相关试卷

1、用适当的不等式表示下列关系：

(1)、x的 $\frac{1}{3}$ 与x的2倍的和是非正数；

(2)、一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；

(3)、三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元；

(4)、小明的体重不比小刚轻．

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2、交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过某桥洞时，我们看到如图所示的限制车高标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（）

A、 $x \geq 4.5 m$ B、 $x > 4.5 m$ C、 $x < 4.5 m$ D、 $0 < x \leq 4.5 m$

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3、综合与实践
【知识准备】
若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为 $A B$ 的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 $\frac{x + y}{2}$ ．
（1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D对应的数为 $- 2$ ，则 $C D$ 的中点N所对应的数为；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为 $t s$ ， t为何值时， $P Q$ 的中点所对应的数为10？
【拓展延伸】
（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为 $A B$ 靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为 $\frac{2 x + y}{3}$ ；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为 $A B$ 最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为： $\frac{3 x + y}{4}$ ．
①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为 $A B$ 最靠近点A的五等分点．则点M对应的数为．
②在（2）的条件下，若E是 $Q P$ 最靠近Q的五等分点，F为 $P C$ 的中点，当 $\frac{3}{7} \leq t \leq 10$ 时， $\frac{5}{7} O E + 2 O F$ 的值是否与t有关，请说明理由．

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4、如图，射线 $O A$ 的方向是北偏西 $10 °$ ，射线 $O D$ 的方向是北偏东 $70 °$ ， $O E$ 为正北方向， $O B$ 为正东方向，且 $O C$ 平分 $∠ A O B$ ．

(1)、射线 $O C$ 的方向是．

(2)、求 $∠ C O D$ 的度数．

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5、我们约定：点 $B (t m, t n) (t > 0)$ 为点 $A (m, n)$ 的“ $t$ 倍位似点”，当点 $A (m, n)$ 为函数 $P$ 图象上任意一点时，点 $B (t m, t n)$ 均在函数 $Q$ 图象上，则称函数 $Q$ 为函数 $P$ 的“ $t$ 倍位似函数”．例如，点 $B (2 m, 4 m + 2)$ 为点 $A (m, 2 m + 1)$ 的“2倍位似点”，点 $A (m, 2 m + 1)$ 为函数 $y = 2 x + 1$ 图象上任意一点，点 $B (2 m, 4 m + 2)$ 均在函数 $y = 2 x + 2$ 图象上，则称函数 $y = 2 x + 2$ 为函数 $y = 2 x + 1$ 的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题：

(1)、①点 $A (- 1, 3)$ 的“3倍位似点”为（填坐标）；
②点 $A (m, - m + 2)$ 为函数 $y = - x + 2$ 图象上任意一点，则函数 $y = - x + 2$ 的“3倍位似函数”为（填解析式）；

(2)、函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的“2倍位似函数”图象与直线 $y = - k x + n$ 只有一个公共点，求 $\frac{n}{k}$ 的值；

(3)、函数 $Q$ 为函数 $P : y = a x^{2} + b x + c (a c > 0)$ 的“2倍位似函数”，直线 $y = b x + a$ 与函数 $P$ 图象交于 $C$ ， $D$ 两点，与函数 $Q$ 图象交于 $E, F$ 两点，函数 $P, Q$ 的图象交于 $M, N$ 两点， $C D, E F, M N$ 这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由．

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6、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 边上不与端点重合的一动点，点 $F$ 是对角线 $B D$ 上一点，连接 $B E, A F$ 交于点 $O$ ，且 $∠ A B E = ∠ D A F$ ．
【模型建立】
（1）求证： $A F ⊥ B E$ ；
【模型应用】
（2）若 $A B = 2, A D = 3, D F = \frac{1}{2} B F$ ，求 $D E$ 的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形 $A B C D$ 是正方形， $D F = \frac{1}{2} B F$ ，求 $\frac{A F}{A D}$ 的值．

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7、2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 $B O T$ 》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台 $A$ 型机器人、3台 $B$ 型机器人，共需260万元；若买3台 $A$ 型机器人、2台 $B$ 型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

