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1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ A = 60 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $A C = 2 B C$ D、 $A B = 2 B C$

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2、如图， $△ A B C$ 沿 $A B$ 边平移得到 $△ D F E$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别是点 $D, F, E$ ，若 $∠ E = 106 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $96 °$ B、 $116 °$ C、 $164 °$ D、 $106 °$

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3、已知，如图点M为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 中点，点D为直线 $A M$ 上一个动点（不与点A重合）， $D E ∥ A B, C E ∥ A M$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1，当点D与M重合时，求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、如图2，当 $∠ B D E = 90 °$ 时，求证：四边形 $A B D E$ 是矩形；

(3)、如图3，延长 $B D$ 交边 $A C$ 于点H，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F，若 $B H ⊥ A C$ ，且 $B H = \sqrt{2} A M$ ，求证：四边形 $A F D H$ 是正方形．

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4、如图，在菱形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E， $P F ⊥ A B$ 于点F．若菱形 $A B C D$ 的周长为20，面积为24，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、6 D、 $\frac{24}{5}$

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A B$ 交对角线 $A C$ 于点E．若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 度数为（）

A、 $105 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $135 °$

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6、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则 $B C$ 的长度为（）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ C B E$ 是等边三角形， $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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8、如图，在数轴上点 $A$ 表示数 $a$ ，点 $B$ 表示数 $b$ ，点 $C$ 表示数 $c$ ， $b$ 是最小的正整数，且 $a$ 、 $b$ 满足 $| a + 2 | + {(c - 6)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$                      ， $b =$                    ， $c =$                      ．

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 同时从原点出发，点 $P$ 向负半轴运动，点 $Q$ 向正半轴运动，点 $Q$ 的速度是点 $P$ 速度的3倍，2秒钟后，点 $P$ 到达点 $A$ ．
①点 $Q$ 的速度是每秒                    个单位，此时，点 $P$ 与 $Q$ 之间的距离为                    ；
②若运动时间为 $t$ 秒，用含 $t$ 的代数式表示点 $P$ 表示的数为                    ；
③点 $Q$ 到达点 $C$ 后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点 $P$ 与点 $Q$ 能相遇？

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9、如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字形图案盖住图1中的7个数，若“工”字形图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为．

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10、一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是（）

A、 $x - 1 < 0$ B、 $x - 1 > 0$ C、 $x - 1 \leq 0$ D、 $x - 1 \geq 0$

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11、阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：① $x^{2} + 4 x + 3 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} - 2^{2} + 3 = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1$ ，
∵ ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $x^{2} + 4 x + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1 \geq - 1$ ．
∴当 $x = - 2$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值为 $- 1$ ；
② $- x^{2} + 8 x + 1 = - (x^{2} - 8 x) + 1 = - (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} - 4^{2}) + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 16 + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17$ ，
∵ $- {(x - 4)}^{2} \leq 0$ ，
∴ $- x^{2} + 8 x + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17 \leq 17$ ．
∴当 $x = 4$ 时，多项式 $- x^{2} + 8 x + 1$ 的最大值为 $17$ ．
根据上述材料解决下列问题：

(1)、【尝试应用】求多项式 $x^{2} - 2 x + 6$ 的最小值，并求出相应的x的值；

(2)、【拓展延伸】如果多项式 $x^{2} - 2 m x$ 的最小值是 $- 25$ ，那么m的值为________；

(3)、【迁移升华】：如图，某学校打算用18米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边 $A B = x$ 米，请求出x 为多少时，该花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．

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12、图①是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)、用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；

(2)、请运用你得到的关系式计算：若 $x + y = - 6$ ， $x y = 2.75$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；

(3)、若 ${(2024 - m)}^{2} + {(m - 2025)}^{2} = 15$ ，求 $(2024 - m) (m - 2025)$ 的值．

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13、一个正方体盒子的棱长为 $0.3 m$ ．（答案均用科学记数法表示）

(1)、这个正方体的体积是多少？

(2)、若有一个小立方块的棱长为 $1 \times 10^{- 3} m$ ，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？

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14、如图，某校园内有一块长为 $(3 a + 2 b) m$ ，宽为 $(2 a + b) m$ 的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为 $(a + 2 b) m$ ，宽为 $(a + b) m$ 的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．

(1)、求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；

(2)、若 $a = 5$ ， $b = 4$ ，铺设塑胶跑道的价格为 $100$ 元 $/ m^{2}$ ，则铺设塑胶跑道共需多少元？

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15、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - (3 x + y) (- y + 3 x) - 5 y^{2}] \cdot (- \frac{1}{2} x)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + |y - 2| = 0$ ．

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16、计算：

(1)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

(2)、 ${(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + (\frac{2}{3}) \times (- 1.5)$

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17、下述四个结论中：其中正确的是（填序号）．
①若 $- 5 b^{n} a^{2 m}$ 与 $8 a^{4} b^{2}$ 是同类项，则 $m = n$ ；
②若关于x的多项式 $3 (a x^{2} - x + 1) - (6 x^{2} + 5 x + a^{2})$ 的运算结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数项为 $- 1$ ；
③已知2个多项式分别为： $A = 3 x^{2} + 2 x + 1$ ， $B = x^{2} + 2 x - 1$ ，无论x取何值，一定都有 $A > B$ ；
④若 $a + b + c = 0$ ， $a b c \neq 0$ ，则 $\frac{- b - c}{|a|} - \frac{|b|}{a + c} + \frac{c}{|c|} + \frac{|a b c|}{a b c}$ 的结果只有一种．

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18、两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 $S_{1}$ ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $S_{2}$ ．当 $S_{1} + S_{2} = 60$ 时，则图3中阴影部分的面积 $S_{3} =$ ．

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19、如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为 $(3 a + 3 b)$ 、长为 $(a + 4 b)$ 的大长方形，小明需要准备C类卡片张．

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20、运用简便方法计算： $110^{2} - 109 \times 111$ ＝．

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