相关试卷

1、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于 $A (- 3, 0)$ ， B两点，与y轴交于C点，对称轴直线 $x = - 1$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、如图1，直线 $x = - 1$ 与抛物线，x轴分别交于点M，N， $N D ⊥ A C$ 于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；

(3)、如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线 $y = 2 x + c$ 与抛物线交于点R，探究直线 $P R$ 是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

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2、在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 上一动点（不与点B，C重合），连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点E顺时针方向旋转 $90 °$ 至 $E F$ 位置，连接 $A F$ ，交 $C D$ 于点G．

(1)、如图1，当点G为 $C D$ 的中点时，若正方形的边长为4，求 $B E$ 的长

(2)、如图2，过点E作 $E P ⊥ A F$ 于点P，其延长线交 $A D$ 于点Q．
①连接 $D P$ ，求证： $D P$ 平分 $∠ A D C$ ；
②当 $\frac{C G}{D G} = n$ 时，求 $\frac{P Q}{P E}$ 的值．

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3、如图，过点C作 $△ A B C$ 外接圆 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 的切线 $C D$ 与 $A B$ 的延长线交于点D， $O E ⊥ B C$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $F B$ ．

(1)、求证： $F B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $tan ∠ A C B = 2$ ，求 $D F$ 的长．

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4、如图，一次函数 $y = k x + 2 (k \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象在第一象限交于点 $C (2, n)$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、D为第一象限反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 图象上的一动点，当 $△ A O D$ 的面积大于 $△ B O C$ 的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ 于 $D$ ， $B E ⊥ C E$ 于 $E$ ．

(1)、求证： $B E = C D$ ，

(2)、若 $A D = 12$ ， $D E = 7$ ，求 $A C$ 的长．

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6、先化简，再求值： $(2 a + b) (2 a - b) - (a + b) (4 a - b)$ ，其中 $a = - \sqrt{2}, b = 2$ ．

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7、如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则点A到BC的距离是．

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8、如图，过 $⊙ O$ 外一点P作 $⊙ O$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A，B， $P O$ 与 $A B$ 交于点D，与 $A B$ 弧交于点E， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径．若 $P A = A B$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{cases} x + y = m + 2 \\ 2 x - 5 y = 3 \end{cases}$ 的解满足 $x - 2 y > 1$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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10、某校为了了解八年级学生身高的范围和整体分布情况，抽样调查了八年级50名学生的身高，其中身高最高的是 $17 6cm$ ，最矮的是 $147 cm$ ，若以 $5 cm$ 为组距，应把这些数据分成组．

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11、已知直线 $A B ∥ C D$ ，点P在直线 $A B ， C D$ 之间，连接 $A P ， C P$ ．
下面结论正确的个数为（）
①如图1，若 $∠ A P C = α$ ， $∠ P A B = β$ ，则 $∠ P C D = 360 ° - α - β ；$
②如图2，点Q在 $A B ， C D$ 之间， $∠ Q A P = 2 ∠ Q A B ， ∠ Q C P = 2 ∠ Q C D$ ，则 $∠ A P C + 3 ∠ A Q C = 360 °$ ；
③如图3， $∠ P A B$ 的角平分线交CD于点M，且 $A M ∥ P C$ ，点N在直线 $A B ， C D$ 之间，连接 $C N ， M N$ ， $∠ P C N = n ∠ N C D ， ∠ A M N = \frac{1}{n} ∠ N M D ， n > 1$ ，则 $∠ P$ 和 $∠ N$ 的关系为 $\frac{∠ N}{∠ P} = \frac{n + 1}{n - 1}$ （用含n的式子表示，题中的角均指大于 $0 °$ 且小于 $180 °$ 的角）．

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、若关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{3 x + 5}{2} - 5 > \frac{5}{2} - x \\ 3 x - 2 a \geq 5 x + 4 \end{matrix}$ 恰有3个整数解，则a的取值范围是（）

A、 $5 \leq a < 6$ B、 $5 < a \leq 6$ C、 $- 8 \leq a < - 7$ D、 $- 8 < a \leq - 7$

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13、甲骨文是中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图①，在平面直角坐标系中，以点 $P (- 1, 0)$ 为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方） $A D = 2 \sqrt{3}$ ．
【问题提出】
（1）直接写出B、C两点的坐标；
【问题探究】
（2）如图②，将 $△ A B C$ 绕点P旋转 $180 °$ 得到 $△ M C B$ ，试说明四边形 $A C M B$ 的形状，并求出点M的坐标；
【问题解决】
（3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的 $⊙ P$ 上，其中 $B C$ 是 $⊙ P$ 的直径，四边形 $A B M C$ 是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线 $B C$ 与直线 $B M$ 之间的某个直线方向运动到 $C M$ 上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直 $B C$ 的方向运动到 $B C$ 上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到 $B E$ 的中点Q处，再沿 $Q G$ 方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的 $∠ M Q G$ 的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由．

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15、先化简，再求值： $(2 - \frac{4}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中 $x = 4$ .

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16、如图，将平行四边形 $A B C D$ 绕点A旋转 $α °$ 得到平行四边形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点B'落在边CD上，若 $∠ C = 76 °$ ，当 $B 、 B^{'} 、 C^{'}$ 三点共线时， $α$ 等于．

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17、新定义：如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 0)$ ，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

(1)、若抛物线 $y = x^{2} - e x + 2$ 是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．

(2)、已知抛物线 $y = m x^{2} + n x - m + n$ （ $m$ ， $n$ 为常数，且 $m \neq 0$ ）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若 $m < 0$ ，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点 $(2, s)$ ， $(k, t)$ ，当 $s < t$ 时，求 $k$ 的取值范围．

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18、2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，共分为四组：A： $x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别
平均数
众数
中位数
方差
满分占比
女生
88
a
90
112.2
10%
男生
88
100
b
200.2
50%
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中的 $a =$ ___________ $b =$ ___________， $m =$ ___________

(2)、根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）

(3)、我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？

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19、解方程： $\frac{4 x}{x^{2} - 9} - 1 = \frac{2}{x + 3} - \frac{2}{x - 3}$ ．

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20、先化简，再求值： $\frac{m}{m + 1} \div \frac{m^{2} + 2 m}{m^{2} - 1} + (1 + \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{2 m + 2}{m^{2} + 4 m + 4}$ ，其中 $m = - \sqrt{3}$ ．

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性别	平均数	众数	中位数	方差	满分占比
女生	88	a	90	112.2	10%
男生	88	100	b	200.2	50%