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1、已知：如图，点是线段上一定点， ， 、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)、若 ， 当点、运动了 ， 此时 ， ． （直接填空）(2)、若 ， 点、运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．(3)、当点、运动了 ， 求的值．(4)、若点C、D运动时，总有 ， 是直线AB上一点，且 ， 求的值． -
2、如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点 ， 将含有角的三角板绕点按顺时针方向旋转如图2（在内部)，请回答问题：
(1)、图1中的度数为 ．(2)、在旋转过程中，当平分时，求的度数．(3)、是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． -
3、2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个．(1)、求该班男生、女生各多少人？(2)、班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？
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4、如图，已知点为的中点，点在线段上，点为的中点， ， ，
(1)、________；(2)、求的长． -
5、如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形 ， 连接、、 ． 当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为 ， 那么的值为 ．
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6、下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图8中有（ ）个棋子．
A、61 B、60 C、59 D、58 -
7、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为7，则第2026次输出的结果为（ ）
A、8 B、4 C、2 D、1 -
8、如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是（ ）
A、数 B、学 C、素 D、养 -
9、如图，是的直径，是弦延长线上一点，切线平分于 ．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ， ， 求的直径．
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10、【新定义】
若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点 ， 与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”．
例：如图1所示，与相交于点 ， 直线分别与 ， 交于点和点 ， 称直线l是和的“美好对应轴”．
(1)、若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为 ， 则另外一个交点Q（ ， ）；(2)、如图2所示，已知 ， ， 请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由；(3)、如图3所示，已知 ， ， 若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式．(4)、【拓展研究】如图4所示， ， 直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、 ， 若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．
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11、【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
【基础应用】
（1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为 ． 若 ， 则 ；
【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？
（2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知 ， 面积分别为m，n，p，q． 若求的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接 ， 若 ， ， 求c的值．
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12、在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上．
(1)、过点C作 ， 且 ， 画出线段；(2)、在（1）的条件下，求证：平分 ． -
13、在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
(1)、小宝同学的测试成绩数据的四分位数 ， ， 、(2)、根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图， 成绩比较集中；(3)、你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． -
14、如图，在四边形中， ， ， 对角线平分 ， 且 ， 点E是上一点，连接和 ． 记的面积为 ， 的面积为 ， 若 ， 则的值为 ．
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15、在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（ ， ， ···，）记为x，加密后的数字y满足“”；若 ， 则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
数字
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
示例：原字母“D”（），加密得 ， 对应字母“I”．现有字母“”，则加密后的字母是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
16、如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高米的小宝（线段）走向感应门，当离门米时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于 （ ）
A、2米 B、米 C、米 D、米 -
17、现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若 ， 则的度数为（ ）
A、 B、 C、 D、 -
18、读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长，小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表：
人数
10
10
5
课外书数量（本）
3
4
6
8
(1)、阅读课外书数量的中位数是________，众数是________，平均阅读课外书为________本；(2)、若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取到一男一女的概率． -
19、某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得 ， 则四边形的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
20、如图1，等腰中，点分别在腰上，连结 ， 若 ， 则称为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，是等腰的逆等线，若 ， 求逆等线的长；
（2）如图2，若直角的直角顶点恰好为等腰直角底边上的中点，且点分别在上，求证：为等腰的逆等线；
（3）如图3，等腰的顶点与原点重合，底边在轴上，反比例函数的图象交于点 ， 若恰为的逆等线，过点分别作轴于点轴于点 ， 已知 ， 求的长．
