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1、如图，二次函数y=ax²+bx+c图象经过点A(-6，0)，其对称轴为直线x=-2，有下列结论：①abc<0；②4a+2b+c<0；③9a+4c<0；④4ac-b2>0；⑤若P(-8，y₁)，Q(m，y₂)是抛物线上两点，且y₁>y₂ ，则实数m的取值范围是-8<m<4．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、如图，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ 和 $(m, 0)$ ，请思考下列判断：
① $a b c < 0$ ；② $4 a + c < 2 b$ ；③ $\frac{b}{c} = 1 - \frac{1}{m}$ ；④ $a m^{2} + (2 a + b) m + a + b + c < 0$ ；⑤ $| a m + a | = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ 正确的是（）

A、①③⑤ B、①③④ C、①②③④⑤ D、①②③⑤

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3、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，则一次函数 $y = a x + b^{2} - 4 a c$ 与反比例函数 $y = \frac{b + c}{x}$ ．在同一坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则函数 $y = a x + c$ 与函数 $y = \frac{b}{x}$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图，已知 $O A = 6, O B = 8, B C = 2, ⊙ P$ 与OB，~AB均相切，点 $P$ 是线段AC与抛物线 $y = a x^{2}$ 的交点，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、5

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6、如图

(1)、问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC ， EC＝DC ，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F ．线段AF ， BF ， CF之间存在怎样的数量关系？

(2)、问题探究
①先将问题特殊化如图（2），当点D ， F重合时，直接写出一个等式，表示AF ， BF ， CF之间的数量关系；
②再探究一般情形如图（1），当点D ， F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

(3)、问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC ， EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ， BF ， CF之间的数量关系

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7、如图

(1)、【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE ，连接BD ，则∠ABD＝度

(2)、【解决问题】
①如图2，在边长为 $\sqrt{7}$ 的等边三角形ABC内有一点 $P, ∠ A P C = 9 0^{°}, ∠ B P C = 12 0^{°}$ ，求 $△ A P C$ 的面积．
②如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A C = B C, P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，若 $P B = 1, P A = 3$ ， $∠ B P C = 13 5^{°}$ ，则 $P C =$ ▲ ．

(3)、【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量 $A B = 4, B C = 3 \sqrt{2}, ∠ A B C = 7 5^{°}, P$ 为 $△ A B C$ 内的一个动点，连接PA，PB，PC．求 $P A + P B + P C$ 的最小值．

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8、问题背景：如图1，在矩形ABCD中， $A B = 2 \sqrt{3}, ∠ A B D = 3 0^{°}$ ，点 $E$ 是边AB的中点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 交BD于点 $F$ ．

(1)、在一次数学活动中，小王同学将图1中的 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，如图2所示，得到结论：① $\frac{A E}{D F} =$ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．

(2)、小王同学继续将 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

(3)、根据以上探究，将 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $18 0^{°}$ ，设直线AE与DF的交点为 $P$ ，在旋转过程中，点 $P$ 的位置也随之改变，请思考点 $P$ 运动的轨迹，直接写出点 $P$ 运动的路程．（结果保留 $π$ ）

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9、阅读材料：若满足 $(8 - x) (x - 6) = - 3$ ，求 $(8 - x)^{2} + (x - 6)^{2}$ 的值．
解：设 $8 - x = a, x - 6 = b$ ，则 $(8 - x) (x - 6) = a b = - 3, a + b =$ $8 - x + x - 6 = 2$ ．
所以 $(8 - x)^{2} + (x - 6)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 2^{2} - 2 \times$ $(- 3) = 10$ ．
请仿照上例解决下面的问题：

(1)、问题发现：若 $x$ 满足 $(3 - x) (x - 2) = - 10$ ，求 $(3 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值；

(2)、类比探究：若 $x$ 满足 $(2022 - x)^{2} + (2021 - x)^{2} = 2020$ ．求 $(2022 - x) (2021 - x)$ 的值；

(3)、拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD，~CD，交NP和MP于H，~Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为 $x, A E = 10, C G = 20$ ，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．

