相关试卷

1、如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，点A为劣弧 $B C$ 的中点，直径 $A F = 10$ ，弦 $B C = 8$ ，点P为射线 $A C$ 上一点，点E为弧 $C F$ 上一动点， $A F$ 与 $B C$ 交于点D，连接 $A E, C E, B E, B C$ 与 $A E$ 交于点G．

(1)、求证： $△ A B G ∽ △ A E B$ ；

(2)、若 $S_{△ A C G} : S_{△ A C E} = 2 : 5$ ，求 $∠ E C P$ 的度数；

(3)、设 $S_{△ A C G} : S_{△ A C E} = x$ ，且 $\tan^{2} ∠ E C P = y$ ．
①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）；
②如图2，若 $A F$ 与 $B E$ 交于点Q，作 $D M ⊥ A E$ 于点H，交 $A C$ 于点M，当 $S_{△ C D M} = \frac{7}{10} S_{△ A B Q}$ 时，求x的值．

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2、对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 $a \leq x \leq b$ ，函数值y的取值范围为 $m \leq y \leq n$ ，且满足 $n - m = k (b - a)$ ，则称此函数为“ $k -$ 拉伸函数”．
例如：正比例函数 $y = - 2 x$ ，当 $1 \leq x \leq 4$ 时， $- 8 \leq y \leq - 2$ ，则 $- 2 - (- 8) = k \times (4 - 1)$ ，解得 $k = 2$ ，所以函数 $y = - 2 x$ 为“ $2 -$ 拉伸函数”．

(1)、①一次函数 $y = 2 x - 3 (0 \leq x \leq 4)$ 为“ $k -$ 拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数 $y = c x + 2 (0 \leq x \leq 3)$ 为“ $3 -$ 拉伸函数”，则c的值为________．

(2)、反比例函数 $y = \frac{p}{x} (p > 0, a \leq x \leq b$ ，且 $0 < a < b)$ 是“ $p -$ 拉伸函数”，且 $a + b = \sqrt{2028}$ ，请求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 d x + d^{2} + 2 d$ ，当 $- 1 \leq x \leq 3$ 时， $y = - 2 x^{2} + 4 d x + d^{2} + 2 d$ 是“ $k -$ 拉伸函数”，求k的取值范围．

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3、2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德 $(Alex Honnold)$ 成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即 $A M = 60$ 米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为 $60 °$ ，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为 $45 °$ ．已知点 $A, C, M$ 在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为 $1 : 3$ （即 $\tan ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ），测倾器高度忽略不计．

(1)、求攀登难点N的高度（即 $M N$ 的长）；

(2)、求观察点B的铅直高度（结果保留根号）．

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4、在2026年春晚舞台，宇树科技的 $G 1$ 与 $H 2$ 两款机器人表演《武 $B O T$ 》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．

(1)、甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？

(2)、已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点O，点 $E, F$ 在 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ，连接 $B E, B F, D F, D E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $∠ F E B = ∠ E F B$ ，判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由．

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6、2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：

(1)、初三（1）班总人数为________人， $m =$ ________；

(2)、射中“1次”对应的扇形圆心角为________；

(3)、在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率．

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7、小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形 $A B C D$ ，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 $B P Q$ ，且 $B Q = B C = 4$ ．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 $P, Q$ 与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时 $D Q$ 的长度为．

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8、图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为 $a ， b ， c ， d$ ．当图2在图1的不同位置时，代数式 $4 a - 2 b + 3 c + m d$ 为定值，则m的值为（）

A、 $- 4$ B、5 C、 $- 5$ D、8

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9、如图，已知 $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 的弦 $A B ⊥ C D$ 于点E，若 $∠ A O D = 62 °$ ，则 $∠ D C B$ 的度数为（）

A、 $31 °$ B、 $28 °$ C、 $62 °$ D、 $60 °$

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10、如图，直线 $a ∥ b$ ， $∠ 1 = 50 °, ∠ 3 = 100 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $80 °$ D、 $100 °$

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11、用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（）

A、 $3 a - \frac{1}{2} b$ B、 $\frac{1}{2} (3 a - b)$ C、 $3 a + \frac{1}{2} b$ D、 $3 a - b - \frac{1}{2}$

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12、下列说法正确的是（）

A、抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上” B、甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差 $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ ，则甲比乙成绩更稳定 C、为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式 D、数据 $0, 0, 7, 7, 9, 5, 2, 7$ 的众数是7

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13、发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、 $2026$ 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔 $5200$ 米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登 $200$ 米记作 $+ 200$ 米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走 $150$ 米应记作（）

A、 $- 150$ 米 B、 $+ 150$ 米 C、 $- 200$ 米 D、 $+200$ 米

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15、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0), B (6, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在图1中，连接 $A C$ 并延长交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，求证： $∠ C E B = 45 °$ ；

(3)、如图2，若动直线 $l$ 与抛物线交于M、N两点（直线 $l$ 与BC不重合），连接 $C N$ 、 $B M$ ，直线 $C N$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ．当 $M N ∥ B C$ 时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

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16、按要求解决问题：

(1)、证明推断：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, Q$ 分别在边 $B C, A B$ 上， $D Q ⊥ A E$ 于点 $O$ ，点 $G, F$ 分别在边 $C D, A B$ 上， $G F ⊥ A E$ ．求 $\frac{G F}{A E}$ 的值；

(2)、类比探究：如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = k$ （k为常数）．将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $F E P G$ ， $E P$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $A E$ 交 $G F$ 于点 $O$ ．试探究 $G F$ 与 $A E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展应用：连接 $C P$ ，在（2）的条件下，当 $k = \frac{2}{3}$ 时，若 $t a n ∠ C G P = \frac{3}{4}, G F = 2 \sqrt{10}$ ，求 $C P$ 的长．

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17、研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．

(1)、任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)、任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．

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18、如图，点P是 $⊙ O$ 外一点， $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $B (P B > B O)$ ．

(1)、请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画线段 $P O$ 的垂直平分线，交 $P O$ 于点 $A$ ；②在 $⊙ O$ 上找一点 $C$ （点 $C$ 在 $P O$ ）上方，使 $A C = A P$ ；③画射线 $P C$ ．

(2)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、在（1）（2）问的条件下，若 $P C = 3 \sqrt{10}, c o s ∠ P O C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求点C到 $P O$ 的距离．

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19、如图，直线 $y = - x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于 $A (- 2, 4)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求点 $B$ 的坐标；

(3)、若点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，求 $△ A B D$ 的面积．

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20、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = - m^{2} + 9$ ，求实数 $m$ 的值．

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