相关试卷

1、已知△ABC的三边长分别为a、b、c ，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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2、下列各数不能整除 $2^{32} - 1$ 的是（）

A、3 B、5 C、7 D、17

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3、先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} - 4 (x^{2} + 3 x) + 4$ ．
解：把 $x^{2} + 3 x$ 看作一个整体，令 $x^{2} + 3 x = a$ ，则
原式 $= a^{2} - 4 a + 4$ ，
$= {(a - 2)}^{2}$ ，
$= {(x^{2} + 3 x - 2)}^{2}$ ．
上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题：

(1)、因式分解： $(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4$ ；

(2)、若 $x^{2} + 8 x - 5 = 0$ ，求 $(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)$ 的值；

(3)、请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．

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4、材料1：将多项式乘法 $(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q$ 从右到左使用，即 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ，可以帮助我们因式分解．
例如，分解因式： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 2) (x + 3)$
材料2：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ ．
解：将“ $x + y$ ”看成一个整体，设 $x + y = A$ ，则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2}$
再将“ $A$ ”还原，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$ ．

(1)、根据材料 $1$ ，分解因式： $x^{2} - 3 x - 4$ ；

(2)、结合材料 $1$ 和材料 $2$ ，分解因式： ${(x - y)}^{2} + 5 (x - y) + 4$ ．

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5、因式分解：

(1)、 $3 a^{2} - 12 a b + 12 b^{2}$ ；

(2)、 ${(x^{2} + 9)}^{2} - 36 x^{2}$ ．

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6、把下列各式因式分解

(1)、 $25 a^{2} - 80 a + 64$

(2)、 ${(x^{2} + 4)}^{2} - 16 x^{2}$

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7、若 $a - b = 1$ ， $a b = 6$ ，求 $a^{3} b - 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值．

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8、小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是．

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9、将 $□ a^{2} + b^{2}$ 因式分解的结果为 $- (2 a - b) (2 a + b)$ ，那么“ $□$ ”表示的数是．

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10、下列因式分解不正确的是（）

A、 $x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y)$ B、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$ C、 $2 a^{2} b - 4 a b = a b (2 a - 4)$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

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11、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ B、 $x^{2} + 3 x + 2 = x (x + 3) + 2$ C、 $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ D、 $15 x^{3} y^{2} = 3 x^{3} \cdot 5 y^{2}$

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12、把 $x^{2} + x - 6$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 $(x - 1) (x + 6)$ B、 $(x + 1) (x - 6)$ C、 $(x + 2) (x - 3)$ D、 $(x - 2) (x + 3)$

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13、用提公因式法分解 $4 x^{2} y - 6 x y$ 时，应提出的公因式为（）

A、2 B、 $x y$ C、 $2 x y$ D、 $12 x^{2} y$

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14、已知：通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到代数恒等式是____，基于此，请解决以下问题：

(1)、若x+y＝3，x²+y²＝7，求xy的值；

(2)、若（2025﹣m）（2026﹣m）＝12，求（2025﹣m）²+（2026﹣m）²的值．

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15、小辰对多项式x²﹣2xy+y²﹣9进行因式分解，采用的方法如下：x²﹣2xy+y²﹣9＝（x﹣y）²﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．根据以上方法，解答下列问题：

(1)、分解因式：ax+ay+bx+by＝；

(2)、已知a ， b ， c是△ABC的三边长，且满足a²﹣b²﹣ac+bc＝0，试说明△ABC是等腰三角形．

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16、先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A ，则：
原式＝A²+2A+1＝（A+1）² ．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）² ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解：（x﹣y）²+2（x﹣y）+1＝；

(2)、证明：无论a ， b取何值时，（a²b²﹣4a）（a²b²﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．

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17、利用平方差公式计算： $\frac{2^{2} - 1^{2}}{3} + \frac{4^{2} - 3^{2}}{7} + \frac{6^{2} - 5^{2}}{11} + \dots + \frac{202 4^{2} - 202 3^{2}}{4047}$ 的结果为．

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18、如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝3²﹣1² ， 16＝5²﹣3² ，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（）

A、17687 B、17688 C、17689 D、17670

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19、某中学组织学生开展“行走高明”研学活动，在密码闯关环节中，同学们发现这样一条信息：a﹣b ， x﹣y ， x+y ， a+b ， x²﹣y² ， a²﹣b²分别对应下列六个字：荷、山、水、明、城、江（分别代表高明的荷城、皂幕山、沧江水、明城镇、西江新城、西江）．现将（x²﹣y²）a²﹣（x²﹣y²）b²因式分解，结果呈现的信息是（）

A、山水城 B、明荷江 C、山水明荷 D、江山明荷

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20、定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如4＝2²﹣0² ， 12＝4²﹣2² ， 20＝6²﹣4² ，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（）

A、最小的“豫数”是2 B、32是“豫数” C、28是“豫数” D、所有“豫数”都是6的倍数

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