相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 边上（不与 $A$ 、 $B$ 重合）的动点，过点 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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2、用配方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 8$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 12$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 12$

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3、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \div a = a^{2}$ B、 $a^{2} \div a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{7} - a^{3} = a^{4}$ D、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$

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4、下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图1， $A C ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ， $A B = 10$ ， $B E = 8$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动时（不与 $A, B$ 重合），点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，满足 $C Q = \frac{6}{5} A P$ ，连接 $P Q$ ．当 $P$ 为 $A B$ 中点时， $Q$ 恰好与点 $E$ 重合．

(1)、求 $A C$ 的长．

(2)、如图2，若 $∠ C = ∠ B$ ，点 $P$ 运动到 $A B$ 中点时，延长 $P E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，求证： $P F ⊥ C D$ ．

(3)、如图3，连接 $B Q$ ，当 $△ A B Q$ 是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的 $A P$ 的长．

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6、如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

(1)、在图1中画出一个 $△ A B D$ ，使得 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等；

(2)、在图2中画出一个面积为4的直角三角形．

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7、解下列不等式（组）：

(1)、 $9 x - 1 > 7 x + 3$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x < x + 2 ① \\ \frac{x + 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{5} ② \end{array}$

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8、通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型理解】
（1）如图①， $△ A B C$ ， $△ A D E$ 共顶点A， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连 $B D 、 C E$ ．由 $∠ B A C - ∠ D A C = ∠ D A E - ∠ D A C$ ，得 $∠ B A D = ∠ C A E$ ．又 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，可以推理得到 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，进而得到 $B D =$ ______， $∠ A B D =$ ______．
【问题研究】
（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作 $P D ⊥ a$ ，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形 $P D E$ ，过点E作 $E B ⊥ P E$ ，交b于点B，在a上截取 $D A = B E$ ，连 $A B$ ． $△ P A B$ 即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．
（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

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9、如图，在 $△ A B C$ 中．

(1)、如图1，若 $A C = 6 \sqrt{2}, A B = 2, ∠ A = 45 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2， $∠ A = 45 °$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外的一点，连接 $C D, B D$ ，且 $C D = C B, ∠ A B D = ∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A C$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，请写出 $B D, A B, A C$ 之间的数量关系，并给出证明；

(3)、如图3， $∠ C A E = 45 °, ∠ C = 90 °$ ，作 $A P$ 平分 $∠ C A E$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，过 $E$ 点作 $E M ⊥ A P$ 交 $A P$ 的延长线于点 $M$ ，点 $K$ 为直线 $A C$ 上的一个动点，连接 $M K$ ，过 $M$ 点作 $M N ⊥ M K$ ，且始终满足 $M N = M K$ ，连接 $A N$ ， $A C = 2$ ，请直接写出 ${(A N + M N)}^{2}$ 的最小值．

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10、在等边 $△ A B C$ 外侧作直线 $A P$ ，点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点为 $D$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ，其中 $C D$ 交直线 $A P$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ P A B = 30 °$ ，则 $∠ A C E =$ _________；

(2)、如图2，若 $60 ° < ∠ P A B < 90 °$ ，请补全图形，判断由线段 $A B$ ， $C E$ ， $E D$ 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

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11、如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ，点E，F在 $A C$ ， $B C$ 上．

(1)、求证： $D E = D F$ ．

(2)、连结 $E F$ ，则 $B F 、 A E 、 E F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边AB上的高线，且 $A B = 13 ， B C = 12$ ．求：

(1)、 $A C$ 的长．

(2)、 $C D$ 的长．

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13、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D, ∠ A D C = 90 °, ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $B D = 7 \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的长为．

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14、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D E = D G$ ， $△ A D G$ 和 $△ A E D$ 的面积分别为60和42，则 $△ D E F$ 的面积为．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 36 °$ ．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线 $D E$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点F，G．以G为圆心， $G C$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点H，连接 $A G$ ， $A H$ ．则 $∠ H A B =$ ．

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16、已知 $a 、 b 、 c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 70 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，E是 $B C$ 的中点，连接 $E D$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、 $20^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $55^{\circ}$ D、 $70^{\circ}$

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①利用尺规在 $B C ， B A$ 上分别截取 $B E ， B D$ ，使 $B E = B D$ ；②分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；③作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $△ B C G$ 的面积为 $4$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、无法确定 B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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19、已知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（）

A、3 B、 $4.5$ C、3或 $4.5$ D、无法确定

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20、如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D是 $A C$ 上一点， $A B = A D$ ．

(1)、如图一，在线段 $A C$ 上有一点E，使得 $C B = C E$ ，则 $∠ E B D =$ ______°；

(2)、如图二，在线段 $A B$ 上有一点F，且 $∠ F D C = ∠ D B C + 135 °$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ．
①求 $∠ F D B$ ；
②求 $F B$ 的长．

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