相关试卷

1、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 11$ ，求 $k$ 的值．

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2、新定义：若抛物线 $y = f (x)$ 与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为 $45 °$ ，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线 $y = f (x)$ 的“半垂三角形”．
已知抛物线 $y = g (x)$ 是“半垂抛物线”，且 $△ A B C$ 为该抛物线的“半垂三角形”，点 $A (0, 3)$ ，点 $B (1, 0)$ ，点C为“半垂点”．将抛物线 $y = g (x)$ 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线．

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 相交于点O，点E，F在对角线 $B D$ 上，有下列条件：① $B F = D E$ ；② $A E = C F$ ；③ $∠ E A B = ∠ F C O$ ；④ $A F ∥ C E$ ．其中一定能判定四边形 $A E C F$ 是平行四边形的是．

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4、等腰三角形的底和腰是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则这个三角形的周长是．

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5、 $Rt △ A B C$ 中，三边分别为a，b，c，斜边 $c = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值为．

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6、函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(2, 0)$ ，顶点坐标为 $(- 1, n)$ ，其中 $n > 0$ ．
①当 $0 < c < 1$ 时，则 $- \frac{1}{8} < a < 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + b x + c - n - k = 0$ 有两根，则 $k < 0$ ；
③点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线上不同的两个点，当 $|x_{1} + 1| > |x_{2} + 1| > 3$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ；
④函数 $y = k x + 1$ 的图象与 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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7、某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（）

A、涨价后每件工艺品的售价是 $(20 + x)$ 元 B、涨价后每件售出工艺品的利润是 $(10 - x)$ 元 C、涨价后每天销售工艺品的数量是 $(300 - 10 x)$ 件 D、可列方程为 $(30 + x) (300 - 10 x) = 3750$

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8、一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - 4 m x + 2 m - 6 = 0$ 有两个相等的实数根，则m等于（　　）

A、1或 $- 6$ B、 $- 6$ C、1 D、2

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9、如图，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点M是 $A D$ 边的中点，点N是 $A B$ 边上一点， $△ A M N$ 沿 $M N$ 所在的直线翻折得到 $△ A^{'} M N$ ，使点A的对应点 $A^{'}$ 落在对角线 $A C$ 上，则 $A^{'} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{3}$

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10、已知 $7 - \sqrt{5}$ 的整数部分为a，小数部分为b，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）

A、30 B、 $30 - 6 \sqrt{5}$ C、 $30 + 6 \sqrt{5}$ D、 $54 - 6 \sqrt{5}$

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11、将直线 $y = 2 x + 1$ 向上平移 $3$ 个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $4$

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12、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图，若 $y < 0$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < x < 4$ B、 $- 1 < x < 3$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 3$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 4$

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13、高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差 $s^{2} = 36$ ．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（）

A、平均分不变，方差变大 B、平均分不变，方差变小 C、平均分和方差都不变 D、平均分和方差都改变

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14、下列各组数为勾股数的是（　　）

A、0.3 $， 0.4 ， 0.5$ B、 $\frac{1}{5} ， \frac{1}{12} ， \frac{1}{13}$ C、7，24，25 D、 $\sqrt{6} ， \sqrt{8} ， \sqrt{10}$

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15、若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的值可以是（）

A、－2 B、3 C、－1 D、0

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16、【特例感知】

(1)、如图1，在△ABC中，∠ABC＝120°，BC＝2，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，则CD＝；

(2)、【类比迁移】
如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，且满足点B，C，E三点共线．若∠BED＝90°，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

(3)、【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足∠BAC＝90°，点D为公园中的观景点，若 $A D = 200 \sqrt{2}$ 米，CD＝200米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积．

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17、【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
4
2
0
﹣2
a
2
…

(1)、a＝；

(2)、描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、【拓展应用】
若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系：；

(4)、结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集：．

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18、目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价、进价如表所示：
进价
售价
A模型
20元
30元
B模型
30元
45元

(1)、该航模店至少购进多少个A款飞机模型？

(2)、如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．

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19、在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成△ABC，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称．

(1)、在图中画出△DEF；

(2)、为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A₁B₁C₁ ，请画出△A₁B₁C₁；

(3)、队形继续进行变换，△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°得到△A₁B₂C₂ ，请写出此时B₂的坐标．

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20、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 5 x - 1 \leq 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{2} + \frac{5 x - 1}{4} ＞ 1 \end{array}$ ，并写出所有的整数解．

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x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	6	4	2	0	﹣2	a	2	…

	进价	售价
A模型	20元	30元
B模型	30元	45元