相关试卷

1、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，使点B在DE上，若 $∠ C = 20$ °，则 $∠ A B D$ =（ )

A、40° B、65° C、70° D、120°

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2、用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ B < 90 °$ ”，应先假设（ )

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \neq 90 °$ D、 $A B \neq A C$

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3、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ ，若 $C D = 3$ ，则点D到AB的距离为（ )

A、4 B、3.5 C、3.2 D、3

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4、甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，连接 $O B$ 、 $O C$ ，并将 $A B$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $A C$ 的中点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 依次连接，得到四边形 $D E F G$ ．

(1)、若 $∠ G D E = 60 °$ ，求 $∠ G F E$ 的度数；

(2)、若 $M$ 为 $E F$ 的中点， $O M = 3$ ， $∠ O B C$ 和 $∠ O C B$ 互余，求 $D G$ 的长度．

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6、如图， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D B, C E$ 交于点 $F$ ， $D F = F B$ ， $A F ∥ D C$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 为平行四边形；

(2)、若 $∠ E F B = 90 °$ ， $B F = 3 E F$ ， $E F = 1$ ，连接 $B C$ ，求 $B C$ 的长．

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7、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，O是对角线 $A C ， B D$ 的交点， $A C ⊥ B C$ ，且 $A B = 5$ ， $A D = 3$ ，则 $O A$ 的长是．

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8、如图，长方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 长为2， $A B$ 长为1，点 $A$ 在数轴上对应的数是 $- 1$ ，以 $A$ 点为圆心，对角线 $A C$ 长为半径画弧，交数轴于点 $E$ ，则这个点 $E$ 表示的实数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $2 - \sqrt{5}$

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9、【对等角六边形】定义：在凸六边形 $A B C D E F$ 中，满足 $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ E$ ， $∠ C = ∠ F$ ，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”．

(1)、如图1，对等角六边形 $A B C D E F$ 的对边 $A B$ ， $D E$ 的位置关系是_____；

(2)、如图2，六边形 $A B C D E F$ 是对等角六边形，若 $C D = A F$ ，求证： $B C = E F$ ．

(3)、如图3，在对等角六边形 $A B C D E F$ 中，对角线 $A D 、 B E 、 C F$ 交于点 $O$ ，已知 $S_{六边形 A B C D E F} = 15$ ，求四边形 $A D E F$ 的面积．

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10、【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分 $A C B$ 和矩形 $A D E B$ 的三边构成．隧道的最高点 $C$ 到地面 $D E$ 距离为5.4米，两侧墙面高 $A D = B E = 3$ 米，地面跨度 $D E = 10$ 米．

(1)、【初步探究】如图2，过点 $M$ 作 $M P ⊥ l$ ，已知斜坡的坡角 $α = 10^{\circ}$ ，求涉水线离坡底的距离 $M N$ （精确到0.01米， $sin 10^{\circ} \approx 0.174$ ， $cos 10^{\circ} \approx 0.985$ ， $tan 10^{\circ} \approx 0.176$ ）．

(2)、【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 $A C B$ 的解析式．

(3)、【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部 $A C B$ 在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高 $h$ 米”（即最大安全限高），求 $h$ 的值（精确到0.1米）．

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11、如图，过 $⊙ O$ 外一点 $D$ 作 $⊙ O$ 的两条切线 $D B$ ， $D C$ ，切点是 $B$ ， $C$ ， $A B$ 为直径，连接 $O D ， O C ， A C$ ．

(1)、求证： $∠ C O D = ∠ B O D$ ；

(2)、 $A C = 2 ， O C = \sqrt{5}$ ，求 $O D$ 的长．

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12、某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用该两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两款产品的学生用户各20名，对两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（成绩用 $x$ 表示，共分四组：A. $60 < x \leq 70$ ， B. $70 < x \leq 80$ ， C. $80 < x \leq 90$ ， D. $90 < x \leq 100$ ）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中 $C$ 组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品
中位数
众数
方差
甲
86.5
$b$
92.2
乙
$a$
89
70.6
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ______， $b =$ _____， $m =$ _____；

(2)、若甲、乙两款教育辅助产品的平均数都相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．

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13、广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 为顶点，作菱形 $A O C D$ ，点 $D$ 在 $x$ 轴上，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、则菱形 $A O C D$ 的边长为______；

(3)、求图中阴影部分的周长（结果保留 $π$ ）．

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14、计算、化简：

(1)、 $(- 3) \times 2 + {(1 - \sqrt{6})}^{0}$ ；

(2)、 $(x + 1) (x - 1) + x^{2} + 1$ ．

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15、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $B P = A B$ ．若 $A P = 10$ ，则点 $C$ 到 $A P$ 的距离为．

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16、2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是．

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17、写出一个使函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x}$ 有意义的 $x$ 的值，则 $x$ 的值可以是（写出一个符合要求的 $x$ 的值）．

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $N$ 在 $A D$ 上，将矩形沿 $N P$ 折叠，使点 $B$ 落在顶点 $D$ 处．若 $△ D N P$ 刚好是等边三角形，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $2 : 1$ B、 $\sqrt{3} : 1$ C、 $2 : \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} : 1$

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19、如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛 $A B C D$ 、种植月季的花坛 $D E F G$ 和种植雏菊的花坛 $G H I J$ ．已知 $S_{正方形 A B C D} = 10, S_{正方形 G H I J} = 1$ ，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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20、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则点 $M (a b ， c)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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产品	中位数	众数	方差
甲	86.5	$b$	92.2
乙	$a$	89	70.6