相关试卷

1、如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $∠ A C D$ 的平分线交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $A F$ ， $B F$ ．

(1)、判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由．

(2)、若 $A E = 2$ ， $B E = 8$ ，求 $A F$ 和 $C E$ 的长．

(3)、如图2，若 $O$ 是 $D E$ 中点，求 $∠ B$ 的正弦值．

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2、已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数）的图象经过点 $A (3, 2)$ ，对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求此二次函数的表达式．

(2)、求二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值．

(3)、当 $0 \leq x \leq t$ 时，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{9}{8}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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3、某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂 $A C$ 、 $B C$ 和一个灯杆 $C D$ 组成，灯杆 $C D$ 与地面垂直．现测得 $B C = 1.6$ 米， $C D = 8$ 米， $∠ A C B = 110 °$ ．（参考数据： $\sin 55 ° \approx 0.82$ ； $\cos 55 ° \approx 0.57$ ； $\tan 55 ° \approx 1.43$ ．结果精确到0.1米）

(1)、求两灯臂末端 $A$ 、 $B$ 之间的距离．

(2)、求灯臂末端 $A$ 到地面的距离．

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4、在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为 $x$ 后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为 $y$ ，这样确定了点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ ．
（1）请用列表或画树状图的方法写出点 $P$ 所有可能的坐标；
（2）求点 $P$ 在函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的图象上的概率．

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5、小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若 $A B = 7$ ， $C D = 3$ ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（）

A、 $9 : 49$ B、 $16 : 49$ C、 $24 : 49$ D、 $25 : 49$

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6、综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模
【研学背景】
某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点．
【坐标系建构】
以投放口地面竖直投影为原点 $O$ ，水平投放方向为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向，单位： $m$ ．
无人机物资空投数学建模示意图

(1)、【初战实测·个案建模】
如图，首次试飞无人机悬停投放高度为 $4.5 m$ ，物资水平飞行 $18 m$ 后在 $N (18, 0)$ 处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式；

(2)、【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点 $P (6, 3.5)$ ，求此时无人机悬停投放口离地高度；

(3)、【全域探究·通用建模】
为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹： $y = - \frac{1}{80} x^{2} + h (h > 0)$ ，场地中段 $6 \leq x \leq 10$ 设有高 $1.2 m$ 实训障碍墙；地面物资接收区为线段 $M N$ ，端点 $M (12, 0)$ ， $N (18, 0)$ ；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区 $M N$ 内（含端点 $M$ ， $N$ ），求投放口高度 $h$ 的取值范围．

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7、
综合与探究
【概念初识】
三隅同角四边形：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，则称这个四边形为三隅同角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”．
（1）如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $C B$ 上的动点，若四边形 $B E D F$ 为三隅同角四边形，则 $∠ B E D =$ ▲ $°$ ；
【图形判定】
（2）如图2，折叠平行四边形纸片 $A B C D$ ，使顶点 $A$ ， $C$ 分别落在边 $A B$ ， $B C$ 上的点 $E$ ， $F$ 处，折痕分别为 $D G$ ， $D H$ ．求证：四边形 $D E B F$ 是三隅同角四边形；
【综合深研】
（3）如图3，在三隅同角四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = ∠ D$ 且 $∠ B$ 为锐角， $C D = A D = 6$ ，求 $B C$ 长的最大值．

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8、某校七、八年级各有 $900$ 名学生，为了调查学生对 $A I$ 赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各 $n$ 名学生对 $A I$ 赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用 $x$ 表示）： $A$ ： $70 \leq x < 75$ ， $B$ ： $75 \leq x < 80$ ， $C$ ： $80 \leq x < 85$ ， $D$ ： $85 \leq x < 90$ ， $E$ ： $90 \leq x < 95$ ， $F$ ： $95 \leq x \leq 100$ ，
并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图：
已知八年级样本中赋分成绩为 $95$ 分及以上的学生有 $6$ 人， $D$ 组中的数据从小到大排列 $10$ 个如下： $85$ ， $85$ ， $86$ ， $86$ ， $87$ ， $87$ ， $88$ ， $88$ ， $89$ ， $89$ ．请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $m =$ ______， $n =$ ______， $a =$ ______；

(2)、八年级赋分成绩的中位数是______；

(3)、若赋分成绩不低于 $80$ 分，则认定学生对 $A I$ 赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对 $A I$ 赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？

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9、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 < 3 x \\ \frac{x + 1}{5} - \frac{x - 2}{2} \geq 0 \end{array}$ ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．

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10、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 27} - {(π - 3.14)}^{0} + |\sqrt{2} - 2| + 2 \sin 30 °$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 150 °$ ， $A B + 2 A C = 8$ ，将线段 $B C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $A D$ ，则线段 $A D$ 的最小值为．

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12、如图，在平面直角坐标系中，点 $M$ ， $N$ 分别在反比例函数 $y = - \frac{6}{x} (x > 0)$ ， $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x < 0)$ 的图象上，连接 $O M$ ， $O N$ ， $M N$ ，且 $O M ⊥ O N$ ，作 $M A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ． $N B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，若 $\frac{O N}{O M} = \frac{4}{3}$ ，则 $k$ 的值为．

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13、如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以 $O A$ ， $O C$ 为半径，圆心角 $∠ O = 80 °$ 形成的扇面，若 $O A = 2 m$ ， $O C = 1 m$ ，则图2中阴影部分的面积为 $m^{2}$ ．（结果保留 $π$ ）

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14、写出一个函数表达式，使它的图象经过 $(2, 0)$ ，且 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是．

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15、《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（）

A、 $15 x = 40 (x + 5)$ B、 $\frac{15}{x - 5} = \frac{40}{x}$ C、 $15 (x - 5) = 40 x$ D、 $\frac{15}{x} = \frac{40}{x + 5}$

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16、如图，仿生机器狗平稳站立时， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B E = 135 °$ ， $∠ B E D = 95 °$ ，此时 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $145 °$

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17、 $2026$ 年 $2$ 月 $1$ 日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到 $135 °$ 以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座 $A B$ 平行于地面 $C D$ ，支点 $O$ 到地面的距离 $O C$ 为 $40$ 厘米，靠背 $B E$ 的长为 $40$ 厘米．若 $∠ A B E = 140 °$ ，则点 $E$ 到地面的距离 $E F$ 的长是（）厘米．

A、 $40 + 40 \sin 50 °$ B、 $40 + 40 \tan 50 °$ C、 $40 + 40 \sin 40 °$ D、 $40 + 40 \tan 40 °$

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18、中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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19、发展新能源汽车是我国核心战略，比亚迪是技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部—六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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20、中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， $- 2026$ 的倒数是（）

A、 $- 2026$ B、 $- \frac{1}{2026}$ C、2026 D、 $\frac{1}{2026}$

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