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1、如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现 $L_{2}$ 的长度 $y cm$ 和重物 $B$ 的质量 $x N$ 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
$x / N$
…
10
16
20
25
40
50
…
$y / cm$
…
8
5
4
3.2
2
1.6
…

(1)、在图1中描出表中数据对应的点 $(x, y)$ ；

(2)、根据表中数据，从 $y = a x + b (a \neq 0)$ 和 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物 $B$ 的质量为 $x N$ 和 $L_{2}$ 的长度为 $y cm$ 的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，若点 $A$ 的坐标为 $(20, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，在（2）中所求函数的图象上存在点 $C$ ，使得 $S_{△ A B C} = 40$ ，请求出所有满足条件的点 $C$ 的坐标．

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2、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O 、 A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $A D$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规，过点 $D$ 作直线 $l$ 垂直于直线 $A C$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若（1）中所作的直线 $l$ 与直线 $A C$ 交于点 $E$ ．与 $A B$ 的延长线交于点 $F$ ．
①判断直线 $E F$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；
②若 $D F = D A ， A C = 2$ ，求 $A O$ 的长．

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3、在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【小组1】查阅学校资料得知小树前的教学楼 $E D$ 高度为24米，如图1，某一时刻测得小树 $A B$ 、教学楼 $E D$ 在同一时刻阳光下的投影长分别是 $B C = 2.5$ 米， $D F = 15$ 米．
【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度 $h = 1.6$ 米，在 $D$ 处测得小树顶部的仰角 $α = 37 °$ ，测角仪到树的水平距离 $m = 3.2$ 米．

(1)、请根据小组1的数据求小树 $A B$ 的高度；

(2)、请根据小组2的数据求小树 $A B$ 的高度（结果保留整数， $sin 37 ° \approx 0.6$ ， $tan 37 ° \approx 0.75$ ）．

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4、已知 $H = (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{2 a b} (a \neq b \neq 0)$ ．

(1)、化简 $H$ ；

(2)、若数轴上点 $A$ 、 $B$ 表示的数分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $A B = 4$ ，求 $H$ 的值．

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5、如图， $A B ∥ D E ， ∠ B F A = ∠ E C D ， A F = D C$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形．

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6、如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线， $△ A D C$ 关于 $A D$ 的轴对称图形为 $△ A D E$ ，且 $\sin ∠ B A C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．以下结论正确的是．
$① △ C D E$ 为等腰直角三角形； $② △ A B C ≌ △ A D E$ ； $③ △ A B D ∽ △ A C E$ ；④ $S_{△ A B D} : S_{△ A C E} = 5 : 16$ ；⑤ $\sin ∠ D C E = \frac{4}{5}$ ．

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7、已知 $a$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $a^{2} + 2 a + 2024$ 的值为___________．

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8、我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像 $A B$ 分为上下两部分，其中 $C$ 为 $A B$ 的黄金分割点 $|\frac{B C}{A B} \approx 0.618|$ ，已知 $A B$ 长为2米，则 $A C$ 的长是米．

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9、分式方程 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$ 的解为___________．

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10、如图，等边三角形 $O A B$ 的顶点 $O (0, 0), B (6, 0)$ ，点 $A$ 在第一象限内，点 $C$ 在边 $O B$ 上且 $B C = 2$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上一动点（不与点 $B$ 重合），连接 $C D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $C D$ 折叠得到 $△ E C D$ ，当 $△ A O E$ 的面积最小时，点 $E$ 到 $O A$ 的距离为（　　）

A、 $\sqrt{3} - 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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11、已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k < 1$ C、 $k < 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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12、甲、乙两家酒店规模相当，去年 $2 ～ 7$ 月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（）

A、甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B、乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C、甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D、甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差

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13、如图，是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为 $(0, 0)$ ，则表示瑞金的点的坐标为（　　）

