相关试卷

1、如图，正方形 $A B C D$ 的面积为3，顶点 $A$ 在数轴上，且点 $A$ 表示的数为2，数轴上有一点 $E$ 在点 $A$ 的左侧，若 $A D = A E$ ，则点 $E$ 表示的数为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 2$

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2、数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面 $C$ 处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离 $A C = 16 m$ ，小明竖直站在距镜子 $2 m$ 的 $E$ 处，眼睛到地面的距离 $E F = 1.5 m$ ，且点 $A ， C ， E$ 在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端 $B$ 的像． $C D ⊥ A E$ ，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即 $∠ F C D = ∠ B C D$ ，则旗杆 $A B$ 的高为 $m$ ．

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3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 $A (- 1, 0) 、 B (4, 0) 、 C$ 三点，且 $O B = O C$ ， P是抛物线上的一个动点．

(1)、求这个二次函数的解析式．

(2)、若点P在直线 $B C$ 下方，点P运动到什么位置时，四边形 $P B O C$ 的面积最大？求出此时点P的坐标．

(3)、直线 $B C$ 上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、实心球是肇庆中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点 $A$ 到地面的竖直高度 $O A$ 是 $2 m$ ．如图，当球运动到水平距离为 $2 m$ 时，达到的最大高度为 $2.25 m$ ，实心球落地点为 $B$ ，求小明该次投掷的距离 $O B$ ．

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5、有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．

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6、课本再现：

(1)、如图①， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ．若图中的 $P A = 5$ ，则 $P B$ 的长度是多少？如果 $∠ A P O = 40 °$ ，则 $∠ B P O$ 的度数是多少？请说明理由？

(2)、知识应用：如图②， $P N 、 P D 、 D E$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A 、 B 、 C$ ，且 $D E ∥ P N$ ，连接 $O D 、 O P$ ，延长 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $M$ 交 $D E$ 于点 $E$ ，过点 $M$ 作 $M N ∥ O D$ 交 $P N$ 于 $N$ ．求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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7、如图，在平面直角坐标系中．

(1)、画出 $△ A B C$ 绕原点按顺时针方向旋转 $90 °$ 后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、求点 $A$ 旋转到点 $A^{'}$ 所经过的路线长．（结果保留 $π$ ）

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8、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C 、 D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $A C = C D$ ，若 $∠ A B C = 26 °$ ，则 $∠ D A B =$ °．

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9、以下四幅图中，中心对称图形的选项是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，O为 $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线的交点 $O D ⊥ A B$ ， $O E ⊥ A C$ ， $O F ⊥ B C$ ，垂足分别为D，E，F．

(1)、求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长是30， $△ A B C$ 的面积为45，求 $O F$ 的长．

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11、如图，已知点A，C分别是 $△ F B E$ 的边 $B F$ 和 $B E$ 延长线上的点，作 $∠ A F E$ 的平分线 $F D$ ，若 $F D ∥ B C$ ．

(1)、求证： $△ F B E$ 是等腰三角形；

(2)、作 $∠ F E C$ 的平分线交 $F D$ 于点H，若 $∠ B = 50 °$ ，求 $∠ F H E$ 的度数．

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12、如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，点D在 $A B$ 上，连接 $C D$ ．作 $∠ C D E = 30 °$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点E．当 $D E ∥ B C$ 时，求证： $△ A C D$ 为直角三角形．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $B D$ 、 $B C$ 上的动点， $A B$ ＞ $B D$ 且 $S_{△ A B C} = 10$ ， $A B$ ＝ $5$ ，则 $C M + M N$ 的最小值为．

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14、如图， $△ A B C$ 中边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $A E = 4 c m$ ， $△ A D C$ 的周长为 $12 c m$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（）

A、 $18 c m$ B、 $20 c m$ C、 $19 c m$ D、 $21 c m$

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15、2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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16、阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0$ ，
∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，此时 $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ；
【实例展示1】已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{9}{x}$ 最小值．
解： $x + \frac{9}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$ ，当且仅当 $x = \frac{9}{x}$ ， ∵ $x > 0$ ，即 $x = 3$ 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 \frac{3}{4}$ 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如
$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ $= \frac{(x^{2} - 1) + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，则当 $x =$ 时，式子 $x + \frac{16}{x}$ 取得最小值，最小值为；

(2)、分式 $\frac{3}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 6}{x + 1}$ 可化为带分式形式为；如果分式 $\frac{x + 6}{x + 4}$ 的值为整数，则满足条件的整数x的值有个；

(3)、用篱笆围一个面积为 $225 m^{2}$ 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(4)、已知 $x > 1$ ，当x取何值时，分式 $\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}$ 取得最大值，最大值是多少？

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17、阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数 $m$ 、 $n$ ，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ，则可将 $a \pm 2 \sqrt{b}$ 化为 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n$ ，即 $(m \pm n)^{2}$ ，从而使得 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 化简．
例如， $5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = （ \sqrt{3} ）^{2} + （ \sqrt{2} ）^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$ ，
所以 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
请仿照上例化简下列根式。

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ；

(2)、 $\sqrt{19 - 4 \sqrt{15}} =$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 2 \sqrt{20}}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{4051 + 2 \sqrt{2025 \times 2026}}}$ ．

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18、阅读下列解题过程：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
…

(1)、 $\sqrt{1 - \frac{9}{25}} =$ ， $\sqrt{1 - \frac{15}{64}} =$ ．

(2)、利用这一规律计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \cdot \cdot \cdot \times \sqrt{1 - \frac{99}{2500}}$ ．

(3)、观察上面的解题过程，计算： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}}$ （ $n$ 为正整数）．

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19、阅读并解答：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值．
小熙根据二次根式的性质： ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ，联想到了如下解法：
由 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $x - 2 = \sqrt{5}$ ，则 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ，即 $x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ， ∴ $x^{2} - 4 x = 1$ ．把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体，得： $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ ．
请运用上述方法解决下列问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{2} - 1$ ，求代数式 $x^{2} + 2 x + 7$ 的值．

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ ，对x进行分母有理化．

(3)、结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式 $- 2 x^{2} + 12 x - 8$ 的值．

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20、古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 $A B = 7 m$ ， $A C = 5 m$ ， $B C = 8 m$ ，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到 $0.1 m^{2}$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）？

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