相关试卷

1、下列计算正确的是 ( )

A、 $x^{4} \cdot x^{2} = x^{6}$ B、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{9}$ C、 $(- x^{4}) \div {(- x)}^{2} = x^{2}$ D、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$

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2、综合与探究
问题情境：数学课上同学们研究含 $30 °$ 锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1， $m ∥ n$ ，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接 $A B$ ，以 $A B$ 为斜边作直角 $△ A B C ， ∠ C A B = 30 °$ ．

(1)、如果 $∠ E B C = 2 ∠ D A C$ ．
①直接写出 $∠ D A C$ 的度数： ▲ °．
②如图2，若 $A B ⊥ F B ， ∠ F = 45 °$ ，试说明 $A F$ 平分 $∠ D A C$ ．

(2)、深入思考：
$B Q$ 平分 $∠ C B E$ 交直线m于Q，角平分线 $B Q$ 上一点H在直线m上方，G是射线 $A Q$ 上一点（点G与点Q不重合），请直接写出 $∠ C B Q ， ∠ H G Q 和 ∠ G H Q$ 之间的关系．

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3、在学习乘法公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值，总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = {(x + 2)}^{2} + 1$ ，
$∵ {(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ 当 x = - 2$ 时， ${(x + 2)}^{2}$ 的值最小，最小值是0，
$∴ {(x + 2)}^{2} + 1 \geq 1$ ，
$∴ 当 x = - 2$ 时， ${(x + 2)}^{2} + 1$ 的值最小，最小值是1，
$∴ x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、填空： $x^{2} +$ $+ 25 = {(x + 5)}^{2} ； m^{2} + 8 m +$ =(m+)²；

(2)、若 $y = x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值（填“大”或“小”），这个值是；

(3)、已知 $a, b, c 是 △ A B C$ 的三边长， $a, b$ 满足 $a^{2} + 41 + b^{2} = 8 b + 10 a$ ，且 $c$ 的值为代数式 $- x^{2} + 6 x - 4$ 的最大值，请求出该三角形的周长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为边 $B C$ 上的高， $B F 为 ∠ A B C$ 的平分线，点E为边 $B C$ 上的一点，连接 $A E 交 B F$ 于点O．

(1)、当 $A E$ 为边 $B C$ 上的中线时，若 $A D = 8 ， △ A B C$ 的面积为36，求 $C E$ 的长．

(2)、当 $A E 为 ∠ B A C$ 的平分线时，若 $∠ C = 70 °$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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5、如图，点 $A 、 B 、 C 、 D$ 在同一条直线上，点 $E 、 F$ 分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E = B F ， A E ∥ B F ， ∠ A E C = ∠ B F D$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D F$ ；

(2)、若 $A B = 8 ， C D = 4$ ，求 $A C$ 的长．

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6、已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 5 - 2 a \\ x - y = 4 a - 1 \end{matrix}$ ，给出下列结论中正确的是（请填序号）．
①当 $a = 2$ 时，方程组的解也是方程 $2 x + y = 3 a + 2$ 的解；
②无论 $a$ 取何值， $y^{2} + 2 x y = 4 (a + 2) (1 - a)$ 恒成立；
③当方程组的解 $x ， y$ 都为自然数时，则 $a$ 有唯一值为1；
④无论 $a$ 取什么实数， $2^{x} \cdot 2^{y}$ 的值始终为8．

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7、若 $(2 x + m) (x - 3)$ 的展开式中不含的一次项，则实数m的值为．

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8、小王将一个骰子随意抛了10次，出现的点数分别是6，2，1，2，3，4，3，5，2，4．在这10次中，“3”出现的频数是．

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9、如图， $A B = 4 cm ， A C = B D = 3 cm ， ∠ B A C = ∠ A B D$ ，点P在线段 $A B$ 上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 $B D$ 上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使 $△ A C P 与 △ B P Q$ 全等，则点Q的运动速度为（）

A、 $\frac{1}{2} cm / s$ B、 $1 cm / s$ C、 $\frac{1}{2} cm / s 或 \frac{3}{2} cm / s$ D、 $1 cm / s 或 \frac{3}{2} cm / s$

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10、如图，直线 $A B ∥ C D ， C E 与 A B$ 交于点F，连接 $A E$ ．若 $∠ A = 64 ° ， ∠ E C D = 115 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $43 °$ B、 $48 °$ C、 $51 °$ D、 $56 °$

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11、下列式子从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ B、 $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ C、 $x + 2 = x (1 + \frac{2}{x})$ D、 $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$

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12、数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为 $14 cm 和 9cm$ 的木棒，则第三根木棒的长度不可取（）

A、 $5cm$ B、 $10 cm$ C、 $15 cm$ D、 $20cm$

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13、下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 $5 x^{3} \cdot 3 x^{2} = 15 x^{5}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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14、下列调查中，适合全面调查的是（）

A、为了解一批袋装食品是否含有防腐剂 B、为了解全国中小学生体育锻炼情况 C、为了解嫦娥六号月球探测器全部零部件的质量情况 D、为了解某型号汽车的抗撞击能力

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15、阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 12 ， A C = 8$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长 $A D$ 到点E使 $D E = A D$ ，再连接 $B E$ ，把 $A B 、 A C 、 2 A D$ 集中在 $△ A B E$ 中．利用三角形三边的关系即可判断中线 $A D$ 的取值范围是；

(2)、问题解决：
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， E、F分别是边 $B C 、 C D$ 上的两点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，求证： $B E + D F = E F$ ．

(3)、问题拓展：如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点E为 $B C$ 边上一点， $∠ A E C = 2 ∠ A D B$ ．猜想线段 $A D ， A E ， B E$ 的数量关系，并证明．

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16、通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)、【模型呈现】如图1， $∠ B A D = 90 ° ， A B = A D$ ，过点B作 $B C ⊥ A C$ 于点C，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E．由 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90 °$ ，得 $∠ 1 = ∠ D$ ．又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可以推理得到 $△ A B C ≌ △ D A E$ ．进而得到 $A C =$ ， $B C =$ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)、[模型应用]如图2， $A E ⊥ A B 且 A E = A B ， B C ⊥ C D 且 B C = C D$ ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．

(3)、[深入探究]如图3， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 ° ， A B = A D ， A C = A E$ ，连接 $B C ， D E$ ，且 $B C ⊥ A F$ 于点F， $D E$ 与直线 $A F$ 交于点G．求证：点G是 $D E$ 的中点．

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17、在学习乘法公式时，甲同学发现 $a + b, a - b, a^{2} + b^{2}, a b$ 这四个代数式之间是有关系的，即 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2} ， {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b ， {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题：

(1)、已知 $a + b = 6, a^{2} + b^{2} = 20$ ，求 $a b$ 的值．

(2)、已知 $m n = 3, m^{2} + n^{2} = 31$ ，求 $m - n$ 的值．

(3)、已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} 和 x^{4} - \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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18、如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得 $A C = D F ， A C ∥ D F ， ∠ A = ∠ D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D F E$ ；

(2)、若 $B E = 20 m ， B F = 6 m$ ，求 $C F$ 的长．

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19、如图，有两条国道相交于点O，在 $∠ A O B$ 的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到 $O A 、 O B$ 的距离相等，且 $P C = P D$ ，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）

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20、计算：

(1)、 ${(- 3)}^{2} + {(3 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 $(2 x + y) (2 x - y) - y (x - y)$ ．

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