A、 $(4, 5)$ B、 $(5, 4)$ C、 $(4, - 5)$ D、 $(5, - 4)$

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14、在 $- 1$ ， 0， $- \sqrt{3}$ ， 2这四个数中，无理数是（　　）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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15、某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
$20 %$
良好
45
c
优秀
32
$32 %$
图1 学生体质健康统计表

(1)、图1中 $a =$ ________， $b =$ ________， $c =$ ________；

(2)、请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；

(3)、为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．

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16、如1图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D = A E$ ，连接 $D C$ ，点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ 分别为 $D E$ 、 $D C$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、观察猜想：1图中，数线段 $P M$ 与 $P N$ 的量关系是______，位置关系是______；

(2)、探究证明：如2图在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 3 A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D = 3 A E$ ，连接 $D C$ ，点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ 分别为 $D E$ 、 $D C$ 、 $B C$ 的中点．把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转到3图的位置，连接 $M N$ ， $B D$ ， $C E$ ，判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸：在（2）的基础上，把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $A D = 2$ ， $A B = 4$ ，请你求出 $△ P M N$ 周长的最大值．

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17、抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A， $B (4, 0)$ 两点（A在B的左侧），与y轴交于点 $C (0, - 4)$ ．点P在抛物线上，连接 $B C, B P$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如1图，若点P在第四象限，点D在线段 $B C$ 上，连接 $P D$ 并延长交x轴于点E，若 $∠ B E P = 45 °$ ，连接 $C E$ ，记 $△ D C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D B P$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $2 S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段 $B C$ 交于点G，当 $∠ P B C + ∠ C F G = 90 °$ 时，求点P的横坐标．

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18、综合与实践
【主题】自制环保笔筒
【素材】如 $1$ 图，一个直径为 $8 c m$ ，高 $14 c m$ 的纸筒卷，一张长 $30 c m$ ，宽 $20 c m$ 的包装纸，一张边长为 $10 c m$ 的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒．
【实践探索】

(1)、求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留 $π$ ）

(2)、如3图，如果想要绳子缠绕笔筒 $2$ 圈，正好从 $A$ 点绕到正上方的 $B$ 点，求所需绳子的最短长度．（结果保留 $π$ 和根号）

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19、如图，双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与一次函数 $y = - \frac{1}{2} x - 1$ 的图象交于 $A (m, 1)$ ， $B (2, n)$ 两点．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值，并求反比例函数的解析式；

(2)、设直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，若 $P$ 为 $x$ 轴上一点，当 $△ A P C$ 的面积为 $3$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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20、“国家喊你该减肥了”，国家卫生健康委联合民政部等部门启动实施了“体重管理年”行动.某社区积极响应，安装了 $A ， B$ 两款健身器材，方便居民健身活动，并对两款健身器材进行了满意度测评，社区工作人员从居民对 $A ， B$ 两款健身器材的满意度评分中各随机抽取 $20$ 份，对数据进行整理、描述和分析．（评分分数用 $x$ 表示，分为四个等级：不满意 $x < 70$ ，比较满意 $70 \leq x < 80$ ，满意 $80 \leq x < 90$ ，非常满意 $x \geq 90$ ，单位：分）抽取的对 $A$ 款健身器材的评分数据中“满意”包含的所有数据： $83$ ， $85$ ， $85$ ， $87$ ， $87$ ， $89$ ；抽取的对B款健身器材的评分数据： $68$ ， $69$ ， $76$ ， $78$ ， $81$ ， $84$ ， $85$ ， $86$ ， $87$ ， $87$ ， $87$ ， $89$ ， $95$ ， $97$ ， $98$ ， $98$ ， $98$ ， $98$ ， $99$ ， $100$ ．
抽取的对 $A ， B$ 款健身器材的满意度评分统计表
健身器材
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
$A$
$88$
$88$
$96$
$45 %$
$B$
$88$
$87$
$98$
$40 %$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ______；

(2)、若有 $800$ 名居民对 $B$ 款健身器材进行评分，请你估计“满意”的有多少人；

(3)、社区甲乙两人进行健身活动，用列表或树状图求甲选 $A$ 器材乙选 $B$ 器材的概率．

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