相关试卷

1、【知识技能】
（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别是边 $A D ， A B$ 上的点，连接 $C E$ 与 $D F$ 交于点O，若 $∠ F O C = 90 °$ ，求证： $△ D A F ∽ △ C D E$ ．
【迁移应用】
（2）如图2，在 $□ A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 7$ ，点E，F分别是边 $A D ， A B$ 上的点，连接 $C E$ 与 $D F$ 交于点O，且 $∠ C O D + ∠ B A D = 180 °$ ，求 $\frac{C E}{D F}$ 的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中，点E是边 $A D$ 上的一点，连接 $B D$ 与 $C E$ 交于点O， $∠ B O C = ∠ B A D = ∠ B C D = 120 °$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{B C}{C D} = \frac{4}{3}$ ，求 $\frac{C E}{B D}$ 的值．

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2、[问题提出]
（1）如图1，已知线段 $A B = 2$ ，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段 $A C$ 长度的最大值是______．
[问题探究]
（2）如图2，以正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 长度的最大值．
[构建联系]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地 $A B C$ ，经测量， $A C = 20 \sqrt{3}$ 米， $B C = 120$ 米， $∠ A C B = 30 °$ ， $B C$ 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在 $B C$ 下方找一点P，将该花地扩建为四边形 $A B P C$ ，扩建后沿 $A P$ 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分 $△ B P C$ 需满足 $∠ B P C = 60 °$ ．为容纳更多游客，要求小路 $A P$ 的长度尽可能长，问修建的观赏小路 $A P$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出 $A P$ 的最大长度；若不存在，请说明理由．

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3、滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了 $400$ 多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵 $2$ 元，且用 $240$ 元钱购买甲种树苗的株数与用 $360$ 元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．

(1)、求甲、乙两种树苗每株的价格；

(2)、现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共 $300$ 株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为 $90 %$ 和 $95 %$ ，要使这批树苗的成活率不低于 $93 %$ ，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？

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4、垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
$b$
7
5
8
$a$
8
7

(1)、若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 0.81$ ， $S_{乙}^{2} = 0.4$ ， $S_{丙}^{2} = 0.8$ ，那么队员______发挥的稳定性最好；（填甲或乙或丙）

(3)、如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明．

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5、计算： $\sqrt{4} - |- \frac{1}{4}| \times π^{0} + 2^{- 2}$

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6、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ，将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到正方形 $A E F G$ ．连接 $C E$ ， $B E$ ．当 $△ B C E$ 为直角三角形时，则线段 $C E$ 的长度为．

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7、若点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (- 2, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 在二次函数 $y = a {(x + 1)}^{2} (a > 0)$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是．

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8、关于 $x$ 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是．

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9、数据17，15，16，17，15的中位数是．

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10、一次函数 $y = m x + n$ 与 $y = a x + b$ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式 $m x + n > 1$ 的解为（）

A、 $x < - 2$ B、 $x > - 2$ C、 $x < - 3$ D、 $x > - 3$

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11、方程 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$ 的解是（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = 3$ C、 $x = - 6$ D、 $x = 6$

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12、如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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13、 $2025$ 年 $2$ 月 $3$ 日，我国国产动画电影《哪吒 $2$ 之魔童闹海》在全球总票房约 $3.3 \times 10^{9}$ 元．目前这一数据约是以上数据的 $6$ 倍，则目前《哪吒 $2$ 之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（）

A、 $18.8 \times 10^{9}$ 元 B、 $19.8 \times 10^{9}$ 元 C、 $1.98 \times 10^{9}$ 元 D、 $1.98 \times 10^{10}$ 元

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14、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段 $A B, C E, D E$ 分别为前叉、下管和立管（点 $C$ 在 $A B$ 上）， $E F$ 为后下叉．已知 $A B ∥ D E$ ， $A D ∥ F E$ ， $∠ B C E = 67 °$ ， $∠ C E F = 135 °$ ，则 $∠ A D E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $67 °$ C、 $68 °$ D、 $74 °$

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15、下列运算正确的是（）

A、 $2 a - 5 a = 3 a$ B、 ${(a b^{3})}^{2} = a^{2} b^{6}$ C、 $2 (a + 5) = 2 a + 5$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$

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16、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，连接 $O C$ ，作直线 $C E ⊥ O C$ ，交直线 $A B$ 于点E，交 $∠ B O C$ 的角平分线于点D，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $A D$ 交 $O C$ 于点F．若 $\frac{C F}{O F} = \frac{1}{2}$ ， $B D = 7$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18、如图，直线 $y = 2 x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (3, m)$ ，与 $y$ 轴交于 $B (0, - 4)$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上一动点（不包含端点），过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象于点 $Q$ ，连接 $O P$ ， $O Q$ ．

(1)、求这个反比例函数的表达式；

(2)、当 $△ O P Q$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标．

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19、两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型．

(1)、“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？

(2)、由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价．

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20、某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用 $x$ 表示，且得分为整数，共分为5组． $A$ 组： $0 \leq x < 60$ ， $B$ 组： $60 \leq x < 70$ ， $C$ 组： $70 \leq x < 80$ ， $D$ 组： $80 \leq x < 90$ ， $E$ 组： $90 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99．九年级被抽取的学生测试得分中 $D$ 组包含的所有数据为88，88，85，88，88，84，85，87．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表

平均数
众数
中位数
八年级
79
$a$
84
九年级
79
88
$b$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中： $a =$ ________， $b =$ ________， $m =$ ________；

(2)、在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．

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测试序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩（分）	7	6	8	$b$	7	5	8	$a$	8	7

	平均数	众数	中位数
八年级	79	$a$	84
九年级	79	88	$b$