• 1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=ax+b24ac与反比例函数y=b+cx . 在同一坐标系内的图象大致为(    )

    A、 B、 C、 D、
  • 2、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=ax+c与函数y=bx在同一坐标系内的图象可能是(    )

    A、 B、 C、 D、
  • 3、如图,已知OA=6,OB=8,BC=2,P与OB,~AB均相切,点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点,则a的值为(    )

    A、4 B、92 C、112 D、5
  • 4、如图

    (1)、问题提出

    如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BCACECDC , 点E在△ABC内部,直线ADBE交于点F . 线段AFBFCF之间存在怎样的数量关系?

    (2)、问题探究

    ①先将问题特殊化如图(2),当点DF重合时,直接写出一个等式,表示AFBFCF之间的数量关系;

    ②再探究一般情形如图(1),当点DF不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.

    (3)、问题拓展

    如图(3),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BCkACECkDCk是常数),点E在△ABC内部,直线ADBE交于点F . 直接写出一个等式,表示线段AFBFCF之间的数量关系

  • 5、如图

    (1)、【操作发现】

    如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转50°,得到△ADE , 连接BD , 则∠ABD

    (2)、【解决问题】

    ①如图2,在边长为7的等边三角形ABC内有一点P,APC=90°,BPC=120° , 求APC的面积.

    ②如图3,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,PABC内的一点,若PB=1,PA=3BPC=135° , 则PC=    ▲        

    (3)、【拓展应用】

    如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AB=4,BC=32,ABC=75°,PABC内的一个动点,连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.

  • 6、问题背景:如图1,在矩形ABCD中,AB=23,ABD=30° , 点E是边AB的中点,过点EEFAB交BD于点F

    (1)、在一次数学活动中,小王同学将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转90° , 如图2所示,得到结论:①AEDF=;②直线AE与DF所夹锐角的度数为
    (2)、小王同学继续将BEF绕点B按逆时针方向旋转,旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.
    (3)、根据以上探究,将BEF绕点B按顺时针方向旋转180° , 设直线AE与DF的交点为P , 在旋转过程中,点P的位置也随之改变,请思考点P运动的轨迹,直接写出点P运动的路程.(结果保留π
  • 7、阅读材料:若满足(8x)(x6)=3 , 求(8x)2+(x6)2的值.

    解:设8x=a,x6=b , 则(8x)(x6)=ab=3,a+b=8x+x6=2

    所以(8x)2+(x6)2=a2+b2=(a+b)22ab=222×(3)=10

    请仿照上例解决下面的问题:

    (1)、问题发现:若x满足(3x)(x2)=10 , 求(3x)2+(x2)2的值;
    (2)、类比探究:若x满足(2022x)2+(2021x)2=2020 . 求(2022x)(2021x)的值;
    (3)、拓展延伸:如图,正方形ABCD和正方形和MFNP重叠,其重叠部分是一个长方形,分别延长AD,~CD,交NP和MP于H,~Q两点,构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形,四边形PQDH是长方形.若正方形ABCD的边长为x,AE=10,CG=20 , 长方形EFGD的面积为200.求正方形MFNP的面积(结果必须是一个具体数值).
  • 8、在△ABC中,∠BAC═90°,ABAC , 点D在边BC上,DEDADEDAAE交边BC于点F , 连接CE

    (1)、特例发现:如图1,当ADAF时,

    ①求证:BDCF

    ②推断:∠ACE    ▲        °;

    (2)、探究证明:如图2,当ADAF时,请探究∠ACE的度数是否为定值,并说明理由;
  • 9、将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α.连接BB',过点DDE垂直于直线BB',垂足为点E , 连接DB',

    (1)、如图1,当a=60°时,DEB'的形状为 , 连接BD,可求出BB'CE的值为
    (2)、当0°<a<360°a90°时,

    ①(1)中的两个结论是否成立?若成立,利用图2进行证明;若不成立,请说明理由;

    ②当以点B,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,求出BEB'E的值.

  • 10、定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.

    根据以上定义,解决下列问题:

    (1)、如图1,正方形ABCD中,ECD上的点,将△BCEB点旋转,使BCBA重合,此时点E的对应点FDA的延长线上,则四边形BEDF为“直等补”四边形,为什么?
    (2)、如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,ABBC=5,CD=1,ADAB , 点B到直线AD的距离为BE

    ①求BE的长;

    ②若MN分别是ABAD边上的动点,求△MNC周长的最小值. 

  • 11、抛物线y=mx22mx3(m>0)x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点COA=3OB.

    (1)、求抛物线的解析式.
    (2)、若MN是第四象限的抛物线上不同的两点,且△ACN的面积恒小于△ACM的面积,求点M的坐标.
    (3)、若点D为抛物线的顶点,P为第三象限的抛物线上的一点,连接APPD , 分别交y轴与点EF , 若EF=13OC , 求点P的坐标
  • 12、如图

    (1)、观察猜想:

    如图1,在ΔABC中,tanB=1,AB=AC=3,AD是∠BAC的平分线,以CD为一边作正形CDEF , 点E与点A重合,则BEAF=

    (2)、类比探究:

    在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BECEAF , (1)中的结论是否成立?请按图2加以证明.

