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1、化简形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的式子，我们只要找到两个数a，b，使（ $a + b = m ， a b = n .$ 这样 ${(\sqrt{a})}^{2}$ $+ {(\sqrt{b})}^{2} = m ， \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n} ，$ 则 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a⟩ b ） .$
例如：化简 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} .$
解：这里 $m = 7 ， n = 10 ，$ 由于 $5 + 2 = 7 ， 5 \times 2 = 10 ，$ 即 ${(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 7 ， \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10} ，$ $∴ \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} = \sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2} .$
用上述的方式化简：

(1)、 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}}$

(2)、 $\sqrt{3 - \sqrt{8}} .$

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2、观察下列式子的变形过程，回答问题.
例1 $： \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 .$
例2 $： \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} ， \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} ， \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} .$

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ .

(2)、请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）.

(3)、利用上面的结论，求 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2018}}) \times$ $(\sqrt{2019} + 1)$ 的值.

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3、比较 $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小可以先将它们分子有理化如下：
$\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} ， \sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} .$
因为 $\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5} ，$ 所以 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5} .$
请利用上述方法比较 $3 \sqrt{2} - 4$ 和 $2 \sqrt{3} - \sqrt{10}$ 的大小.

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4、已知a，b满足 $3 \sqrt{a} + 5 | b | = 7 (a \geq 0) ，$ 则 $S = 2 \sqrt{a} - 3 | b |$ 的取值范围为（）

A、 $- \frac{21}{3} < S < \frac{14}{3}$ B、 $- \frac{21}{5} \leq S \leq \frac{14}{3}$ C、 $- \frac{21}{19} \leq s \leq \frac{14}{19}$ D、以上都不对

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5、若a，b满足 $2 \sqrt{a} - 3 | b | = 7 ，$ 则 $s = 3 \sqrt{a} + 5 | b |$ 的取值范围是.

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6、若a，b满足 $3 \sqrt{a} + | b | = 7 ， s = 2 \sqrt{a} - | b | ，$ 则s的取值范围是 .

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7、设x，y都是有理数，且满足方程 $(\frac{1}{2} + \frac{π}{3}) x + (\frac{1}{3} + \frac{π}{2}) y - 4 - π = 0 ，$ 那么x-y的值是.

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8、已知有理数a，b满足 $4 - \sqrt{3} a = 3 b + 2 \sqrt{3} + a ，$ 求 $a^{2} + 3 b^{2}$ 的算术平方根.

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9、已知m，n是有理数，且 $(\sqrt{5} + 2) m + (3 - 2 \sqrt{5}) n + 7 = 0 ，$ 求m，n的值.

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10、已知实数a，b，c 满足 $\sqrt{a + b + c} + \sqrt{(a^{2} + 1) (b - 6)} + |10 - 2 b| = 2$ 则 ab+ bc=.

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11、已知 $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 1} + 2}{x + 1} ，$ 其中x，y为实数，求 $2^{x + y}$ 的值.

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12、若x，y都是实数，且 $\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{1 - 2 x} + y = 4 ，$ 则 xy的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、不能确定

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13、已知a，b为有理数，m，n分别表示 $7 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且 $a m n + b n^{2}$ $= 4 ，$ 求 $2 a + b$ 的值.

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14、已知m是 $\sqrt{13}$ 的整数部分，n是. $\sqrt{13}$ 的小数部分，求 $\frac{m - n}{m + n}$ 的值.

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15、已知 $10 + \sqrt{3}$ 的整数部分是x，小数部分是y，则 $x - y$ 的相反数是.

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16、计算： $(\sqrt{3} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2} .$

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17、计算： $\sqrt{16} + \sqrt[3]{27} - 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} .$

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18、计算： $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}} - 1 .$

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19、设边长为a 的正方形的面积为2.下列有关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③1＜a＜1.5 .其中，说法正确的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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20、在 $\sqrt{7} ， 3.1415926 ， {(π - 2)}^{0} ， - 3 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{22}{7} ， 0$ 这些数中，无理数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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