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1、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： ${(a + b)}^{0} = 1$ ，系数为1；
${(a + b)}^{1} = a + b$ ，系数分别为1，1：
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，系数分别为1，2，1；…
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过 $9^{10}$ 天后是（　　）

A、星期四 B、星期五 C、星期六 D、星期天

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2、已知等式 $(x + m) (x - n) = x^{2} + k x - 6$ （ $m$ ， $n$ 为正整数），则 $k$ 的值不可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $4$ D、 $5$

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3、若 $A = \frac{2}{3} (1 + \frac{1}{3^{1}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{4}}) ⋯ (1 + \frac{1}{3^{1024}}) - 1$ ，则 $A$ 的值是（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{3^{1024}}$ D、 $- \frac{1}{3^{2048}}$

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4、对于任意实数 $m, n$ ，我们规定： $F (m, n) = m^{2} + n^{2}$ ， $H (m, n) = - m n$ ．例如： $F (1, 2) = 1^{2} + 2^{2} = 5$ ， $H (3, 4) = - 3 \times 4 = - 12$ ．

(1)、填空：① $F (2, - 3) =$ ；②若 $H (2, x) = - 8$ ，则 $x =$ ；③若 $F (a, b) = H (a, 2 b)$ ，则 $a + b$ 0．（填“>”，“<”或“=”）

(2)、若 $x + 2 y = 5$ ，且 $F (2 x + 3 y, 2 x - 3 y) + H (7, x^{2} + 2 y^{2}) = 13$ ，求 $x y$ 与 $(x - 2 y)^{2}$ 的值．

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5、定义：将多项式 $x^{2} + b x + c$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即： $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ ．
例如：若将多项式 $x^{2} + 2 x + 5$ 进行配方，则 $x^{2} + 2 x + 5 = x^{2} + 2 x + 1^{2} + 4 = (x + 1)^{2} + 4$ ．
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用．

(1)、将多项式 $x^{2} - 6 x + 13$ 配方为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，则 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、若多项式 $A = 2 x (x - 2)$ ， $B = (x + 3) (x - 3)$ ．证明：无论x取何值， $A - B > 0$ 均成立．

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6、计算与化简：

(1)、 $\frac{2}{5} x y^{2} (5 x y - \frac{5}{2} x^{2} y)$ ；

(2)、 $100.3 \times 99.7$ ；

(3)、先化简，再求值： $[(x + 2 y) (x - y) - (x - y)^{2}] \div 3 y$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ．

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7、已知 $M - (2 a - 1) (a + 1) = - 3 {(a + 2)}^{2}$ ．

(1)、求多项式 $M$ ；

(2)、若 $9^{\frac{1}{2} a} = 27$ ，求多项式 $M$ 的值．

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8、已知 $a = \frac{1}{2020} + 2021$ ， $b = \frac{1}{2020} + 2022$ ， $c = \frac{1}{2020} + 2023$ ，则代数式 $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c)$ 的值为．

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9、已知实数a、b满足 $a - b = 5$ ， $a b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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10、对于任意一个四位正整数m ，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3．则称m 为“吉安数”，例如，∵ $m = 5320$ ， $5 \neq 3 \neq 2 \neq 0$ 且 $5 - 2 = 3 - 0 = 3$ ， ∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如： $4 = 2^{2}$ ，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为 $\bar{a 643}$ ，则这个数为；若m是“吉安数”，记 $f (m) = \frac{m - 1280}{101}$ ，若 $f (m)$ 是一个完全平方数，则满足条件的“吉安数”m的最大值为．

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11、我们知道，数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数，宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．若 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则代数式 $x^{2} + x$ 的值为．

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12、如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形 $A B C D$ 的面积为 $x^{2} +$ $x + 16$ ．

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13、已知多项式 $x^{2} - k x y + y^{2}$ 可以写成一个多项式的平方，则k为（）

