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1、解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ 。
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ 即 $a^{2} -$ 4a $+ 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。 ∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ l。
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：

(1)、化简： ${\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}^{\circ}$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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2、规定新运算符号“☆”： a☆ $b = a b + \frac{3}{b} - \sqrt{3} 。$ 如：（-2)☆ $1 = (- 2) \times 1 + \frac{3}{1} - \sqrt{3} 。$

(1)、求 $(\sqrt{12} + \sqrt{3})$ ☆ $\sqrt{12}$ 的值。

(2)、若 $(- \sqrt{2 x - 1}) ☆ (- \frac{1}{3}) = - \sqrt{3},$ 求x的值。

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3、如图，将一张长、宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。

(1)、用含a，b，x的代数式表示这张纸片剩余部分的面积。

(2)、当 $a = 20 + 2 \sqrt{2}, b = 20 - 2 \sqrt{2}, x = \sqrt{2},$ 求剩余部分的面积。

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4、已知m是 $\sqrt{2}$ 的小数部分。

(1)、求 $m^{2} + 2 m + 1$ 的值。

(2)、求 $\sqrt{m^{2} + \frac{1}{m^{2}} - 2}$ 的值。

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{24} \div \sqrt{3} 。$

(2)、 ${(\sqrt{5} + 1)}^{2} - (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) 。$

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6、计算 $\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$ 的值时，小亮的解题过程如下：
解： $\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$
$= 2 \sqrt{6 \times 3} - \sqrt{\frac{24}{3}}$      ①
$= 2 \sqrt{18} - \sqrt{8}$      ②
$= (2 - 1) \sqrt{18 - 8}$      ③
$= \sqrt{10}$      ④

(1)、老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第步开始出错的。

(2)、请你给出正确的解题过程。

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7、观察下列等式：
第1个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2};$
第2个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6};$
第3个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12};$
……
请你根据以上规律，写出第n个等式：。

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8、我们定义[a]为不超过a的最大整数，例如：[3.14]=3，[8]=8，[-0.618]=-1，[-7.1]=-8，[-4]=-4。若 $[5 - 3 \sqrt{a + 1}] = - 2,$ 则a的取值范围是。

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9、已知实数a，b对应的点在数轴上的位置如图，化简： $∣ a + b ∣ + \sqrt{{(b - a)}^{2}} =$ 。

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10、已知. $x = \sqrt{6} + \sqrt{3},$ 则 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x$ 的值是。

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11、一个面积为 $\sqrt{48}$ 的长方形，若其宽为 $\sqrt{6},$ ，则长为。

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12、已知 $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\}$ 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时， $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\} =$ $m a x \{\sqrt{9}, 9^{2}, 9\} = 81 。$ 当 $m a x \{\sqrt{x}, x^{2}, x\} = \frac{1}{2}$ 时，x的值为（ )。

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知实数a在数轴上的位置如图，则. $\sqrt{{(a - 4)}^{2}} - \sqrt{{(a - 11)}^{2}}$ 化简后为（）。

A、7 B、-7 C、2a-15 D、无法确定

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14、如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形ABCD的面积是75，AE $= 3 \sqrt{3},$ 图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的周长为（）。

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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15、有下列算式：①（ $\sqrt{2}$ )²=2；② $\sqrt{（ - 2) ²}$ =2；③（-2 $\sqrt{3}$ )²=12；（ $④ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}) =$ -1，其中结果正确的个数为（）。

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、 $\sqrt{(4 - a) {(a - 2)}^{2}} = (a - 2) \sqrt{4 - a}$ 成立的条件是（）。

A、a≤2 B、a≤4 C、a≥2 D、2≤a≤4

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17、下列化简中，错误的是（）。

A、 $\sqrt{\frac{5}{12}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$ B、 $\sqrt{\frac{7}{24}} = \frac{\sqrt{21}}{12}$ C、 $\sqrt{\frac{18}{5}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

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18、下列等式中，成立的是（）。

A、 $3 + 4 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3} \div \frac{1}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$

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19、下列各式中，属于最简二次根式的为（）。

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{3}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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20、使 $\sqrt{4 + 5 x}$ 有意义的x的取值范围是（）。

A、 $x > \frac{5}{4}$ B、 $x < \frac{4}{5}$ C、 $x ⩾ - \frac{4}{5}$ D、 $x ⩽ - \frac{4}{5}$

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