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10、在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC ，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA ， AE交边BC于点F ，连接CE ．

(1)、特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ ▲ °；

(2)、探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

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11、将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E ，连接DB'，

(1)、如图1，当 $a = 6 0^{°}$ 时， $△ D E B^{^{'}}$ 的形状为，连接BD，可求出 $\frac{B B^{^{'}}}{C E}$ 的值为．

(2)、当 $0^{°} < a < 36 0^{°}$ 且 $a \neq 9 0^{°}$ 时，
①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
②当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出 $\frac{B E}{B^{^{'}} E}$ 的值．

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12、定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB ，点B到直线AD的距离为BE ．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．

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13、抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x - 3 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C且OA=3OB.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、若M ， N是第四象限的抛物线上不同的两点，且△ACN的面积恒小于△ACM的面积，求点M的坐标.

(3)、若点D为抛物线的顶点，P为第三象限的抛物线上的一点，连接AP ， PD ，分别交y轴与点E ， F ，若EF= $\frac{1}{3}$ OC ，求点P的坐标

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14、如图

(1)、观察猜想：
如图1，在ΔABC中，tanB=1，AB=AC=3，AD是∠BAC的平分线，以CD为一边作正形CDEF ，点E与点A重合，则 $\frac{B E}{A F}$ =

(2)、类比探究：
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF ，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明．

(3)、问题解决：当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．

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15、如图

(1)、【基础巩固】
如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED ．

(2)、【尝试应用】
如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E ， F分别为边AD ， AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB ， PC ，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长

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16、将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB^'C^'D^' ，连结BD ．

(1)、[探究1]如图1，当α＝90°时，点C^'恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

(2)、[探究2]如图2，连结AC^' ，过点D^'作D^'M∥AC^'交BD于点M ．线段D^'M与DM相等吗？请说明理由．

(3)、[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD^' ， AC^'于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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17、综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背 $A E$ 与脚板 $B F$ 平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板 $B F$ ；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背 $A E$ 由直变曲，并赋予座面 $A B$ 一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线 $A E$ 是二次函数的部分图象，点 $A$ 为顶点：线段 $A B = 5 \sqrt{82} cm$ （实际生产时取 $A B \approx 45 cm$ ）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距 $60 cm$ ，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）

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18、如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的边 $O C$ 、 $O A$ 分别在坐标轴上，且 $O A = 3$ ， $O C = 6$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点D、E，连结 $D E$ ．

(1)、如图2，连结 $O D$ 、 $O E$ ，当 $△ O A D$ 的面积为2时：
① $k =$ ______；②求 $△ O D E$ 的面积；

(2)、如图3，将 $△ D E B$ 沿 $D E$ 翻折，当点B的对称点F恰好落在边 $O C$ 上时，求k的值．

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19、如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩 $A M$ ， $B P$ ， $C N$ 垂直于地面放置，醒狮少年从点 $A$ 跳跃到点 $B$ ，随后纵身跃至点 $C$ ，已知 $∠ A = 59 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $M P = 0.25 m$ ， $N P = 1.35 m$ ．（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $cos 31 ° \approx 0.86$ ， $tan 31 ° \approx 0.60$ ）

(1)、在图2中， $∠ A B C =$ ________；

(2)、醒狮少年在某次演出时需要从点 $A$ 直接腾跃至点 $C$ 进行“采青”，请求出“采青”路径 $A C$ 的长度；

(3)、醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩 $A M$ 的影子顶端恰好落在点 $B$ 处，梅花桩 $B P$ 的影子顶端恰好与点 $N$ 重合，请在图3中画出梅花桩 $A M$ ， $B P$ 的影子并计算出 $B P$ 的高度；

(4)、如图4，保持 $B P$ 不变，通过调整梅花桩 $A M$ 的高度，使得 $A C + A B$ 的值最小，请求出此时 $A M$ 的高度（结果精确到 $0.01 m$ ）．

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20、据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．
小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 $A$ ， $B$ 两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数：
学校 $A$ ：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50．
学校 $B$ ：如图所示：

(1)、根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考：

(2)、若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？

(3)、若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？

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