相关试卷

1、（1）如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B C A = 30^{\circ}$ ， $A B = 3$ ，求 $B C ， A C$ ；
（2）如图2，尺规作图：作三角形 $A B C$ ，使 $∠ C B A = α$ ，边 $B C = a$ ， $A C = b$ ；
（3）在（2）条件下若 $∠ C B A = 30^{\circ}$ ， $B C = 8$ ， $A C = 5$ ，求 $A B$ 的长度．

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2、观察下列式子的化简过程：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、按照上述两个式子的化简过程，化简 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} =$ ______， $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =$ ______；

(2)、计算下列算式： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．

(1)、如图，点D是边 $B C$ 上一点，作 $B E ⊥ A D$ ， $C F ⊥ A D$ ．
①求证： $A F = B E$ ；
②连接 $C E$ ，若 $A E = 2 B E$ ， $C E = 5$ ，求边 $C F$ 的长；

(2)、如图3，O是 $△ A B C$ 内部一点， $∠ A O B = 90 °$ ，连接 $C O$ ，若 $∠ A O C = ∠ B O C$ ， $A O = 2$ ，求点O到 $B C$ 的距离．

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4、2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是 $A \to B \to D$ 和 $A \to C \to D ．$ 已知 $A B = 800 m$ ， $A C = 1000 m$ ，点C在点B的正东方 $600m$ 处，点D在点C的正北方 $200m$ 处．

(1)、试判断 $A B$ 与 $B C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、如果小亮沿着 $A \to C \to D$ 的路线跑，爸爸沿着 $A \to B \to D$ 的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．

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5、将一个长方形的长减少 $5cm$ ，宽增加 $2cm$ ，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，请画出示意图进行分析，并求长方形的长和宽分别是多少．

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6、解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} y = 2 x + 3 ① \\ 4 x - y = 1 ② \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 1 ① \\ 2 x + 3 y = - 7 ② \end{array}$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{27} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{12}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} \times \sqrt{12} - \sqrt{48} \div \sqrt{3}$ ；

(3)、 $\sqrt{24} \div \sqrt{3} + 6 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{32}$ ；

(4)、 $(\sqrt{3} - 1)^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ．

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8、如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为 $40 c m$ ）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 $c m$ ．

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9、解关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 4 k \\ x - y = 5 k \end{array}$ ，当解满足方程 $4 x - 6 y = 21$ 时，k值为．

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，若 $A B = 11$ ，则正方形 $A E D C$ 和正方形 $B C G F$ 的面积之和为．

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11、已知x $= \sqrt{3} +$ 1，则代数式x²﹣2x+1的值为．

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12、如图，一只蚂蚁从底面为边长 $4.5 cm$ 的正方形，高是 $12 cm$ 的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 $cm$ ．

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13、如图，长方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 长为3， $A B$ 长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线 $A C$ 长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是．

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14、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程 $a x + y = 1$ 的解，则 $a =$ ．

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15、下列三角形中，a，b，c分别表示边长， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 表示角，一定是直角三角形的有（）
（1）三边之比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形；
（2）三个内角是 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ B = \frac{1}{3} ∠ C$ 的三角形；
（3） $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ ；
（4） $a^{2} - c^{2} = b^{2}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、下列实数中是无理数的为（）

A、 $π$ B、1 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $0.3$

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17、下列各组数中，是勾股数的是（）

A、 $3^{2}$ ， $4^{2}$ ， $5^{2}$ B、 $5$ ， $12$ ， $13$ C、 $0.6$ ， $0.8$ ， $1$ D、 $1$ ， $2$ ， $3$

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18、如图，在数轴上，点 $O$ ， $A$ ， $B$ 表示的数分别为0，1， $\sqrt{2}$ ，点 $A$ 到 $B$ 的距离与点 $O$ 到 $C$ 的距离相等，设点 $C$ 在数轴上表示的数为 $c$ （点 $C$ 在点 $O$ 的左边）．

(1)、求 $|c - \sqrt{2}| + |2 - c|$ 的值．

(2)、在数轴上有两点 $M$ ， $N$ ，表示的数为 $m$ ， $n$ ，且 $|c - m + 1| + \sqrt{c - n + 2 \sqrt{2}} = 0$ ，求 $m + n + 46$ 的平方根．

(3)、现将点 $B$ 向左移动7个单位得到点 $D$ ，设点 $D$ 表示的数为 $x$ ，在数轴上是否存在一点 $E$ 所表示的数为 $y$ ，使得 $A E = \frac{1}{2} C D$ ．若存在求出 $y$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、已知： $m$ ， $x$ ， $y$ 满足（1） ${(x - 5)}^{2} + 5 |m| = 0$ ；（2） $- 2 a^{2} b^{y}^{+ 1}$ 与 $7 b^{3} a^{2}$ 是同类项，求代数式： $2 x^{2} - 6 y^{2} + m (x y - 9 y^{2}) - (3 x^{2} - 3 x y - 7 y^{2})$ 的值．

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20、a的算术平方根是2， $a - b$ 的立方根是2，c是 $\sqrt{3}$ 的整数部分，求 $2 a + b + c$ 的平方根．

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