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1、苹果的质量比梨多 $\frac{4}{9}$ ，则苹果的质量是梨的（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{13}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、把 $\frac{4}{5}$ 米长的绳子平均分成4份，每份占全长的（）.

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ 米 D、 $\frac{1}{4}$ 米

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3、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， D是边 $A B$ 的中点，P是 $△ A B C$ 内部的一个动点，连接 $A P ， B P ， C P ， D P$ ．

(1)、当 $∠ B A P = ∠ C A P$ ， $∠ A B P = ∠ C B P$ 时，直接写出 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、如图2，在（1）的条件下，且当 $A B = B C$ 时，请判断线段 $C P$ 与线段 $D P$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，当 $A B = B C$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ 时，请判断线段 $C P$ 与线段 $D P$ 之间的数量关系，并给予证明．

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4、根据题意解答下列问题．

(1)、【问题发现】如图1， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等边三角形，连接 $B E$ ， $C F$ ，延长 $B E$ ，交 $C F$ 于点 $D$ ，则 $B E$ 与 $C F$ 之间的数量关系是， $∠ B D C$ 的度数是°；

(2)、【拓展探究】如图2， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰三角形， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E$ ，点 $A$ ， $D$ ， $M$ ， $E$ 在同一直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 的中线，连接 $B E$ ，若 $A E = B E + 2 C M$ ，求 $∠ A E B$ 的度数．

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5、如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 上的点， $B E = C F$ ．

(1)、若 $∠ D E F = ∠ B$ ，求证： $D E = E F$ ；

(2)、若 $∠ A + 2 ∠ D E F = 180 °$ ， $B C = 9$ ， $E C = 2 B E$ ，求 $B D$ 的长；

(3)、把（1）中的条件和结论反过来，即：若 $D E = E F$ ，则 $∠ D E F = ∠ B$ ．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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6、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ A C B = 2 α$ ， $A D$ 是高，E是 $B C$ 上一点．

(1)、如图1，若 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，
①求 $∠ D A E$ 的度数；（用含 $α$ 的式子表示）
②求证： $A C = C E + 2 D E$ ．

(2)、如图2，当 $α = 15 °$ ， $∠ C A E = 45 °$ 时，若点F在射线 $B A$ 上，且 $C F = C E$ ，求 $\frac{B F}{A B + A E}$ 的值．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 100 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上的动点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠，得到 $△ A E D$ ，且点 $E$ 在直线 $B C$ 的下方， $A F$ 平分 $∠ C A E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．若 $△ D E F$ 是以 $D E$ 为腰的等腰三角形，求 $∠ B A D$ 的度数．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $A B$ 右下方， $∠ A D B = ∠ A C B$ ．过点C作 $A D$ 的平行线交 $B D$ 于点F ，过A作 $A E ⊥ B D$ ，垂足E在线段 $D F$ 上．若 $D E = 3 ， E F = 1$ ，则 $C D$ 的长为， $B F$ 的长为．

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9、如图，在正 $△ A B C$ 中，点 $M 、 N$ 分别在 $A B 、 B C$ 边上，且 $A M = B N$ ， $A N$ 与 $C M$ 相交于 $H$ ．若 $∠ A C M = 20 °$ ，则 $∠ A N C =$ ，连接 $B H$ ，若 $B H ⊥ C M$ ，且 $A H = 4$ ，则 $H C$ 的长为．

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10、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C = 12 c m$ ，现有两点 $M 、 N$ 分别从点 $A 、 B$ 同时出发，沿三角形的边运动．已知点 $M$ 的速度为 $1 c m / s$ ，点 $N$ 的速度为 $2 c m / s$ ．设点 $M 、 N$ 运动 $12 s$ 后停止运动，则其中运动 $s$ 时， $△ A M N$ 为直角三角形．

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11、已知：如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 P、D分别在边 $B A 、 B C$ 的延长线上，连接 $P C, P D$ ，若 $P C = P D$ ． $\frac{A B}{A P} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{A C}{C D} =$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 8 c m$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的高，动点 $P$ 在线段 $A B$ 上由 $A$ 向 $B$ 运动，速度为 $1 c m / s$ ；动点 $Q$ 在线段 $B C$ 上由 $B$ 向 $C$ 运动，速度为 $2 c m / s$ ．动点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接 $A Q$ ，交 $B D$ 于点 $E$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒，当 $∠ B P E = ∠ B Q E$ 时， $t =$ 秒．

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13、如图，已知 $∠ A O B = 30 °$ ， $P$ 是 $∠ A O B$ 内部的一个定点，且 $O P = 3$ ，点 $E, F$ 分别是 $O A, O B$ 上的动点，若使 $△ P E F$ 周长的最小，则最小周长是（）

A、1 B、2 C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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14、如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $S_{△ A B C} = 14$ ，分别以 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $M 、 N$ 两点，作直线 $M N$ ．若 $D$ 为 $B C$ 边上的一个动点， $E$ 为直线 $M N$ 上的一个动点，则 $C E + D E$ 的最小值是（）

A、7 B、9 C、12 D、14

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15、如图，点 $A$ 、 $B$ 都在正方形网格的格点上，若等腰 $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，则满足条件的 $C$ 点的个数是（）

A、 $10$ 个 B、 $8$ 个 C、 $6$ 个 D、 $4$ 个

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 50 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一点，点 $E$ 是 $A C$ 的中点，连接 $A D$ 、 $D E$ ，若 $B C = B D + A D$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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17、若 $△ E D C$ 在 $△ A B C$ 的外部，如图 $△ A B C$ 和 $△ E D C$ 都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上．

(1)、①证明 $△ A C D ≌ △ B C E$ ；
②图中还有哪些三角形全等？

(2)、若连接 $M N$ ，试判断 $△ M N C$ 的形状．

(3)、 $M N$ 与 $B D$ 在位置上有什么关系？

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18、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，请解决以下问题：

(1)、作出边 $A B$ 的垂直平分线，分别交边 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A D$ ，求证： $△ A B D$ 为等边三角形；

(3)、若 $C F = 1$ ，求 $D E$ 的长．

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19、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E ， $A D = B C, ∠ D A B = ∠ C B A$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B A D$ ；

(2)、求证： $E A = E B$ ．

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20、已知，在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向下平移5个单位长度得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若点C的坐标为 $(2, 4)$ ，请写出点C经过两次图形变换的对应点 $C_{2}$ 的坐标．

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