相关试卷

1、已知关于x的分式方程 $\frac{3 x + b}{x - 2} = - 1$ ．

(1)、若该分式方程的解是x＝1，求b的值；

(2)、若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围．

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2、春运期间，两列火车匀速行驶．一列200m长的客运火车完全通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为．

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3、现定义一种新的运算：a※b $= \frac{a}{2 b - 1}$ ，例如：3※4 $= \frac{3}{2 \times 4 - 1} = \frac{3}{7}$ ，若关于x的方程m※x＝﹣2的解为非负数，则m的取值范围为．

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4、 DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R₁和R₂共同处理一批数据，已知R₂单独处理数据的时间比R₁少2小时，若两模型合作处理，仅需 $\frac{4}{3}$ 小时即可完成．若R₂单独处理需要（　　）小时完成．

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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5、关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + 3 = \frac{x - a}{x - 3}$ 的解为正数，则a的取值范围是（　　）

A、a＞﹣4 B、a＞﹣4且a≠3 C、a＜8 D、a＜8且a≠2

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6、已知关于x的分式方程 $\frac{4}{x - 3} - \frac{3}{x} = \frac{a}{x^{2} - 3 x}$ ．

(1)、若方程的增根为x＝3，求a的值；

(2)、若方程的解为非负数，求a的取值范围．

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7、若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 4} = 1 - \frac{m}{4 - x}$ 的解为非负数，则m的取值范围是．

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8、若分式 $\frac{5}{x - 1}$ 与 $\frac{5}{x + 1}$ 的值互为相反数，则x的值为．

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9、小明去距离家12km的图书馆看书，他从家骑自行车先出发，过了20min后，妈妈从家乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，则汽车的速度是（　　）

A、18km/h B、24km/h C、36km/h D、72km/h

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10、已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x + 3} - 2 = \frac{m}{x^{2} - 9}$ 的增根是﹣3，则m的值为（　　）

A、﹣5 B、﹣2 C、16 D、18

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11、若关于x的分式方程 $\frac{7}{x - 1} + \frac{a x}{1 - x} = - 3$ 无解，则实数a的值为（　　）

A、7 B、3 C、3或7 D、±7

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12、已知关于x的分式方程 $\frac{1}{2 x} + \frac{3}{a - x} = 0$ 的解是x＝1，则常数a的值是（　　）

A、﹣5 B、5 C、﹣7 D、﹣3

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13、在下列方程中，分式方程是（　　）

A、 $x = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} x = 1$ C、 $\frac{4}{x} = 1$ D、 $\frac{4}{\sqrt{x}} = 1$

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14、 “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为2a、宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形．

(1)、根据图1和图2，直接写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的一个等量关系．

(2)、利用（1）中的结论解决下列问题：
①若2x﹣y＝8，xy＝10，求2x+y的值．
②如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，求BC﹣CD的值（BC＞CD）．

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15、完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．

(1)、若x+y＝8，xy＝12，求x²+y²的值；

(2)、已知a，b满足（a+b）²＝11，（a﹣b）²＝7，求a²+b²与ab的值；

(3)、如图，已知正方形ABCD，BEFG的边长分别为x，y若x²+y²＝29，AE＝3，求图中阴影部分的面积？

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16、观察以下等式：
（x+1）（x²﹣x+1）＝x³+1，
（x+3）（x²﹣3x+9）＝x³+27，
（x+6）（x²﹣6x+36）＝x³+216，
…

(1)、按以上等式的规律填空：（x+a）＝x³+a³；

(2)、试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；

(3)、利用（1）中的公式化简：（x+4）（x²﹣4x+16）﹣（x﹣2）（x²+2x+4）．

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17、推理能力：如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为b（a＞b）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以（a+b）为长、（a﹣b）为宽的长方形面积，如图②所示．

(1)、【探究】
请列式表示：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式；

(2)、【应用】根据（1）中的公式解决如下问题：
①若a+b＝4，a﹣b＝2，求a²﹣b²的值；
②计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）．

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18、用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：
98²＝98²﹣2²+2²
＝（98+2）×（98﹣2）+2²
＝100×96+4
＝9604．

(1)、证明a²＝（a+b）（a﹣b）+b² ，并用以上方法计算99² ．

(2)、计算：（﹣105）² ．

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19、图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S₁、S₂分别表示八（1（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S₁﹣S₂＝．

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20、我国宋代数学家杨辉发现（a+b）ⁿ（n＝0、1、2、3……）展开数系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）⁸展开式的系数和是．

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