相关试卷

1、已知 $x - y = 4$ ， $x y = 1$ ，则代数式 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值为．

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2、式子 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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3、学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从 $A$ 处匀速跑向 $B$ 处，乙同学从 $B$ 处匀速跑往 $A$ 处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为 $x$ （秒），甲、乙两人之间的距离为 $y$ （米）， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A、甲、乙同学的速度和为10米/秒 B、甲、乙同学在8秒时相遇 C、甲同学的速度为5米/秒 D、 $t = \frac{40}{3}$

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4、手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（）

A、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 \\ 2 x + y = 10 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 10 \\ 2 x + y = 17 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 17 \\ 3 x + y = 10 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 3 x + y = 17 \end{array}$

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5、下列命题是真命题的是（　　）

A、五边形有五条对角线 B、相似图形一定是位似图形 C、矩形的对角线互相垂直且相等 D、中位数一定是这组数据中的某一个数

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6、乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7、在平面直角坐标系中，将点 $P (5, 6)$ 关于 $x$ 轴对称后，得到对应点 $Q$ 的坐标是（　　）

A、 $(- 5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(- 6, 5)$ D、 $(6, - 5)$

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8、下列运算正确的是（　　）

A、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ B、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ C、 $3 m^{2} + 2 m^{3} = 5 m^{5}$ D、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$

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9、如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　）
12月14日
12月15日
12月16日
12月17日
$- 9 ～ 6 ℃$
晴
$- 11 ～ 11 ℃$
晴
$- 10 ～ 13 ℃$
晴
$- 11 ～ 10 ℃$
多云

A、12月14日 B、12月15日 C、12月16日 D、12月17日

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10、如图：已知抛物线 $L_{1} : y = - {(x - 1)}^{2} + 1$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 、点 $B$ ，其顶点为点 $A$ ，抛物线 $L_{2} : y = - 3 x^{2} + b x + 2$ 过点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $M (m, 0)$ 与点 $N (n, 0)$ 是 $x$ 轴上的两个动点，且 $0 < m < 1 < n$ ，过点 $M$ 作直线 $P Q ⊥ x$ 轴，分别交 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 于点 $P$ 与点 $Q$ ，过点 $N$ 作直线 $R S ⊥ x$ 轴，分别交 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 于点 $R$ 与点 $S$ ；

(1)、求抛物线 $L_{2}$ 的函数表达式；

(2)、如图（1），请证明：若 $n + m = 2$ ，则 $P Q + R S < 8$ ；

(3)、如图（2），连接 $P R$ ， $O A$ 交于点 $T$ ，设 $△ O T R$ 面积为 $S_{1}$ ，连接 $T N$ ， $A N$ ，设 $△ O T N$ ， $△ A T N$ 面积分别为 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，当 $n - m = 1$ 且 $\frac{S_{2} - S_{1}}{S_{3}} = \frac{25}{19}$ 时，请求出 $m$ 的值．

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11、【问题情境】
在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 为线段 $B C$ 上一点，连接 $A O$ ，将 $△ A B O$ 沿 $A O$ 所在的直线翻折，得到 $△ A O P$ ，延长 $A P$ 交线段 $C D$ 边于点 $E$ ，射线 $A O$ 与射线 $D C$ 交于点 $F$ ，如图（1）．

(1)、【问题解决】若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ．
①当点 $O$ 是 $B C$ 的中点时，求 $O P$ 的长；
②当 $B O = \frac{3}{2} C O$ 时，求 $A E$ 的长；

(2)、【问题探究】连接 $O E$ ，如图（2）．若 $△ F O E$ 为直角三角形，且满足 $tan ∠ O F E = \frac{2}{3}$ ，试探究线段 $A B$ 与线段 $B C$ 的数量关系．

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12、综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表．

课题	测量银杏树 $A B$ 的高度
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $C$ ， $D$ 在点 $B$ 的正西方向， $A B ⊥ B C$ ．	$G H$ 是银杏树旁的房屋， $A B ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ， $G E ∥ H B$ ．	$E F$ 是银杏树正西方向的孔子像，借助 $E F$ 进行测量，使 $P$ ， $E$ ， $A$ 三点在一条直线上，点 $P$ ， $F$ 在点 $B$ 的正西方向， $A B ⊥ B P$ ， $E F ⊥ B P$ ．
测量数据	$∠ C = 27 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $C D = 33 m$ ．	$∠ A G E = 27 °$ ， $∠ B G E = 60 °$ ， $G H = 18 m$ ．	$E F = 22 m$ ， $∠ A F B = 60 °$ ．

(1)、第______小组的数据无法计算出银杏树

A B

的高度；

(2)、请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树

A B

的高度．（结果精确到

0.1 m

，参考数据：

sin 27 ° \approx 0.45

，

cos 27 ° \approx 0.89

，

tan 27 ° \approx 0.50

，

\sqrt{3} \approx 1.73

）

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13、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P$ 是 $A C$ 延长线上一点，连接 $P B$ ，使 $∠ P B C = ∠ A$ ．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、过点 $C$ 作 $C D ⊥ P B$ ，垂足为 $D$ ，若 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $A B = 8$ ，求 $C D$ 的长．

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14、每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：

A班
B班
平均数
8.2
$a$
中位数
8
8.5
众数
$b$
8
方差
1.56
0.84
根据以上信息，解答下列问题．

(1)、补全条形统计图，并直接写出表中 $a$ ， $b$ 的值： $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？

(3)、为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）

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15、先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x}) \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

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16、计算： $2 sin 30 ° - {(π - 3.14)}^{0} + \sqrt{9}$ ．

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17、令 $y = a x^{m} + (2 a + 1) x^{m - 1} + 1$ ，其中 $m$ 为整数， $a$ 为常数且 $a \neq 0$ ．
（1）若 $m = 0$ 时， $y$ 是关于 $x$ 的反比例函数，则 $a =$ ．
（2）下列结论正确的是．（填写正确结论的序号）
①若 $y$ 是关于 $x$ 的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
②若 $y$ 是关于 $x$ 的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
③若 $y$ 是关于 $x$ 的二次函数，则其与一次函数 $y = a x + 1$ 的图象一定有两个不同的交点．

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18、如图，要测算池塘两端 $A$ ， $B$ 之间的距离，先在地面上取一点 $C$ ，然后通过测量分别找到 $A C$ 和 $B C$ 的中点 $D$ ， $E$ ，并测得 $D E$ 的长，就可测算池塘两端 $A$ ， $B$ 之间的距离．若 $D E$ 的长为10米，则池塘两端 $A$ ， $B$ 之间的距离是米．

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19、平面直角坐标系中，点 $A (3, 2)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A_{1}$ 的坐标为．

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长度为半径画弧，交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，再分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 为半径画弧．两弧在 $∠ B A C$ 内相交于点 $F$ ，作射线 $A F$ 交边 $B C$ 于点 $G$ ，若 $C G = 4$ ，下列结论正确的是（）

A、 $∠ C A G = ∠ B$ B、 $A C = B G$ C、点 $G$ 到 $A B$ 的距离为4 D、 $∠ B = 30 °$

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	A班	B班
平均数	8.2	$a$
中位数	8	8.5
众数	$b$	8
方差	1.56	0.84