相关试卷

1、将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a²﹣2ab+b²﹣c²＝（a²﹣2ab+b²）﹣c²＝（a﹣b）²﹣c²＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解法后，解决下列问题：

(1)、分解因式：1﹣m²﹣n²+2mn；

(2)、已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m²﹣n²+2m﹣2n的值．

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2、先化简，再求值：x（x+3y）﹣（x+1）²+4xy²÷2y² ，其中x和y互为倒数．

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3、对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为2（x+1）（x﹣5），而乙同学因看错了一次项将其分解为2（x+4）（x﹣3）．

(1)、请求出正确的一次项系数和常数项；

(2)、写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解．

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4、将多项式x²﹣ax+6分解因式为：x²﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b＝．

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5、某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m²﹣n²）﹣8y（m²﹣n²）．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文
…
m﹣n
m+n
x﹣y
x+y
8
x
…
明文
…
中
爱
国
美
我
丽
…
把密文8x（m²﹣n²）﹣8y（m²﹣n²）用因式分解解码后，明文可能是（）

A、我爱中国 B、美丽中国 C、我爱美丽 D、中国美丽

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6、用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（）

A、3a²+3ab+b²＝（a+b）（b+3a） B、3a²﹣3ab+b²＝（a﹣b）（3a+b） C、3a²+4ab+3b²＝（a+b）（3a+b） D、3a²+4ab+b²＝（a+b）（3a+b）

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7、若多项式x²﹣ax﹣2可分解为（x﹣1）（x﹣b），则a﹣b的值为（）

A、2 B、﹣2 C、1 D、﹣1

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8、【阅读理解】我们已经学过完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，适当地变形，可以解决很多的数学问题．
例：若 $a + b = 3$ ， $a b = 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：由完全平方公式： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，
因此 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ．
因为 $a + b = 3$ ， $a b = 2$ ，
所以 $a^{2} + b^{2} = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、填空：若 $x - y = 3$ ， $x y = 10$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ；

(2)、【类比应用】
若关于 $x$ 的方程满足 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，求 ${(x - \frac{1}{x})}^{2}$ 的值；

(3)、【思维拓展】
“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字 $1 \sim 6$ 填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为 $x$ ， $y$ ， $x + y - 3$ ．
$①$ 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求 $x + y$ 的值；
$②$ 在 $①$ 的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且 $A + B + C = 168$ ，求 $x y$ 的值．

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9、 “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．

(1)、通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式；

(2)、有两类正方形纸片 $A$ ， $B$ ，其边长分别为 $a$ ， $b$ （ $a > b$ ），图2是由两张 $A$ 正方形纸片和两张 $B$ 正方形纸片排成的一个正方形，其中两张 $A$ 型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将 $A$ ， $B$ 纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含 $a$ ， $b$ 的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简）

(3)、在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为 $4$ 和 $48$ ，将两个正方形纸片 $A$ 和三个正方形纸片 $B$ 如图4摆放，求阴影部分的面积．

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10、我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题：

(1)、【直接应用】
若 $x + y = 5$ ， $x^{2} + y^{2} = 13$ ，求 $x y$ 的值．

(2)、【类比应用】
①若 $(x - 3) (x - 4) = 1$ ，则 ${(x - 3)}^{2} + {(x - 4)}^{2} =$ ▲ ．
②若 $x$ 满足 ${(2026 - x)}^{2} + {(2023 - x)}^{2} = 2025$ ，求 $(2026 - x) (2023 - x)$ 的值．

(3)、【知识迁移】
两块全等的特制直角三角形板（ $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ）如图2所示放置，其中 $A$ ， $O$ ， $D$ 在同一直线上，连接 $A C$ ， $B D$ ．若 $A D = 16$ ， $S_{△ A O C} + S_{△ B C D} = 98$ ，求一块直角三角形板的面积．

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11、【教材原题】

(1)、通过第 $16$ 章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
如图①可以得到的公式为；
如图②可以得到的公式为；

