初中数学北京课改版（2024）-试题列表-第86页

1、在数学小组探究学习中，小明所在的小组遇到这样一道题：

已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值.他们这样解答：

$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3},$

$∴ a - 2 = - \sqrt{3},$

$∴ {(a - 2)}^{2} = 3,$ 即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3,$

$∴ a^{2} - 4 a = - 1,$

$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$

请你根据小明小组的解题方法和过程，解决以下问题：

(1)、化简：

\frac{1}{\sqrt{5} - 2} =

；

(2)、化简：

\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}};

(3)、若

a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2},

①求 $a^{2} - 4 a$ 的值；

②求 $2 a^{4} - 8 a^{3} - 8 a + 4$ 的值.

查看解析

2、列二元一次方程(组)解下列问题：

某学校需要购买篮球、足球，某商店的篮球、足球价格如下表：

①购买3个篮球、2个足球共花费340元

②购买2个篮球比购买3个足球多花费10元

③购买5个篮球与购买8个足球花费相同

(1)、请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价；

(2)、若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费500元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案.

查看解析

3、综合与实践

【问题背景】共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择：

A品牌：0.4元每分钟；

B品牌：起步价6元(含10分钟骑行时间)，超过10分钟的部分按照0.2元每分钟收费.

【模型构建】

(1)、得到骑行所收费用y(元)与骑行时间x(分)之间的关系式为：

$y_{A} =___(x \geq 0) ； y_{B} = {\begin{cases} 6 (0 \leq x \leq 10) \\ _____(x > 10) \end{cases}$

(2)、为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象(如图)，图中点P表示的实际意义是.

(3)、【模型应用】

①根据图象，当骑行时间 ▲ 时，选A品牌更省钱；当骑行时间 ▲ 时，选B品牌更省钱.

②若郑老师家距离学校8km，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为20km/h，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱?省多少钱?

查看解析

4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，1)，B(1，4)，C(2，1)，△A₁B₁C₁与△ABC关于x轴对称.(点A₁、B₁、C₁的对应点分别是A、B、C)

(1)、△A₁B₁C₁的三个顶点坐标分别是A₁ ， B₁ ， C₁ ；

(2)、在图中画出△A₁B₁C₁；

(3)、

△ A_{1} B_{1} C_{1}

的面积是.

查看解析

5、计算：

(1)、

|- 3| + {(\sqrt{3} - 2)}^{0} - \sqrt{16}

(2)、

{(\sqrt{3} + 1)}^{2} - \sqrt{27} \div \sqrt{3} - \sqrt{4} \times \sqrt{3}

(3)、解方程组：

{\begin{matrix} x - y = 0 \\ x + 2 y = 3 \end{matrix}

查看解析

6、若用[x]表示实数x的整数部分，例如：

[3] = 3, [2.9] = 2, [\sqrt{2}] = 1,

则式子

[\sqrt{1}] - [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] - [\sqrt{4}] + \dots + [\sqrt{2023}] - [\sqrt{2024}] + [\sqrt{2025}] - [\sqrt{2026}] =

． (式子中“+”，“-”依次相间)

查看解析

7、小明想研究某品牌笔记本电脑(屏幕可180°开合)的屏幕开合情况，如图2，他先将屏幕完全打开平放在桌面上，即电脑键盘面的侧边在OM处，电脑屏幕面的侧边在OA处，∠AOM=180°，再将屏幕面的侧边从OA处绕着O点逆时针旋转至OA'处(即为图1所示状态)，此时点A 相对于点A水平方向移动的距离AN=18 cm，点 A'到桌面的高度A'N=24 cm，则该电脑屏幕面的侧边长度OA= cm.

查看解析

8、一次函数y= kx+b的图象与x轴的交点是(3，0)，则方程 kx+b=0的解为x= ．

查看解析

9、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知直线

y = - \frac{3}{4} x + 18

分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在线段AB上，点D在线段AO上，且

A C = \frac{1}{3} A B, A D = \frac{1}{3} A O,

直线CD与x轴垂直，P是x轴上一动点，若将△PAC沿PC所在直线翻折后，点A恰好落在直线CD上的点 A'处，则满足条件的点P 的坐标是( )

A、(5，0)或(20，0) B、(4，0)或(20，0) C、(5，0)或(19，0) D、(4，0)或(19，0)

查看解析

10、《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大概意思是：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺.设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组( )

A、

{\begin{matrix} y = x + 5 \\ \frac{1}{2} y = x + 5 \end{matrix}

B、

{\begin{matrix} y = x + 5 \\ \frac{1}{2} x = y + 5 \end{matrix}

C、

{\begin{matrix} x = y + 5 \\ \frac{1}{2} x = y - 5 \end{matrix}

D、

{\begin{matrix} y = x + 5 \\ \frac{1}{2} y = x - 5 \end{matrix}

查看解析

11、关于一次函数y=-2x+1，下列说法正确的是( )

A、图象过(1，1) B、当

x > \frac{1}{2}

时，y>0 C、图象过一、二、三象限 D、将其图象向下平移1个单位长度可得到y=-2x的图象

查看解析

12、在平面直角坐标系中，点A(2，1)位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看解析

13、数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点M、N表示的数分别为m、n，那么：

①它们之间的距离为|MN|=|m-n|；②它们中点所表示的数为 $\frac{m + n}{2} .$ .如图所示，数轴上有三点A、O、B，点O是原点.点A、B表示的数分别为a、b，且满足 ${(a + 4)}^{2} + ∣ b - 8 ∣ = 0 .$ 点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.

(1)、点A表示的数为，点B表示的数为；

(2)、数轴上是否存在点P，使点P分别到A、B两点的距离之和是16?若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

(3)、若动点P从点O出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，同时，动点R从点A出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动.当动点P与动点Q相遇时，动点P立即调头以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，当Q追上R时，三个动点同时停止运动.在整个运动过程中，点P的运动时间设为t(秒)，

①当PR =PQ时，请求出所有满足条件的t的值；

②在整个运动过程中，以P、Q、R三点中位于内部的那一个点为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1，请直接写出所有满足条件的t的值.

查看解析

14、【项目式学习】广东早茶是流行于广东省的民间饮食习俗，以饮茶搭配广式点心为核心形式.某数学兴趣小组利用周末对某早茶店点心的制作与销售进行了研究.

项目主题：广东早茶点心的制作与销售
素材1	广东早茶点心的品种繁多，该店顾客最推荐的两类是虾饺皇与叉烧包.
素材2	虾饺皇每份原价30元，叉烧包每份原价20元.
素材3	门店下单优惠方案：每购买2份虾饺皇，免费赠送1份叉烧包. 网上下单优惠方案：网上下单的用户全单打9折销售并立即赠送1张优惠券.优惠券满1400元(含1400元)立减210元，且当次折后可用.(网上优惠券门店下单不可用)
问题解决
任务 1	①若该店每份虾饺皇包含虾饺3个，今天的第一位用户点单虾饺皇m份，则一共包含虾饺多少个. ②该店某天下午以“门店下单”的方式售出(含免费赠送)叉烧包20份，虾饺皇20份.请计算本单点心的销售额.
任务2	某班正筹备秋游计划，计划订购虾饺皇和叉烧包两款点心，计划订购叉烧包20份，虾饺皇x份(x>40).在不考虑其他因素的影响下，请分别求出两种下单方式所需费用(用x表示即可).并求出当订购虾饺皇的数量是多少份时，两种下单方式的总费用相同?