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8、随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图， $O$ ， $C$ 是同一水平线上的两点，无人机从 $O$ 点竖直上升到 $A$ 点，在 $A$ 点测得 $C$ 点的俯角为 $30 °, A, C$ 两点的距离为 $24 m$ ．无人机继续竖直上升到 $B$ 点，在 $B$ 点测得 $C$ 点的俯角为 $36.9 °$ ．求无人机从 $A$ 点到 $B$ 点的上升高度 $A B$ （结果精确到 $0.1 m$ ）．（点 $O, A, B, C$ 在同一平面内，参考数据： $sin 36.9 ° \approx 0.60$ ， $cos 36.9 ° \approx 0.80$ ， $tan 36.9 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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9、湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别
跳绳次数分段
频数
$A$
$40 \leq x < 80$
$n$
$B$
$80 \leq x < 120$
70
$C$
$120 \leq x < 160$
76
$D$
$160 \leq x < 200$
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一分钟跳绳成绩的扇形统计图

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为人；统计表中的 $n$ 的值是；扇形统计图中B组所对的圆心角是．

(2)、求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；

(3)、现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？

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10、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $E$ 、 $F$ 分别在 $A D$ 及其延长线上， $C E ∥ B F$ ，连接 $B E 、 C F$ ．

(1)、求证： $△ B D F ≌ △ C D E$

(2)、若 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，试判断四边形 $B F C E$ 的形状，并说明理由．

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11、先化简，再求值： $(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ 其中 $x$ ， $y$ 满足 $|x - 2| + {(y + 1)}^{2} = 0$ ．

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12、计算： ${(- 2023)}^{0} - 3 tan 30 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ ．

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13、如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知 $O B = 10, O A = 20, ∠ B O C = 120 °$ ，则图2中的阴影部分的面积为．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ．下列步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $A B 、 A D$ 于 $E 、 F$ 两点；②分别以点 $E 、 F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧；两弧相交于点 $P$ ；③作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，则 $C G$ 的长为．

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15、从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是 $89.7$ ，方差分别是 $S_{甲} ^{2} = 2.83$ ， $S_{乙} ^{2} = 1.71$ ， $S_{丙} ^{2} = 3.52$ ，你认为适合参加决赛的选手是．

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16、如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 $A$ ， $B$ 两点间的距离，同学们在 $A B$ 外选择一点 $C$ ，测得 $A C = 10 m$ ， $B C = 8 m$ ， $A C$ ， $B C$ 两边中点的距离 $D E = 6 m$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离是．

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17、如图，在单位为1的方格纸上， $△ A_{1} A_{2} A_{3}, △ A_{3} A_{4} A_{5}, △ A_{5} A_{6} A_{7}, \dots$ ，是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0), A_{2} (1, 1), A_{3} (0, 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1012, 0)$ B、 $(1014, 0)$ C、 $(2 ， - 507)$ D、 $(1 ， 506)$

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18、下列方程有两个相等的实数根的是（）

A、 $x^{2} + x + \frac{1}{2} = 0$ B、 $- x^{2} + 2 x - 1 = 0$ C、 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ D、 $x^{2} - x + 1 = 0$

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19、如图，平行于主光轴 $P Q$ 的光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凸透镜折射后，折射光线 $B E$ ， $D F$ 交于主光轴上一点 $G$ ，若 $∠ A B E = 130 °$ ， $∠ C D F = 150 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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20、下列因式分解正确的是（）

A、 $2 x + 6 x y = x (2 + 6 y)$ B、 $x^{2} y + 6 x y^{2} + 9 y^{3} = y (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$ C、 $x^{2} + 2 x - 8 = x (x + 2) - 8$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x + 2 y) (x - 2 y)$

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组别	跳绳次数分段	频数
$A$	$40 \leq x < 80$	$n$
$B$	$80 \leq x < 120$	70
$C$	$120 \leq x < 160$	76
$D$	$160 \leq x < 200$	34