相关试卷

1、如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上．

(1)、过点C画线段AB的垂线，垂足为F；

(2)、点A到线段CF的距离即线段的长；

(3)、在直线AD上找一点P ，使得PB+PC的值最小．

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2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°．

(1)、在BC ， CD上分别找一点M ， N ，使△AMN的周长最小．

(2)、在（1）的条件下，∠AMN+∠ANM＝．

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3、在一条公路旁有A、B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置：

(1)、在图①中，要求车站M到AB两厂的距离相等；

(2)、在图②中，要求车站M到AB两厂的距离之和AM+BM最短；

(3)、在图③中，要求车站M到AB两厂的距离之差AM﹣BM最大．

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4、如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC ，垂足是D ，且AD＝5，点E ， F分别是线段AD ， AC上的动点，则EC+EF的最小值是．

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5、如图，∠AOB＝50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分别确定点M ， N ，使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为 °．

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6、如图，在锐角△ABC中，BD平分∠ABC ， ∠ABC＝α，若E、F分别是BD、BC上的动点，当CE+EF最小时，∠FEC的度数为（　　）

A、90°﹣α B、α C、2α D、180°﹣α

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7、如图，一条笔直的河l ，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8、人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 $3 x^{2} y^{2} - 12 y^{2}$ ，将其分解因式为 $3 y^{2} (x + 2) (x - 2)$ ．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取 $x = 15$ ， $y = 5$ ，则有 $3 y^{2} = 75$ ， $x + 2 = 17$ ， $x - 2 = 13$ ，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775．

(1)、若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 $m^{3} - 9 m$ ，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码；

(2)、若多项式 $x^{3} + (m - 2 n) x^{2} + 5 n x$ 分解因式后，利用前面的方法，当 $x = 24$ 时，可以得到密码为242932，求 $m$ ， $n$ 的值．

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9、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ ，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y = (x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y) = (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$ ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．

(1)、分解因式： $x^{2} - 9 y^{2} - 2 x + 6 y$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三条边，求证： $b^{2} + c^{2} - a^{2} - 2 b c < 0$ ．

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10、有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{2} - 9$ 因式分解的结果为 $(x - 3) (x + 3)$ 或 $(x + 3) (x - 3)$ ，取个人年龄作为x的值，当 $x = 20$ 时， $x - 3 = 17$ ， $x + 3 = 23$ ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 $x^{3} - x$ ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由．

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11、求证：多项式 $(x^{2} - 4) (x^{2} - 10 x + 21) + 100$ 的值一定是非负数．

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12、有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当 $x = 4, y = 4$ 时，各个因式的值是： $x - y = 0, x + y = 8, x^{2} + y^{2} = 32$ ，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式 $x^{4} y + x y^{4}$ 因式分解的结果是 $x y (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ，当它的第一位因式码 $x y$ 的值和第二位因式码 $(x + y)$ 的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码 $(x^{2} - x y + y^{2})$ 的值是．

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13、若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数 $a$ 整除，则所有满足条件的正整数 $a$ 的和为．

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14、计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) (1 - \frac{1}{5^{2}}) ⋯ (1 - \frac{1}{202 5^{2}}) (1 - \frac{1}{202 6^{2}}) =$ ．

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15、若 $a, b$ 为实数，且满足 $a^{2} + b^{2} = 10 a + 8 b - 41$ ，则 $a + b =$ ．

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16、已知整式 $M$ ： $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ⋯ + a_{1} x + a_{0}$ ，其中 $a_{n}$ ， $a_{n - 1}$ ， …， $a_{1}$ ， $a_{0}$ 为正整数， $n$ 为自然数，且 $a_{i} \geq a_{i - 1}$ （ $1 \leq i \leq n$ 且为整数），下列说法：
①当 $n = 2$ ， $a_{0} a_{1} ⋯ a_{n} = 8$ 时，满足条件的整式有4个；
②若 $a_{0} + a_{1} + ⋯ + a_{n} = 5$ ，满足条件的整式有7个；
③当 $n$ 为奇数，设 $P = a_{0} + a_{2} + ⋯ + a_{n - 1}$ ， $Q = a_{1} + a_{3} + ⋯ + a_{n}$ ，且 $P Q - P - Q = 5$ ，则所有满足条件的整式 $M$ 的和为 $2 x^{5} + x^{4} + 12 x^{3} + 5 x^{2} + 16 x + 9$ ．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、如图1，现有2个边长为 $a$ 的正方形 $A$ ，一个长为 $2 a$ 、宽为 $a$ 的长方形 $B$ ，将它们按图2放置在一个长为 $3 a$ 、宽为 $b$ 的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3} + S_{4}$ ，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系为（）

A、 $4 a = 3 b$ B、 $3 a = 2 b$ C、 $5 a = 3 b$ D、 $5 a = 4 b$

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18、已知△ABC的三边长分别为a、b、c ，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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19、下列各数不能整除 $2^{32} - 1$ 的是（）

A、3 B、5 C、7 D、17

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20、先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} - 4 (x^{2} + 3 x) + 4$ ．
解：把 $x^{2} + 3 x$ 看作一个整体，令 $x^{2} + 3 x = a$ ，则
原式 $= a^{2} - 4 a + 4$ ，
$= {(a - 2)}^{2}$ ，
$= {(x^{2} + 3 x - 2)}^{2}$ ．
上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题：

(1)、因式分解： $(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4$ ；

(2)、若 $x^{2} + 8 x - 5 = 0$ ，求 $(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)$ 的值；

(3)、请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．

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