相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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2、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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3、【问题】：有一张平行四边形纸片 $A B C D$ ， $A D = 2 A B$ ， $A B = a$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，请在纸片上找一点P，使得 $∠ A P B = 45 °$ ．
【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以 $A B$ 为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即 $\overset{⌢}{M N}$ 上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1 $) ∠ A O B =$ _______°； $\overset{⌢}{M N}$ 所在的圆的半径长为_______ $($ 用含a的代数式表示）．
【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片 $A B C D$ 上有一点P，且 $∠ A P B = 30 °$ ．
（2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）在（2）条件下连接 $C P$ ，求线段 $C P$ 的最小值（用含a的代数式表示）．
【应用】：（4）如图3，四边形 $A B C D$ 是一块平行四边形空地，经测量 $A B = 100 \sqrt{3} m$ ， $A D = 200 \sqrt{3} m$ ， $∠ D A B = 60 °$ ．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形 $A B C D$ 内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为 $A Q$ ， $B Q$ ， $C Q$ ， $D Q$ ，且 $∠ D C Q = ∠ C B Q$ ．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中 $△ A D Q$ 区域种植牡丹．为节约成本，要求 $△ A D Q$ 面积尽可能的小，则 $△ A D Q$ 面积的最小值为_______．

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4、已知：如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 5 cm$ ， $B C = 7 cm$ ，点P从点A开始沿 $A B$ 边向点B以 $1 cm / s$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $B C$ 边向点C以 $2 cm / s$ 的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动．

(1)、_______秒后， $P Q$ 的长度等于 $2 \sqrt{10} cm$ ；

(2)、几秒后，四边形 $A P Q C$ 的面积等于 $\frac{27}{2} {cm}^{2}$ ？

(3)、在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心， $A P$ 为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．

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5、如图，四边形 $O A B C$ 是平行四边形，以O为圆心， $O A$ 为半径的圆交 $A B$ 于D，延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于E，连接 $C D$ ， $C E$ ，若 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = 4 ， O C = 5$ ，则 $△ D B C$ 的面积＝______．

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6、平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．

(1)、设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶；

(2)、在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？

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7、已知关于x的方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、试说明：无论k取何值， $x = 2$ 都不可能是原方程的根．

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8、如图， $⊙ O$ 是四边形 $A B C D$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 25 °$ ，求 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、若点 $E$ 是弦 $B D$ 上一点，且点E是 $△ A B C$ 的内心，求证： $D A = D E$ ．

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9、解方程

(1)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 2 (5 - x)$

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10、11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽 $A B$ 约为 $5 \sqrt{2}$ 米，一球员从距B点 $5 \sqrt{2}$ 米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与 $A C$ 垂直的 $D C$ 方向带球．在直线 $D C$ 上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即 $∠ A P B$ 最大），则此时点P到点C的距离为米．

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11、如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为 $2 cm$ ，且 $O A ⊥ l$ ，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转 $60 °$ ，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为 $8 cm$ ，则门把手 $O A$ 扫过的区域面积为 ${cm}^{2}$ ．

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12、圆锥的底面圆直径为 $16 c m$ ，母线为 $10 c m$ ，则圆锥的侧面积为．

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13、如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示， $⊙ O$ 的直径为 $40 cm$ ，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C， $C P = 10 cm$ 毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交 $⊙ O$ 于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（）

A、 $\frac{40}{3} π$ B、 $\frac{50}{3} π$ C、 $20 π$ D、 $\frac{70}{3} π$

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14、已知两个正多边形的边数的比为 $4 : 1$ ，每个内角度数的比为 $5 : 2$ ，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为 $4 x$ 和x，列得方程： $(180 - \frac{360}{4 x}) : (180 - \frac{360}{x}) = 5 : 2$
小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为 $5 y$ 和 $2 y$ ，列得方程：
$\frac{360}{180 - 5 y} : \frac{360}{180 - 2 y} = 4 : 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、小明的方法正确 B、小芳的方法正确 C、两人都正确 D、两人都不正确

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15、关于方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有以下说法：①方程有一个解是 $x = 1$ ；②方程有两个实数根；③已知 $x = a$ 是方程的一个解，则 $2 a^{2} - 6 a + 5 = 3$ ，以上说法正确的是（）

A、①② B、②③ C、③ D、都不对

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16、如图， $⊙ O$ 的半径为3，在 $⊙ O$ 的内接四边形ABCD中， $∠ B = 52 °$ ， $∠ A C D = 32 °$ ，则 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于半径为1的 $⊙ O$ ，线段 $A B$ 及直线l，给出如下定义：若线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的对称线段 $A^{'} B^{'}$ 是 $⊙ O$ 的弦，则称线段 $A B$ 为 $⊙ O$ 关于直线 $l$ 的引入弦．

(1)、如图1，点 $A_{1} (- 2, 1)$ ， $B_{1} (0, 3)$ ， $A_{2} (1, 2)$ ， $B_{2} (3, 2)$ ， $A_{3} (2, - 1)$ ， $B_{3} (2, - 2)$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 中，是 $⊙ O$ 关于某条直线的引入弦的为__________．

(2)、如图2，点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ，点C在直线 $y = x + 2$ 上，若线段 $A B$ ， $A C$ 和 $B C$ 中，至少有一条线段是 $⊙ O$ 的引入弦，直接写出点 $C$ 的纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围．

(3)、如图3，线段 $M N$ 是 $⊙ O$ 关于直线 $y = - x + b$ 的引入弦，且 $M N = 1$ ．以点 $E (1, 1)$ ， $F (1, 2)$ ， $G (2, 2)$ ， $H (2, 1)$ 为顶点的正方形 $E F G H$ 与线段 $M N$ 有公共点，请直接写出b的取值范围．

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18、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $B M < A M$ ，点 $M$ 关于 $B C$ 所在直线的对称点是 $N$ ，连接 $C M$ ， $C N$ ，在 $A C$ 上取一点 $E$ 使得 $N E = N C$ ， $N E$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ M P N$ 的度数；

(3)、用等式表示 $B M$ 与 $A E$ 的数量关系并证明．

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19、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 与弦 $A B$ 交于点E， $E A = E B$ ，过点 $A$ 作射线 $A F$ 使得 $∠ C A F = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

(2)、延长 $C D$ 交射线 $A F$ 的反向延长线于点 $K$ ，若 $E D = 1$ ， $D K = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 1)$ 和 $B (0, - 1)$ ．

(1)、求该函数的表达式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = a x + 1 (a \neq 0)$ 的值小于函数 $y = k x + b$ 的值且大于0，直接写出 $a$ 的取值范围．

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