相关试卷

1、【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
以下是两位同学不同的证明思路：
小明采用“截长法”（如图1）在 $A B$ 上截取 $B D = B C$ ，连接 $C D$ …
小丽采用“补短法”（如图2）延长 $B C$ 到点D，使得 $B C = C D$ ，连接 $A D$ …
（1）请你任选其中一位同学的方法完成证明；
【深入探究】
（2）如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = B C = 4$ ， $∠ B =60 °$ ，点P从点B出发，沿线段 $B A$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于E，作 $P F ⊥ A B$ 交直线 $C D$ 于点F，交直线 $B C$ 于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时， $△ P B E$ 与 $△ Q C F$ 全等，并说明理由．

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2、将若干张长为 $30 cm$ ，宽为 $20 cm$ 的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为 $5 cm$ ．
白纸张数
1
2
3
4
5
…
纸条长度
30

80
105

…

(1)、根据图，将表格补充完整．

(2)、设x张白纸粘合后的总长度为 $y cm$ ，则y与x之间的关系式是什么？

(3)、你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为 $540 cm$ 吗？为什么？

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3、在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．

(1)、若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为 $\frac{3}{5}$ ，求x的值．

(2)、若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）．

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4、计算：

(1)、 $- 1^{2} + {(- 2024)}^{0} + |- 5| + {(- \frac{1}{2})}^{- 3}$

(2)、 ${(2 x^{2} y)}^{3} \cdot (- x y) \div {(- 3 x^{3} y^{2})}^{2}$

(3)、先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} - (y + 2 x) (2 x - y) - 2 y] \div 2 y$ ，其中 $|x + 1| + {(y - 3)}^{2} = 0$ ．

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5、如图1，在长方形 $A B C D$ 中，动点P从点B出发，沿 $B C - C D - D A$ 运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x， $△ A B P$ 的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当 $y = 3$ 时，对应的x的值是．

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6、如图，△ABC中，∠C=40°，D为△ABC中AC边上一点，将△ABC沿BD折叠得到△A^'BD，若DA'∥BC，那么∠ADB=°．

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7、已知 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 6$ ，则 $a^{m + n} =$ ．

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8、新高考“ $3 + 1 + 2$ ”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治学科的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、下列说法不正确的是（）

A、为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查 B、为了审核书稿中的错别字，选择全面调查 C、“经过交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 D、“射击运动员射击一次命中靶心”是随机事件

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10、下列标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、阅读材料：
已知多项式 $3 x^{3} - x^{2} + n$ 有一个因式是 $x + 1$ ，求 $n$ 的值．
解法：设 $3 x^{3} - x^{2} + n = A \cdot (x + 1)$ （ $A$ 为整式）．
由于上式为恒等式，为方便计算取 $x = - 1$ ，则 $3 \times {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + n = 0$ ，解得 $n = 4$ ．
根据上述材料，解决下列问题：

(1)、已知多项式 $x^{4} + m x^{2} + n x - 16$ 有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，则 $m =$ ， $n =$ ．

(2)、已知 $x^{2} + 2 x + 1$ 是多项式 $x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的一个因式，求 $a$ ， $b$ 的值，并将该多项式因式分解．

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12、在学习完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 后，我们对公式的运用进一步探讨．

(1)、若 $a b = 16$ ， $a + b = 10$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、阅读以下解法，并解决相应问题．
“若 $y$ 满足 $(40 - y) (y - 20) = 50$ ，求 ${(40 - y)}^{2} + {(y - 20)}^{2}$ 的值”．
解：设 $40 - y = a$ ， $y - 20 = b$ ，则 $a + b = (40 - y) + (y - 20) = 20$ ， $a b = (40 - y) (y - 20) = 50$ ，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
①若 $x$ 满足 $(30 - x) (x - 22) = 6$ ，则 ${(30 - x)}^{2} + {(x - 22)}^{2} =$ ▲ ；
②若 $x$ 满足 ${(2 x + 3)}^{2} + {(2 x - 1)}^{2} = 76$ ，求 $2 (2 x + 3) \cdot (2 x - 1)$ 的值；
③如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ ， $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和正方形 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为24，求图中阴影部分的面积．

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13、已知 $a$ 和 $b$ 为有理数，现规定一种新的运算符号，定义 $a * b = a^{2} + 2 b$ ，例如： $4 * 5 = 4^{2} + 2 \times 5 = 26$ ，请根据符号的意义解决下列问题：

(1)、 $2 * 3$ 的值为；

(2)、若 $x * (k x + 2)$ 是一个完全平方式，则 $k =$ ；

(3)、已知 $x - y = 1$ ，且 $(x - 3 y) * (3 x y - 4 y^{2}) = 13$ ，求 $x y$ 的值．

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14、

(1)、计算： $(x + 2 y) (y - 2) + (2 y - 4 x) (y + 1)$ ；

(2)、分解因式： ${(a^{2} + 4)}^{2} - 16 a^{2}$ ．

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15、定义：规定 $i$ 的平方等于 $- 1$ ，即 $i^{2} = - 1$ ，则i叫做虚数单位，形如 $a + b i$ （a ， b为实数）的数叫做复数， a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部．如：复数 $1 - 2 i$ 的实部是1，虚部是 $- 2$ ．

(1)、复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似．
如：① $(2 + i) + (3 - 4 i) = (2 + 3) + (1 - 4) i = 5 - 3 i$ ；② $(3 + i) i = 3 i + i^{2} = 3 i - 1$ ；
填空：① $(1 - 2 i) + (2 + i) =$ ；② $(2 + i) (3 - i) =$ ；

(2)、若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如： $1 + 2 i$ 的共轭复数为 $1 - 2 i$ ．若 $a + b i$ 是 $(2 + i) (3 - i)$ 的共轭复数，则 $a =$ ， $b =$ ， ${(b - a)}^{2} =$ ；

(3)、已知 $(m + i) (n + i) = 2 - 3 i$ ，其中 $m, n$ 为实数，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．

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16、先化简，再求值： ${(3 x + y)}^{2} + y (x - 3 y) - (3 x - y) (3 x + y)$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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17、在把 $x$ ， $y$ 的值代入 $(x + y) (x - 3 y) - m y (n x - y)$ （ $m$ ， $n$ 均为常数）计算时，小明把 $y$ 的值看错了，其结果等于9；小红把正确的 $x$ ， $y$ 的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把 $y$ 的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， $m + n =$ ．

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18、若 $a - b = 3$ ， $a b = 2$ ，则 $a^{3} b - 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为．

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19、若 $b$ 为整数，且 $x + 1$ 是 $x^{2} + b x + 3$ 的一个因式，则 $b$ 的值为．

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20、因式分解 $(p - 5) (p + 1) + 9 =$ ．

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白纸张数	1	2	3	4	5	…
纸条长度	30		80	105		…