相关试卷

1、如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B C$ ， $A D$ 为 $⊙ O$ 直径，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，延长 $D B$ 至点 $P$ ，使得 $A P = A E$ ，连接 $A P$ ．

(1)、求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ， $P E = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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2、原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．
九年级一名男生进行了两次训练．

(1)、第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 $x / m$
0
3
5
6
7
9
竖直高度 $y / m$
2
$\frac{17}{4}$
$\frac{59}{12}$
5
$\frac{59}{12}$
$\frac{17}{4}$
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ；

(2)、第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 $y = - \frac{1}{12} {(x - 5)}^{2} + \frac{49}{12}$ ．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次训练实心球落地的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ （填“>”“=”或“<”）．

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3、解方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 10 x + 24 = 0$ ．

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4、小轩从如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象中，观察得出了下面四条信息：① $a b c < 0$ ；② $a + b + c < 0$ ；③ $b^{2} - 4 a c < 0$ ；④ $a = \frac{3}{2} b$ ．其中所有正确结论的序号是．

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5、若点 $(3, - 4)$ 与点 $B$ 关于原点对称，则点 $B$ 的坐标为．

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6、若将抛物线 $y = 5 x^{2}$ 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）．

A、 $y = 5 {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = 5 {(x + 1)}^{2} + 1$ C、 $y = 5 {(x - 2)}^{2} - 1$ D、 $y = 5 {(x + 2)}^{2} + 1$

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7、在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
概念理解：（1）如图①，将一张长方形纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形 $A B C D$ ．判断四边形 $A B C D$ 的形状：筝形（填“是”或“不是”）；
性质探究：（2）如图②，已知四边形 $A B C D$ 是筝形， $A B = B C$ ， $A D = D C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则① $B D$ 平分 $∠ A B C$ ；② $B D$ 垂直平分 $A C$ ；③ $∠ D A C = ∠ D C A$ ；④四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{1}{2} A C \cdot B D ．$ 上述结论正确的是（填序号） $．$
拓展应用：（3）如图③， $A D$ 是锐角 $△ A B C$ 的高，将 $△ A B D$ 沿边 $A B$ 翻折后得到 $△ A B E$ ，将 $△ A C D$ 沿边 $A C$ 翻折后得到 $△ A C F$ ，延长 $E B$ ， $F C$ 交于点 $G$ ．
①求证：四边形 $A E G F$ 是筝形；
②若 $∠ B A C = 55 °$ ，当 $△ B C G$ 是等腰三角形时，直接写出 $∠ B A D$ 的度数；
③若 $∠ B A C = 45 °$ ， $B D = 1$ ， $A D = 4$ ， $A E = E G = F G$ ，求 $C D$ 的长．

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8、如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．请根据上述信息，回答下列问题：

(1)、图2所示的割补过程为：割①补，割补⑥，割③补；

(2)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $A B = 10$ ， $A C = 17$ ， $B C = 21$ ，设 $B D = x$ ，求x的值及 $△ A B C$ 的面积．

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9、已知：如图， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， M、N分别是 $A C 、 B D$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥ B D ．$

(2)、当 $∠ B A D =$ $°$ 时， $M N = \frac{1}{2} B D$ ．

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10、如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是 $1$ ，每个小正方形的顶点叫做格点 $． △ A B C$ 的三个顶点都在格点上，按要求画图（仅用无刻度直尺） $．$

(1)、画出 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线 $A E$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高 $B D$ ；

(3)、 $△ A B C$ 的面积 $=$ ， $B D =$ ．

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11、如图，△ABC中，AB的垂直平分线与BC交于点D，若AC=4，BC=5，则△ADC的周长为．

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12、如图，已知 $A B = A D$ ，要使 $△ A B C ≌ △ A D C$ ，那么可以添加条件．

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13、以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）

A、2、3、4 B、6、8、10 C、 $32 、 42 、 52$ D、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{5}$

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14、下列五个实数：0， $\frac{2}{3}$ ， $\sqrt{3}$ ， $π$ ， $0.33$ ，其中无理数的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P，Q分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上．如果存在点 $M$ 使 $M P = M Q$ ， $∠ M P Q = ∠ A O B$ （ $M$ ， $P$ ， $Q$ 逆时针排列），则称点 $M$ 是线段 $P Q$ 的“关联点”．如图1，点 $M$ 是线段 $P Q$ 的“关联点”．

(1)、如图2，已知点 $A (4, 4)$ ， $B (8, 0)$ ，点 $P$ 与点 $A$ 重合．
①当点 $Q$ 是线段 $O B$ 中点时，在 $M_{1} (4, 2)$ ， $M_{2} (6, 2)$ 中，其中是线段 $P Q$ 的“关联点”的是_____；
②已知点 $M (8, 4)$ 是线段 $P Q$ 的“关联点”，则点 $Q$ 的坐标是_____．

(2)、如图3，已知 $O A = O B = 4$ ， $∠ A O B = 60^{\circ}$ ．
①当点 $P$ 与点 $A$ 重合，点 $Q$ 在线段 $O B$ 上运动时（点 $Q$ 不与点 $O$ 重合），若点 $M$ 是线段 $P Q$ 的“关联点”，求证： $B M ∥ O A$ ；
②当点P，Q分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上运动时，直接写出线段 $P Q$ 的“关联点” $M$ 形成的区域的周长．

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (t - 1, 1)$ 与点 $B$ 关于过点 $(t, 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线对称．

(1)、以 $A B$ 为底边作等腰三角形 $A B C$ ，
①当 $t = 2$ 时，点 $B$ 的坐标为_____；
②当 $t = 0.5$ 且直线 $A C$ 经过原点 $O$ 时，点 $C$ 与 $x$ 轴的距离为_____；
③若 $△ A B C$ 上所有点到 $y$ 轴的距离都不小于1，则 $t$ 的取值范围是_____．

(2)、以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $A B D$ ，直线 $m$ 过点 $(0, b)$ 且与 $x$ 轴平行，若直线 $m$ 上存在点 $P$ ， $△ A B D$ 上存在点 $K$ ，满足 $P K = 1$ ，直接写出 $b$ 的取值范围．

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17、已知，如图， $A C ⊥ B C$ ， $B D ⊥ A D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $A C = B D$ ．求证： $A O = B O$ ．

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18、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (2, 3)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (1, 2)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标_____；

(3)、点 $P$ 是 $y$ 轴上一个动点，请画出当 $P A + P B$ 的值最小时的点 $P$ ；

(4)、如果要使以B、C、D为顶点的三角形与 $△ A B C$ 全等，写出所有符合条件的点 $D$ （不与点 $A$ 重合）坐标．

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19、如图，B，D，C，E在一条直线上， $B D = C E$ ， $∠ A = ∠ F$ ， $A B ∥ F D$ ．求证： $△ A B C ≌ △ F D E$ ．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $A E$ 分别是 $△ A B C$ 的高和角平分线．若 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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水平距离 $x / m$	0	3	5	6	7	9
竖直高度 $y / m$	2	$\frac{17}{4}$	$\frac{59}{12}$	5	$\frac{59}{12}$	$\frac{17}{4}$