相关试卷

1、如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点D，且点D为线段 $A B$ 的中点．若点C为x轴上任意一点，且 $△ A B C$ 的面积为12，则求k的值为（）

A、 $- 12$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、6

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，若 $∠ C D B = 32 °$ ，则 $∠ A B C$ 等于（）

A、 $68 °$ B、 $64 °$ C、 $58 °$ D、 $54 °$

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3、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，已知 $O A = A D$ ， $△ A B C$ 的面积为1，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $4$

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5、一个不透明的布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，1个黑球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $A D ⊥ B C$ ， $B D = D C$ ．
【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？
【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 的中点，且 $A D ⊥ B C$ ，垂足为点D．求证： $A B = A C$ ．
【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下：
已知，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且点D是 $B C$ 的中点．求证： $A B = A C$ ．
小明提出了以下两种解题思路：
思路一：如图2，延长 $A D$ 到点E，使 $A D = D E$ ，连接 $C E$ ．
思路二：如图3，过点D分别作 $A B$ ， $A C$ 的垂线，垂足分别为E，F．
请你选其中一种思路，完成命题的证明．
【拓展延伸】（3）如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 12$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E为 $A C$ 中点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点F，过点B作 $B H ⊥ A D$ 交 $A D$ 延长线于点H，设 $△ B F H$ ， $△ A E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．若 $A B - A C = 4$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的值．

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8、数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；如图2可以得到 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ．现用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
【探索发现】（1）请用两种不同的方法表示图3中阴影部分（小正方形）的面积；①________，②________；由此可得 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系________．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下列问题．
【知识迁移】已知 $x + y = 7$ ， $x y = 6$ ，求 $x - y$ 的值；
【拓展提升】正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E F G$ 如图4摆放，边长分别为x，y，若 $x^{2} + y^{2} = 34$ ， $x y = 15$ ．求图中阴影部分的面积．

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9、如图1， $△ A B C$ 是温室屋架设计图的一部分，立柱 $A D ⊥ B C$ 于点D，斜梁 $A B = A C = 4 m$ ， $∠ B = 30 °$ ．如图2，保持 $B C$ 长度不变，延长斜梁 $B A$ 至E，使 $A E = 2 m$ ，立柱 $E F ⊥ B C$ 于点F，从而增大屋顶向阳面的面积．

(1)、求立柱 $A D$ ， $E F$ 的长；

(2)、求 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、求证： $B C = 4 F C$ ．

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10、在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过 $△ A B C$ 的顶点A作直线l平行于 $△ A B C$ 的边 $B C$ ，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．

(1)、如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边 $A B$ 上的任意一点P”，过点P分别作 $△ A B C$ 另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在 $△ A B C$ 中，点P是边 $A B$ 上的任意一点．求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

(2)、如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 $50 °$ 方向，B岛在A岛的北偏东 $80 °$ 方向，C岛在B岛的北偏西 $40 °$ 方向．从B岛看A，C两岛的视角 $∠ A B C$ 是多少度？从C岛看A，B两岛的视角 $∠ A C B$ 呢？

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11、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $D$ （保留作图痕迹，不写作法和证明过程）；

(2)、在（1）的基础上，若 $△ A D B$ 的面积为 $5$ ， $A B = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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12、（1）计算： $a^{2} + a - a (a + 3)$ ．
（2）先化简，再求值 ${(x - y)}^{2} + (y + x) (y - x)$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = - 2$ ．

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13、阅读以下内容：
$(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + \dots + x + 1) = x^{n} - 1$ ( $n$ 为正整数)；
根据这一规律，计算： $3^{9} + 3^{8} + 3^{7} + \cdot \cdot \cdot + 3 + 1 =$

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14、如图，是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力F的方向 $O F_{1} ∥ A C$ ，支持力N的方向 $O F_{2} ⊥ A C$ ，重力G的方向 $O F_{3} ⊥ A B$ ．若 $∠ A = α$ ，则 $∠ F_{2} O F_{3}$ 的度数是．

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15、在平面直角坐标系中，点 $M (- 2, 5)$ 关于y轴对称的点坐标是．

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16、如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值是（）

A、30 B、40 C、70 D、140

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17、有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①④

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18、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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19、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ，点 $A$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上，若 $A C = 5$ ， $F C = 2$ ，则 $D C$ 的长是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，用尺规作图的方法在 $A B$ 上确定点 $D$ ，若 $B D = 6$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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