(2)、【探索发现】
现有长与宽分别为 $a 、 b$ 的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件， ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 和 $4 a b$ 之间的等量关系为；

(3)、【结论应用】
①若 $x + y = 10 ， x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y =$ ▲ ；
②当 $(x - 300) (200 - x) = 2025$ 时，求 ${(2 x - 500)}^{2}$ 的值；

(4)、【拓展提升】
如图④，若大正方形的边长为 $x$ ，小正方形的边长为 $\frac{1}{x}$ ，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为．

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12、【阅读与思考】
“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方 ${(a + b)}^{n}$ 展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如 ${(a + b)}^{n}$ （n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
${(a + b)}^{1} = a + b$
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
…

(1)、【初步感知】
按以上规则， ${(a + b)}^{4}$ 展开式共有项，第三项（字母部分为 $a^{2} b^{2}$ ）的系数是；

(2)、【拓展推广】
利用杨辉三角，写出 ${(a + b)}^{5}$ 的展开式；

(3)、【迁移应用】
我们在对 ${(a - b)}^{2}$ 的推演过程中，是将 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中的“b”代换成“ $- b$ ”，可得 $(a - b)^{2} = [a + (- b)]^{2} = a^{2} + 2 a (- b) + (- b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；利用杨辉三角，写出 $(a - b)^{5}$ 的展开式．

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13、阅读材料：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位，那么形如 $a + b i$ （a、b实数）的数就叫做复数， $a$ 叫这个复数的实部， $b$ 叫这个复数的虚部．
它有如下特点：

(1)、它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：
$(2 + i) + (3 - 4 i) = (2 + 3) + (1 - 4) i = 5 - 3 i$ $(3 + i) i = 3 i + i^{2} = 3 i - 1$ （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如： $1 + 2 i$ 的共轭复数为 $1 - 2 i$ ．
若 $a + b i$ 是 $(3 - i)^{2}$ 的共轭复数，则 $a (a - b)^{2} =$ ．

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14、计算： $\frac{(2^{2} - 1) (3^{2} - 1) (4^{2} - 1) \cdot \cdot \cdot (1 0^{2} - 1)}{1^{2} \times 2^{2} \times 3^{2} \cdot \cdot \cdot \times 1 0^{2}}$ 的值为．

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15、 $8^{2026} \times {(- 0.125)}^{2025} =$ ．

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16、已知 $x \neq 1$ ，计算： $(1 + x) (1 - x) = 1 - x^{2}$ ， $(1 - x) (1 + x + x^{2}) = 1 - x^{3}$ ， $(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}$ ．
观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： $2 + 2^{2} + 2^{3} + ⋯ + 2^{n} =$ ．（ $n$ 为正整数）．

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17、对于 $a^{m} = n$ ，规定 $[a, n] = m$ ，例如： $5^{2} = 25$ ，所以 $[5, 25] = 2$ ，记 $[3, x] = 7 m$ ， $[3, y + 2] = 7 m + 2$ ，则y与x之间的数量关系式为 $y =$ ．

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18、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： ${(a + b)}^{0} = 1$ ，系数为1；
${(a + b)}^{1} = a + b$ ，系数分别为1，1：
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，系数分别为1，2，1；…
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过 $9^{10}$ 天后是（　　）

A、星期四 B、星期五 C、星期六 D、星期天

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19、已知等式 $(x + m) (x - n) = x^{2} + k x - 6$ （ $m$ ， $n$ 为正整数），则 $k$ 的值不可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $4$ D、 $5$

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20、若 $A = \frac{2}{3} (1 + \frac{1}{3^{1}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{4}}) ⋯ (1 + \frac{1}{3^{1024}}) - 1$ ，则 $A$ 的值是（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{3^{1024}}$ D、 $- \frac{1}{3^{2048}}$

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密文	…	m﹣n	m+n	x﹣y	x+y	8	x	…
明文	…	中	爱	国	美	我	丽	…