A、4 B、2 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 2$

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14、已知多项式 $A = x^{2} + 2 x + k$ ， $B = x + 2$ ，其中 $k$ 为正整数，下列说法：
①当 $k = 3$ 时， $A > B$ 一定成立；
②当 $A + B$ 的值为正数时， $k$ 的最小值为1；
③当 $k = 4$ 时，若 $\frac{A}{B}$ 为正整数，则整数 $x$ 的值仅有1个．
其中正确的个数为（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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15、如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（）

A、甲乙均可以 B、甲乙均不可以 C、甲可以，乙不可以 D、甲不可以，乙可以

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16、下列运算中正确的是（）

A、 ${(- x^{2})}^{3} = - x^{5}$ B、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ D、 $x^{5} \div x^{2} = x^{4}$

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17、我们定义：如果两个分式 $A$ 与 $B$ 的差等于2，则称 $A$ 是 $B$ 的“友好分式”．例如分式 $A = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $B = \frac{- 2}{x + 1}$ ，因为 $A - B = \frac{2 x}{x + 1} - (\frac{- 2}{x + 1}) = \frac{2 x + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$ ，所以 $A$ 是 $B$ 的“友好分式”．

(1)、已知分式 $C = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ ， $D = - \frac{4}{x + 2}$ ，请通过计算判断 $C$ 是否为 $D$ 的“友好分式”；

(2)、已知分式 $P = \frac{E}{1 - x^{2}}$ ， $Q = \frac{2 x}{1 - x}$ ，且 $P$ 是 $Q$ 的“友好分式”，若当 $x$ 为整数时，分式 $P$ 的值也为整数，求 $E$ 所代表的代数式及所有符合条件的 $x$ 的值之和；

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18、定义：若分式 $A$ 和分式 $B$ 满足 $A - B = n$ （ $n$ 为正整数），则称 $A$ 是 $B$ 的“ $n$ 差分式”，例如： $\frac{1}{1 - x} - \frac{x}{1 - x} = 1$ ，我们称 $\frac{1}{1 - x}$ 是 $\frac{x}{1 - x}$ 的“1差分式”．
解答下列问题：

(1)、分式 $\frac{4 x}{x - 1}$ 是 $\frac{4}{x - 1}$ 的“差分式”；

(2)、分式 $A = \frac{C}{4 - x^{2}}$ 是分式 $B = \frac{3 x}{2 - x}$ 的“3差分式”；
① $C =$ ▲ （用含 $x$ 的代数式表示）；
②若 $x$ 和 $A$ 的值均为正整数，求 $A$ 的值．

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19、数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论．
现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐 $(a > b > 0)$ ，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为 $\frac{b}{a}$ ．
实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为 $\frac{b}{a + m}$ ．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为： $\frac{b}{a} > \frac{b}{a + m}$ $(a > b > 0, m > 0)$ ．
实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为 $\frac{b + m}{a + m}$ ．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为： ▲ ．

(1)、写出实验二中的不等式： ▲ ，并证明该不等式的正确性；

(2)、请运用以上的结论，完成以下证明：若a ， b ， c是 $△ A B C$ 三边的长，求证： $1 < \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} < 2$ ．

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20、阅读下面材料，回答问题．

素材1	定义：如果两个分式P与Q的和为常数k ，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式 $P = \frac{1}{m}$ ， $Q = \frac{2 m - 1}{m}$ ， $P + Q = \frac{1}{m} + \frac{2 m - 1}{m} = 2$ ，则P与Q互为“和定分式”，“和定值” $k = 2$ ．
素材2	分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式 $\frac{1}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 是真分式．
素材3	如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x}{x + 1}$ ， $\frac{2 x^{2}}{x + 1}$ 是假分式．

问题解决：

(1)、已知分式

A = \frac{x - 5}{x + 2}

，

B = \frac{2 x + 11}{x + 2}

，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值．

(2)、已知分式

C = \frac{2 x - 1}{x + 3}

，

D = \frac{M}{x^{2} - 9}

，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）．

(3)、已知分式

E = \frac{a x - 3}{x - 1}

，

F = \frac{x + b}{x^{2} - 2 x + 1}

（a ， b为常数），若E与F互为“和定分式”，则

a =

，

b =

．

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