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1、如图1,是的内接三角形,点A为劣弧的中点,直径 , 弦 , 点P为射线上一点,点E为弧上一动点,与交于点D,连接与交于点G.
(1)、求证:;(2)、若 , 求的度数;(3)、设 , 且 .①求y关于x的函数关系式(不需写自变量取值范围);
②如图2,若与交于点Q,作于点H,交于点M,当时,求x的值.
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2、对于一个函数给出如下定义:对于函数y,若当 , 函数值y的取值范围为 , 且满足 , 则称此函数为“拉伸函数”.
例如:正比例函数 , 当时, , 则 , 解得 , 所以函数为“拉伸函数”.
(1)、①一次函数为“拉伸函数”,则k的值为________;②若一次函数为“拉伸函数”,则c的值为________.
(2)、反比例函数 , 且是“拉伸函数”,且 , 请求出的值;(3)、已知二次函数 , 当时,是“拉伸函数”,求k的取值范围. -
3、2026年1月25日,美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼,全程无绳索、无安全装备,仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖,成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧,为了这次挑战,他进行了长达数年的艰苦训练,反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中,他发现一个关键攀登难点N,他在距离楼底60米的A处观察(即米),用测倾器测得攀登难点N的仰角为 , 然后沿斜坡向上走到B处观察,测得攀登难点N的仰角为 . 已知点在同一条水平直线上,斜坡的斜面坡度为(即),测倾器高度忽略不计.
(1)、求攀登难点N的高度(即的长);(2)、求观察点B的铅直高度(结果保留根号). -
4、在2026年春晚舞台,宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发,为吸引顾客,提高服务质量,决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台,乙型机器人2台共需10万元;购买甲型机器人3台,乙型机器人1台共需15万元.(1)、甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元?(2)、已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人,该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人,且至少购买甲型机器人2台,如何购买才能使每天服务客人的数量最大?
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5、如图,在平行四边形中,对角线和交于点O,点在上,且 , 连接 .
(1)、求证:;(2)、若 , 判断四边形的形状,并说明理由. -
6、2026年湘超联赛即将开幕,卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军,他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神,正激励着三湘大地的足球少年.为增强学生足球技能,某中学组织学生进行定点射门训练,规定每人射门3次,现对初三(1)班的学生射中的次数进行统计,绘制成如下两幅统计图,根据图中信息,回答下列问题:
(1)、初三(1)班总人数为________人,________;(2)、射中“1次”对应的扇形圆心角为________;(3)、在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中,抽调两名学生参加学校足球比赛,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到1名女生和1名男生的概率. -
7、小明在数学活动课上制作了两张卡片:一张是正方形 , 其中点O是正方形对角线的交点,另一张是等腰直角三角形 , 且 . 他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处,然后绕着点B逆时针旋转三角形.当他旋转到某个角度时,发现三角形卡片的另外两个顶点与正方形的一个顶点D恰好三点共线.此时的长度为 .

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8、图1是2026年1月份的日历,用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期,将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为 . 当图2在图1的不同位置时,代数式为定值,则m的值为( )
A、 B、5 C、 D、8 -
9、如图,已知是的直径,的弦于点E,若 , 则的度数为( )
A、 B、 C、 D、 -
10、如图,直线 , , 则的度数为( )
A、 B、 C、 D、 -
11、用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为( )A、 B、 C、 D、
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12、下列说法正确的是( )A、抛掷质地均匀的硬币100次,一定有50次“正面向上” B、甲、乙进行排球练习,其成绩的平均数相等,方差 , 则甲比乙成绩更稳定 C、为了解我国初三学生的身高情况,应采取全面调查的方式 D、数据的众数是7
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13、发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略,比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼,该建筑主体是一个正六棱柱(如图2),其示意图的左视图是( )
A、
B、
C、
D、
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14、年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年.为持续开展高原气候变化研究,我国科考队员再次向世界之巅进发.科考队从海拔米的珠峰大本营出发,如果向上(往峰顶方向)攀登米记作米,那么完成任务后,他们向下(往返回方向)行走米应记作( )A、米 B、米 C、米 D、米
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15、如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点 , 与轴交于点 , 顶点为 , 连接 .
(1)、求抛物线的解析式;(2)、在图1中,连接并延长交的延长线于点 , 求证:;(3)、如图2,若动直线与抛物线交于M、N两点(直线与BC不重合),连接、 , 直线与交于点 . 当时,点P的横坐标是否为定值,请说明理由. -
16、按要求解决问题:

(1)、证明推断:如图1,在正方形中,点分别在边上,于点 , 点分别在边上, . 求的值;(2)、类比探究:如图2,在矩形中,(k为常数).将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,得到四边形 , 交于点 , 连接交于点 . 试探究与之间的数量关系,并说明理由;(3)、拓展应用:连接 , 在(2)的条件下,当时,若 , 求的长. -
17、研究背景:某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况,并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议.
材料一:某种蔬菜的种植成本为每千克10元,经过市场调查发现,该蔬菜的日销售量y(千克)与销售单价x(元)是一次函数关系;
材料二:该种蔬菜销售单价为12元时,日销售量为1800千克;销售单价为15元时,日销售量为1500千克.
(1)、任务一:建立函数模型求y与x的函数表达式及自变量的取值范围;
(2)、任务二:设计销售方案设该种蔬菜的日销售利润为w(元),市场监督管理部门规定,除去每日其他正常开支总计1000元外,该蔬菜销售单价不得超过每千克18元,请求出最大日销售利润.
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18、如图,点P是外一点,交于点 .
(1)、请用尺规按下列步骤作图:(不写作法,保留作图痕迹)①画线段的垂直平分线,交于点;②在上找一点(点在)上方,使;③画射线 .
(2)、求证:是的切线;(3)、在(1)(2)问的条件下,若 , 求点C到的距离. -
19、如图,直线与双曲线相交于 , 两点,与轴交于点 .
(1)、求反比例函数的解析式;(2)、求点的坐标;(3)、若点与点关于轴对称,求的面积. -
20、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 .(1)、求实数的取值范围;(2)、若 , 求实数的值.