相关试卷

1、如图是由边长为1的小正方形组成的 $4 \times 4$ 网格，A，B，C三点均在格点上．

(1)、分别求 $\frac{A B}{B C}$ 与 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

(2)、在网格中画 $△ A B E$ ，使A，B，E三点组成的三角形与 $△ A B C$ 相似．（只需画出一个）

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2、“腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆 $A B$ 及扶手 $C D$ 平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手 $C D$ 恰好组成等腰三角形 $C D E$ ，此时拉钩E与扶手 $C D$ 的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆 $A B$ 距地面的高度为 $1.2 m$ ，天花板顶部E距地面 $3.1 m$ ，若 $∠ B C E = 80 °$ ，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到 $0.01 m$ ．参考数据： $\sin 80 ° \approx 0.98$ ， $\cos 80 ° \approx 0.17$ ， $\tan 80 ° \approx 5.67$ ）

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3、（1）计算： $\sin^{2} 45 ° - \sqrt{3} \cos 30 °$ ．
（2）已知二次函数的顶点为 $(0, 1)$ ，且经过点 $(1, 0)$ ，求该二次函数的解析式．

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4、在平面直角坐标系中，我们称 $|y| = - x^{2} + m (- \sqrt{m} \leq x \leq \sqrt{m})$ 为“m蛋型”抛物线，如： $|y| = - x^{2} + 2 (- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2})$ 称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转 $θ$ 度，A旋转后的对应点为 $A^{'}$ ，过 $A^{'}$ 作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于 $B^{'}$ ，若 $\tan θ = 2$ ，则 $A^{'} B^{'}$ 的值是．

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5、如图，P是 $⊙ O$ 上一点， $∠ A P B = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为3，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是．

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6、如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，则 $\sin B$ 的值是．

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7、用抽签的办法从A，B，C三人中任选一人，选中A的概率是．

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8、把抛物线 $y = x^{2}$ 向上平移2个单位后得到抛物线 $y = x^{2} + m$ ，则 $m$ 的值是．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，作 $B E ⊥ C D$ ， $D F ⊥ B C$ ， $B E$ ， $D F$ 交于点G，连接 $B D$ ，若 $B G = 3$ ， $⊙ O$ 的半径为2，则 $\tan ∠ C B D$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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10、如图是由边长为1的小正方形组成的 $4 \times 4$ 网格，A，B，O三点均在格点上，则 $\sin ∠ A O B$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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11、如图， $⊙ O$ 的半径为5，点C是弦 $A B$ 上一点，若 $A B = 8$ ，设 $O C = x$ ，则x的取值范围是（）

A、 $3 \leq x \leq 5$ B、 $3 < x \leq 5$ C、 $4 \leq x \leq 5$ D、 $4 < x \leq 5$

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12、已知点 $(- 1, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ ， $(\frac{3}{2}, y_{3})$ 都在函数 $y = x^{2} + 2 x + 4$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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13、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B O D = 160 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $100 °$ C、 $90 °$ D、 $80 °$

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14、若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a - b}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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15、小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．
【提出问题】如图所示．球员带球沿直线 $B C$ 奔向球门 $P Q$ ，
探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．
【分析问题】因为线段 $P Q$ 长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．
如图1，射线 $B C$ 与 $⊙ O$ 相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接 $N P, N Q, A P, A Q, M P, M Q$ ．
【解决问题】

(1)、如图1，比较 $∠ P M Q 、 ∠ P A Q 、 ∠ P N Q$ 的大小：________（用“<”连接起来）．

(2)、如图2，点A是射线 $B C$ 上一动点（点A不与点B重合）．证明：当 $△ A P Q$ 的外接圆 $⊙ O$ 与射线 $B C$ 相切时， $∠ P A Q$ 最大．

(3)、【延伸拓展】在（2）的条件下，如果 $P Q = 4, P B = 5, \tan B = 2$ ．当 $∠ P A Q$ 最大时．证明： $∠ P A Q = 90 ° - ∠ B$ ．

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16、如图，将矩形 $A B C D$ 绕点B旋转得到矩形 $B E F H$ ，点E在 $A D$ 上，连接 $C E, C H$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B E D$ ；

(2)、若 $B C = 4, ∠ E B C = 30 °$ ，求 $C H$ 的长度．

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17、某校对初三年级甲班的数学期中考试成绩进行统计．
①甲班所有同学的成绩分布如下：
分组
频数
频率
50≤分数<60
3
0.075
60≤分数<70
a
b
70≤分数<80
6
0.15
80≤分数<90
15
0.375
90≤分数≤100
10
c
合计
40
1
② $80 \leq$ 分数 $< 90$ 的15名同学的成绩：
80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，87，88，88，88，89．
根据以上信息请回答下列问题：

(1)、求出表格中 $b =$ ________， $c =$ ________；并补充完整频数分布直方图．

(2)、甲班成绩的中位数为________； $80 \leq$ 分数 $< 90$ 的 $15$ 名同学成绩的众数为________；如果分数大于等于85分定为优秀，请计算出甲班成绩的优秀率为________．

(3)、甲班整体平均分估计为多少分？

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18、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °, A B = A C$ ．用尺规作图，在线段 $A C$ 上作点D，使得 $A D = B D$ （不写作法，保留作图痕迹）．

(1)、如图2，小明的作法是：以点B为圆心， $B C$ 为半径作弧，交 $A C$ 于点D，连接 $B D$ ．请你帮助小明说明这样作图的理由；

(2)、请用另一种作法完成作图．

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19、先化简，再求值 $(1 + \frac{1}{m - 2}) \div \frac{m^{2} - m}{m - 2}$ ，其中 $m = \sqrt{2}$ ．

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20、我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1， $a^{2} - 1 = a (a - 1) + (a - 1) = (a - 1) (a + 1)$ ．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 $a^{3} - 1 =$ = ．

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分组	频数	频率
50≤分数<60	3	0.075
60≤分数<70	a	b
70≤分数<80	6	0.15
80≤分数<90	15	0.375
90≤分数≤100	10	c
合计	40	1