实数，且满足 ${(x - 2)}^{2} + \sqrt{y - 3} = 0$ ，则 ${(x - y)}^{2024}$ 的值是．

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11、已知 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ，其中 $f (a)$ 表示当 $x = a$ 时代数式的值，如 $f (1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ， $f (2) = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3} ， f (1) \cdot f (2) \cdot f (3) \dots f (2025) =$ （）

A、 $\frac{1}{2025}$ B、 $\frac{1}{2026}$ C、2025 D、2026

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12、点 $A$ 在数轴上表示的数是 $\sqrt{3}$ ，点 $B$ 在数轴上和原点相距3个单位长度，则 $A, B$ 之间的距离为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $3 - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 3$ D、 $3 - \sqrt{3}$ 或 $3 + \sqrt{3}$

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13、下列说法正确的有（）
①有理数与数轴上的点一一对应；
② $a, b$ 互为相反数 $(a \neq 0)$ ，则 $\frac{a}{b} = - 1$ ；
③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数；
④近似数 $7.30$ 所表示的准确数的范围大于或等于 $7.295$ ，而小于 $7.305$ ；
⑤ $\sqrt{64}$ 的立方根是2；
⑥ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、某公司今年9月份的利润为 $x$ 万元，10月份比9月份减少 $8 %$ ，则该公司10月份的利润为（单位：万元）（）

A、 $0.08 x$ B、 $x$ C、 $0.92 x$ D、 $1.08 x$

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15、下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2)}^{3} = - 8$ B、 $- 3^{2} = 9$ C、 $\sqrt{16} = \pm 4$ D、 $\sqrt[3]{- 27} = 3$

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16、2025年国庆中秋8天假期，宁波东钱湖旅游度假区共接待游客91.8万人次，同比增长 $11.76 %$ ．数据91.8万用科学记数法表示为（）

A、 $91.8 \times 10^{4}$ B、 $9.18 \times 10^{5}$ C、 $0.918 \times 10^{5}$ D、 $9.18 \times 10^{4}$

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17、新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图 $1$ ， $△ A B C$ 的三个顶点 $A (1, 0)$ ， $B (2, - 1)$ ， $C (4, 3)$ 都在抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 上，我们把 $△ A B C$ 叫做抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的内接三角形，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 叫做 $△ A B C$ 的外接抛物线．问题：

(1)、已知点 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, 1)$ ，求 $△ A B O$ 的外接抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，已知等边 $△ A B O$ 是抛物线 $y = x^{2}$ 的内接三角形，求顶点 $A ， B$ 的坐标；

(3)、已知 $△ A B C$ 是抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的内接三角形，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A ， B$ （ $A$ 在 $B$ 的左侧），当 $△ A B C$ 是等腰直角三角形时，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
发现：①开始刹车后行驶的距离 $y$ （单位： $m$ ）与刹车后行驶的时间 $t$ （单位： $s$ ）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；

(3)、若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 5 cm$ ， $B C = 7 cm .$ 点P从点A开始沿 $A B$ 边向点B以 $1 cm/s$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $B C$ 边向点C以 $2 cm/s$ 的速度移动．

(1)、如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， $△ P B Q$ 的面积等于 $4 {cm}^{2}$ ；

(2)、如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， $P Q$ 的长度等于 $5 cm$ ；

(3)、在问题（1）中， $△ P B Q$ 的面积能否等于 $7 {cm}^{2}$ ，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能为 $7 {cm}^{2}$ ，说明理由？

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20、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

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刹车后行驶的时间	0	1	2	3
刹车后行驶的距离y	0	27	48	63