相关试卷

1、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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2、计算：

(1)、 $2 a (a - b)$ ；

(2)、 $(3 x - y) (3 x + y) + y^{2}$ ．

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3、规定两正数 $a, b$ 之间的一种运算，记作 $\{a, b\}$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $\{a, b\} = c$ ．例如：因为 $3^{4} = 81$ ，所以 $\{3, 81\} = 4$ ．小慧在研究这种运算时发现： $\{a, b\} + \{a, c\} = \{a, b c\}$ ，例如： $\{5, 6\} + \{5, 7\} = \{5, 42\}$ ．证明如下：设 $\{5, 6\} = x, \{5, 7\} = y, \{5, 42\} = z$ ，根据定义可得： $5^{x} = 6, 5^{y} = 7, 5^{z} = 42$ ，因为 $5^{x} \times 5^{y} = 6 \times 7 = 42 = 5^{z}$ ，所以 $5^{x} \times 5^{y} = 5^{x + y} = 5^{z}$ ，即 $x + y = z$ ，所以 $\{5, 6\} + \{5, 7\} = \{5, 42\}$ ．请根据前面的经验计算：
（1） $\{4, 2\} + \{4, 32\}$ 的值为；
（2） $2 \times \{m n, 2 m n\} + \{m n, \frac{1}{2} m^{2} n\} + \{m n, \frac{1}{2} m^{2} n^{3}\}$ 的值为．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A O$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $A O ⊥ B O$ 于点 $O$ ， $A B : A C = 2 : 3$ ，若 $△ A B C$ 的面积为18，则 $△ B O C$ 的面积是．

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5、如图， $∠ A C D$ 为 $△ A B C$ 的外角，若 $∠ A B C = 2 ∠ B A C$ ， $∠ A C D = 117 °$ ，则 $∠ A B C =$

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6、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ，若 $B C = 9 ， C E = 3$ ，则 $C F$ 长度为．

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7、若等腰三角形的底角为 $70 °$ ，则它的顶角的度数为．

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8、当 $x =$ 时， $\frac{x}{x - 1}$ 的值为0．

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9、如图，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折叠得到 $△ A D C$ ，再将 $△ A D C$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A D E$ ，连接 $B E$ ，交 $A C ， A D$ 于点 $M ， N$ ，连接 $C N ， D M$ ， $C N$ 与 $D M$ 相交于点 $F$ ，若 $∠ B A C = α$ ，则 $∠ C F D$ 的度数为（　　）

A、 $90 ° + \frac{3 α}{2}$ B、 $90 ° + 2 α$ C、 $180 ° - 2 α$ D、 $180 ° - \frac{3 α}{2}$

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10、已知 $a_{1} = x (x \neq 1, 0)$ ， $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}}$ ， $a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $a_{n} = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ ，则 $a_{2025}$ 为（　　）

A、 $x$ B、 $\frac{1}{1 - x}$ C、 $\frac{1 - x}{x}$ D、 $\frac{x - 1}{x}$

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11、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B C = 1$ ， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的角平分线交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $D E ∥ B C$ ，交 $A B, A C$ 于点 $D, E$ ，则 $B D$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　）

A、 $900^{\circ}$ B、 $1080^{\circ}$ C、 $1260^{\circ}$ D、 $1440^{\circ}$

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13、如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　）

A、 $SAS$ B、 $AAS$ C、 $ASA$ D、 $HL$

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14、下列运算中，结果正确的是（　　）

A、 $a^{5} \div a^{4} = a$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $3 a^{2} - a^{2} = 3$

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15、若三角形的两边长分别为5，8，则第三条边的边长可能为（　　）

A、2.5 B、3 C、7 D、13

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16、古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　）

A、 $2.8 \times 10^{- 3}$ B、 $2.8 \times 10^{- 4}$ C、 $0.28 \times 10^{- 4}$ D、 $28 \times 10^{- 5}$

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17、下列四个车标图形中，为轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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18、定义：若 $α - β = 90 °$ ，且 $90 ° < α < 180 °$ ，则我们称 $β$ 是 $α$ 的差余角．例如：若 $α = 110 °$ ，则 $α$ 的差余角 $β = 20 °$ ．如图1，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $O C$ 是 $A B$ 上方的一条射线，且 $∠ B O C < 90 °$ ．

(1)、若 $∠ B O C$ 是 $∠ A O C$ 的差余角，求 $∠ B O C$ ；

(2)、将直角三角尺 $D O E$ 按如图2放置，使得直角顶点与 $O$ 点重合，且 $O D$ 平分 $∠ B O C$ ，
①判断 $∠ A O C$ 和 $∠ A O E$ 的数量关系，并说明理由；
②图中 $∠ A O D$ 的差余角有哪些？请说明理由；

(3)、将直角三角尺 $D O E$ 自图3位置（三角尺一边 $O D$ 在 $O B$ 上）开始绕直角顶点 $O$ 顺时针转动，当 $∠ C O E$ 是 $∠ A O E$ 的差余角时，请直接写出此时 $∠ C O E$ 与 $∠ B O D$ 的数量关系．

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19、“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：

指标	优化前	优化后	备注
行程总时间	17.7分钟	10分钟	行程总时间 $=$ 红灯等待时间 $+$ 行驶时间．如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟．
红灯等待次数	6次	1次
单次红灯平均等待时长		为优化前的40%
行驶速度	600米/分钟	900米/分钟	行驶速度 $=$ 总路程 $\div$ 行驶时间

设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为 $t$ 分钟，

(1)、优化前的行驶时间为__________分钟，优化后的行驶时间为__________分钟；（用含

t

的代数式表示）

(2)、求优化前的单次红灯平均等待时长及该路段的总路程．

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20、观察下列等式：
① $3^{2} - 1^{2} = 8 \times 1$ ；② $5^{2} - 3^{2} = 8 \times 2$ ；③ $7^{2} - 5^{2} = 8 \times 3$ ；④ $9^{2} - 7^{2} = 8 \times 4$ ．

(1)、根据以上规律写出第⑤个等式：_____；

(2)、根据以上规律填空： ${(2 n + 1)}^{2} - {(_____)}^{2} = 8 n$ ；

(3)、应用：
①若 $p, q$ 表示两个连续的正奇数，则 $p^{2} - q^{2}$ 的值可能为（）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
②小聪发现： $9^{2} - 3^{2} = (9^{2} - 7^{2}) + (7^{2} - 5^{2}) + (5^{2} - 3^{2})$ $= 8 \times 4 + 8 \times 3 + 8 \times 2 = 8 \times 9$ ，利用这种方法可得出“当 $a$ ， $b (a > b)$ 是两个任意正奇数时， $a^{2} - b^{2}$ 的值都是8的倍数”．请问 $101^{2} - 97^{2}$ 的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由．

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