相关试卷

1、解方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 边上（不与 $A$ 、 $B$ 重合）的动点，过点 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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3、用配方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 8$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 12$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 12$

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4、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \div a = a^{2}$ B、 $a^{2} \div a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{7} - a^{3} = a^{4}$ D、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$

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5、下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图1， $A C ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ， $A B = 10$ ， $B E = 8$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动时（不与 $A, B$ 重合），点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，满足 $C Q = \frac{6}{5} A P$ ，连接 $P Q$ ．当 $P$ 为 $A B$ 中点时， $Q$ 恰好与点 $E$ 重合．

(1)、求 $A C$ 的长．

(2)、如图2，若 $∠ C = ∠ B$ ，点 $P$ 运动到 $A B$ 中点时，延长 $P E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，求证： $P F ⊥ C D$ ．

(3)、如图3，连接 $B Q$ ，当 $△ A B Q$ 是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的 $A P$ 的长．

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7、如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

(1)、在图1中画出一个 $△ A B D$ ，使得 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等；

(2)、在图2中画出一个面积为4的直角三角形．

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8、解下列不等式（组）：

(1)、 $9 x - 1 > 7 x + 3$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x < x + 2 ① \\ \frac{x + 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{5} ② \end{array}$

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 4 cm$ ， $A D = 2 cm$ ， $B C = C D$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点．若沿 $C E$ 折叠，恰好B，D两点重合，则 $D E =$

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10、如图， $A B ∥ C D$ ， $△ A C E$ 为等边三角形， $∠ D C E = 40 °$ ，则 $∠ E A B$ 的度数为．

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11、如图，已知 $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，一个三角板的直角顶点与 $D$ 重合，一个直角边 $D F$ 与 $A C$ 的延长线交于点 $F$ ，另一直角边与 $B C$ 边交于点 $E$ ，若 $B E = \frac{1}{2} C F = 7$ ， $A C = 10$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、12 B、14 C、21 D、25

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12、如图，已知 $∠ B = 20 °$ ， $∠ C = 25 °$ ，若 $P M$ 和 $Q N$ 分别垂直平分 $A B$ 和 $A C$ ，则 $∠ P A Q$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $20 °$ C、 $45 °$ D、 $90 °$

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13、不等式 $\{\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{3} > - 1 \\ 1 - 3 x \geq - 5 \end{matrix}$ 的解能在轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列不属于定义的是（）

A、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B、对顶角相等 C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

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15、下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）

A、斐波那契螺旋线 B、笛卡尔心形线 C、赵爽弦图 D、阿基米德曲线

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16、通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型理解】
（1）如图①， $△ A B C$ ， $△ A D E$ 共顶点A， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连 $B D 、 C E$ ．由 $∠ B A C - ∠ D A C = ∠ D A E - ∠ D A C$ ，得 $∠ B A D = ∠ C A E$ ．又 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，可以推理得到 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，进而得到 $B D =$ ______， $∠ A B D =$ ______．
【问题研究】
（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作 $P D ⊥ a$ ，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形 $P D E$ ，过点E作 $E B ⊥ P E$ ，交b于点B，在a上截取 $D A = B E$ ，连 $A B$ ． $△ P A B$ 即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．
（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

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17、如图，在 $△ A B C$ 中．

(1)、如图1，若 $A C = 6 \sqrt{2}, A B = 2, ∠ A = 45 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2， $∠ A = 45 °$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外的一点，连接 $C D, B D$ ，且 $C D = C B, ∠ A B D = ∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A C$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，请写出 $B D, A B, A C$ 之间的数量关系，并给出证明；

(3)、如图3， $∠ C A E = 45 °, ∠ C = 90 °$ ，作 $A P$ 平分 $∠ C A E$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，过 $E$ 点作 $E M ⊥ A P$ 交 $A P$ 的延长线于点 $M$ ，点 $K$ 为直线 $A C$ 上的一个动点，连接 $M K$ ，过 $M$ 点作 $M N ⊥ M K$ ，且始终满足 $M N = M K$ ，连接 $A N$ ， $A C = 2$ ，请直接写出 ${(A N + M N)}^{2}$ 的最小值．

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18、在等边 $△ A B C$ 外侧作直线 $A P$ ，点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点为 $D$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ，其中 $C D$ 交直线 $A P$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ P A B = 30 °$ ，则 $∠ A C E =$ _________；

(2)、如图2，若 $60 ° < ∠ P A B < 90 °$ ，请补全图形，判断由线段 $A B$ ， $C E$ ， $E D$ 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

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19、如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ，点E，F在 $A C$ ， $B C$ 上．

(1)、求证： $D E = D F$ ．

(2)、连结 $E F$ ，则 $B F 、 A E 、 E F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边AB上的高线，且 $A B = 13 ， B C = 12$ ．求：

(1)、 $A C$ 的长．

(2)、 $C D$ 的长．

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