    (3)、问题解决:当正方形CDEF旋转到BEF三点共线时,请直接写出线段AF的长.
  • 13、如图

    (1)、【基础巩固】

    如图①,∠ABC=∠ACD=∠CED=α,求证:△ABC∽△CED

    (2)、【尝试应用】

    如图②,在菱形ABCD中,∠A=60°,点EF分别为边ADAB上两点,将菱形ABCD沿EF翻折,点A恰好落在对角线DB上的点P处,若PD=2PB , 求AEAF的值.

    (3)、【拓展提高】

    如图③,在矩形ABCD中,点PAD边上一点,连接PBPC , 若PA=2,PD=4,∠BPC=120°,求AB的长

  • 14、将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤90°),得到矩形AB'C'D' , 连结BD

    (1)、[探究1]如图1,当α=90°时,点C'恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.
    (2)、[探究2]如图2,连结AC' , 过点D'D'MAC'BD于点M . 线段D'MDM相等吗?请说明理由.
    (3)、[探究3]在探究2的条件下,射线DB分别交AD'AC'于点PN(如图3),发现线段DNMNPN存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明.
  • 15、已知抛物线y=ax2+bx−32(a>0)与x轴交于点A,B两点,OA<OB,AB=4.其顶点C的横坐标为-1.
    (1)、求该抛物线的解析式;
    (2)、设点D在抛物线第一象限的图象上,DEAC垂足为E,DF∥y轴交直线AC于点F,当DEF面积等于4时,求点D的坐标;
    (3)、在(2)的条件下,点M是抛物线上的一点,M点从点B运动到达点C,FMFN交直线BD于点N,延长MF与线段DE的延长线交于点H,点P为N,F,H三点构成的三角形的外心,求点P经过的路线长.
  • 16、综合与实践.

    【实践背景】

    人体工学座椅通常具有可调节的功能,座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整.座椅在如图1的形态下,靠背与座面基本垂直,脚板收拢于座面下方,其结构简图如图3所示.

    【实践操作】

    现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态,使得靠背AE与脚板BF平行,请在图4中用尺规作图法画出脚板BF;(保留作图痕迹,不要求写出作法)

    【升级设计】

    如图5,现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中,把靠背AE由直变曲,并赋予座面AB一定的座位深度,使其不再与地面平行.其中曲线AE是二次函数的部分图象,点A为顶点:线段AB=582cm(实际生产时取AB45cm);

    (1)求该二次函数的解析式;

    (2)如果座椅两扶手之间相距60cm , 现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅,提供如下面积足够大的长方形纸皮,请你直接在图6中画出设计图(纸箱的展开图),并在图中标明尺寸.(要求:包装箱的体积最小)

  • 17、如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OCOA分别在坐标轴上,且OA=3OC=6 , 反比例函数y=kxx>0的图象与ABBC分别交于点D、E,连结DE

    (1)、如图2,连结ODOE , 当OAD的面积为2时:

    k=______;②求ODE的面积;

    (2)、如图3,将DEB沿DE翻折,当点B的对称点F恰好落在边OC上时,求k的值.
  • 18、如图所示是广东醒狮,它是国家级非物质文化遗产之一,其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技.如图2,三根梅花桩AMBPCN垂直于地面放置,醒狮少年从点A跳跃到点B , 随后纵身跃至点C , 已知A=59°C=45°MP=0.25mNP=1.35m . (参考数据:sin31°0.52cos31°0.86tan31°0.60

    (1)、在图2中,ABC=________;
    (2)、醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”,请求出“采青”路径AC的长度;
    (3)、醒狮少年在休息时发现,在太阳光下梅花桩AM的影子顶端恰好落在点B处,梅花桩BP的影子顶端恰好与点N重合,请在图3中画出梅花桩AMBP的影子并计算出BP的高度;
    (4)、如图4,保持BP不变,通过调整梅花桩AM的高度,使得AC+AB的值最小,请求出此时AM的高度(结果精确到0.01m).
  • 19、据了解,“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中,推动的惠民利民重要举措,在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义.按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则,“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地,已有的体育场地得到有效利用”.

    小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体,现有AB两所学校适合,小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数:

    学校A:28,30,40,45,48,48,48,48,48,50.

    学校B:如图所示:

    (1)、根据上述内容,整理出众数、中位数、平均数、方差等数据,给下列问题提供参考:
    (2)、若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身,则他应该预约哪所学校?
    (3)、若小粤爸爸健身时需要更好的场所,则他应该预约哪所学校?
  • 20、(1)解方程:x1x4xx1=0

    (2)已知a是锐角,求证:cos4asin4a=cos2asin2a

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