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1、用代数式表示：

(1)、面积为 S 的圆的半径；

(2)、面积为S 且两条邻边的比为1：2的长方形的两邻边长.

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2、计算：

(1)、 ${(\sqrt{5})}^{2};$

(2)、 ${(- \sqrt{0.2})}^{2};$

(3)、 ${(\sqrt{\frac{3}{5}})}^{2};$

(4)、 ${(5 \sqrt{5})}^{2};$

(5)、 ${(- 7 \sqrt{\frac{2}{7}})}^{2};$

(6)、 $\sqrt{{(- 10)}^{2}};$

(7)、 $\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2}};$

(8)、 $- \sqrt{{(- \frac{2}{5})}^{2}} .$

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3、当a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?

(1)、 $\sqrt{a + 2};$

(2)、 $\sqrt{3 - a};$

(3)、 $\sqrt{5 a^{2}};$

(4)、 $\sqrt{2 a + 1} .$

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4、化简：

(1)、 $\sqrt{0 . 3^{2}};$

(2)、 $\sqrt{{(- \frac{1}{7})}^{2}};$

(3)、 $- \sqrt{{(- π)}^{2}};$

(4)、 $\sqrt{1 0^{- 2}} .$

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5、计算：

(1)、 ${(\sqrt{3})}^{2};$

(2)、 ${(3 \sqrt{2})}^{2} .$

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6、化简：

(1)、 $\sqrt{16};$

(2)、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} .$

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7、计算：

(1)、 ${(\sqrt{1.5})}^{2};$

(2)、 ${(2 \sqrt{5})}^{2} .$

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8、当a=5时， $\sqrt{\frac{a - 1}{2}}$ 的值是.

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9、当a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?

(1)、 $\sqrt{a - 1};$

(2)、 $\sqrt{5 - a};$

(3)、 $\sqrt{2 a^{2} + 1} .$

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10、要画一个面积为 18 cm² 的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少?

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11、当x满足什么条件时， $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义?

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12、【问题提出】：如图1， $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，探究 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．
【问题探究】

(1)、先将问题特殊化，如图2．当 $α = 90 °$ 时，求出 $∠ G C F$ 的大小；（提示：可在 $A B$ 边上取点 $M$ ，使 $A M = E C$ ．连接 $M E$ ，构造全等三角形来解答问题）

(2)、再探究一般情形，如图1，求 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．

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13、阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{4})}^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$ ，
$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．
请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} =$ ；

(2)、请你用含 $n$ （ $n$ 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：；

(3)、利用上面的解法，请化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}} + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}}$ ．

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14、如图，李明家有一块长方形空地 $A B C D$ ，长 $B C$ 为 $\sqrt{72} m$ ，宽 $A B$ 为 $\sqrt{32} m$ ，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 $(\sqrt{10} + 1) m$ ，宽为 $(\sqrt{10} - 1) m$ ．

(1)、求长方形空地 $A B C D$ 的周长；（结果化为最简二次根式）

(2)、已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？

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15、如图，某社区有一块四边形空地 $A B C D$ ， $A B = 15 m$ ， $C D = 8 m$ ， $A D = 17 m$ ．从点A修了一条垂直 $B C$ 的小路 $A E$ （垂足为E），E恰好是 $B C$ 的中点，且 $A E = 12 m$ ．

(1)、求边 $B C$ 的长；

(2)、连接 $A C$ ，判断 $△ A D C$ 的形状；

(3)、求这块空地的面积．

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16、如图，一技术人员用刻度尺（单位： $c m$ ）测量某三角形部件的尺寸。已知 $∠ A C B = 90 °$ ， D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则 $C D =$ $c m$ 。

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17、如下图：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， D、E、F分别是各边中点， $A B = 6 c m$ ， $A C = 8 c m$ ，则 $△ D E F$ 的周长=cm．

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18、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{3} - S_{2} = 32$ ，则阴影部分面积为（）

A、8 B、14 C、16 D、18

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19、以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、 $1,1, \sqrt{2}$ C、6，7，10 D、 $3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$

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20、问题情境：
矩形ABCD中，. $A B = 3, B C = 4, ∠ B A C$ 的平分线交 BC于点 E.将 $△ A B E$ 绕点E 顺时针旋转，得到 $△ F G E$ 点A，B的对应点分别为点 F，G(点G 与点 B 不重合).
深入探究：

(1)、如图1，当点F在边AD上时，求证： ∠AEF=2∠BAE；

(2)、如图2，当点G在线段AE上时，连接AF， CF，
①求证： AC⊥EF；
②求四边形AECF的面积；

(3)、当点G在矩形ABCD的对角线上时，连接DF，直接写出DF的长.

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