相关试卷

1、“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， E ， F$ 分别是直线 $B C ， C D$ 上的点．

(1)、如图1，若 $A B ⊥ C B ， A D ⊥ C D ， E$ ， $F$ 分别在线段 $B C$ ， $C D$ 上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E ， D F$ 之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长 $C B$ 到点 $G$ ，使 $B G = D F$ ．连接 $A G$ ，先证 $△ A B G$ 与 $△ A D F$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A E G$ 的全等，可得到 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段 $E F$ ， $B E$ ， $F D$ 之间的数量关系为 ___________．

(2)、如图2，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别在线段 $C B$ ， $D C$ 的延长线上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E ， D F$ 之间的数量关系，并请说明理由．

(3)、如图3，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ 不变，点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，若 $E F = B E + D F$ ，试探究 $∠ E A F$ 与 $∠ B A D$ 的数量关系，并说明理由．

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2、图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．

(1)、观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含 $a ， b$ 的式子表示）

(2)、嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为 $(2 a + b) (a + 2 b)$ 的大长方形，需要图2中的 $A ， B ， C$ 三种纸片各多少张？

(3)、如图3，将两个正方形如图摆放，点 $H$ 与点 $C$ 重合，点 $E 、 G$ 分别在 $D C 、 B C$ 的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差．

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3、小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏．将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数，那么爸爸获胜；如果是偶数，那么小华获胜．（指针指到分界线上则重转）

(1)、转完转盘后，指针指向数字2的概率是多少？

(2)、这个游戏公平吗？请你说明理由，如果不公平，怎样修改游戏规则，可以使游戏公平？

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4、如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2, ∠ C = ∠ D$ ．

(1)、试判断 $B D$ 与 $C E$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $∠ A = 35 °$ ，求 $∠ F$ 的度数．

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5、如图，三角形 $A B C$ 中， $B C = 8$ ， $A B = 6$ ，点A到 $B C$ 边的距离为3．

(1)、点C到 $A B$ 边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段；

(2)、求点C到边 $A B$ 的距离．

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6、如图， $A B = D F$ ， $A C = D E$ ， $B E = C F$ ．求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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7、某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是（精确到0.1）．
投篮次数
10
100
1000
10000
投中次数
9
89
910
9002
频率
0.90
0.89
0.91
0.90

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8、计算 $m^{8} \cdot m^{2}$ 的结果是．

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9、如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =$ （）

A、 $105 °$ B、 $135 °$ C、 $120 °$ D、 $115 °$

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10、若 $x^{2} + 4 x + m$ 是一个完全平方式，那么 $m$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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11、如图，已知 $A B = A D$ ，下列所给条件能证明 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ B C A = ∠ D C A$ C、 $B C = D C$ D、 $A C = A C$

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12、下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$

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13、下列事件中，属于随机事件的是（）

A、抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上 B、在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球 C、任意三角形的内角和为180° D、太阳从东方升起

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14、如图，在矩形 ABCD 中， $A B = 4, B C = \sqrt{3} A B$ ，点 E 是 BC 边上的动点，连接 AE，点 B 关于 AE 的对称点为点 F，连接 EF，作射线 CF 交直线 AD 于点 G．

(1)、【动手操作】如图 1，若点 G 与点 A 重合时，请在图 1 中补全图形，并直接写出线段 EF 与线段 AB 的数量关系；

(2)、【深入探究】如图 2，若 AE // CG，探究线段 EF 与线段 AB 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展探究】若点 E 在射线 BC 上运动，当 E，F，D 三点共线时，求△ECF 的面积．

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15、定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的 2 倍，则称这个点为“友好点”，如：A（1，3），B（-2，-6），C（0，0）等都是“友好点”．已知二次函数 y = -x² - x + c（c 为常数）．

(1)、若该函数经过点（1，-6），求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；

(2)、在（1）的条件下，当 t ≤ x ≤ t + 2 时，函数的最小值为 -6，求 t 的值；

(3)、在 -3 < x < 1 的范围内，若二次函数 y = -x² - x + c 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出 c 的取值范围．

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16、2026 年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．

(1)、某电商平台数据显示，该毛绒小马 2 月份销量为 20 万件，4 月份销量已增至 24.2 万件．求该电商平台“哭哭马”2 月到 4 月销量的月平均增长率．

(2)、义乌某商铺以每件 10 元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为 30 元/件时，日销量为 80 件．售价每降低 1 元，日销量可增加 10 件．
① 为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到 1800 元，则每件应降价多少元？
② 若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付 2 元快递费，且线上日销量固定为 100 件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？最大利润是多少？

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17、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0, x > 0)$ 的图象相交于点 A (1， 6)，B (3， n) 两点．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出关于 x 的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在点 C（点 C 在直线 AB 的右上方）和点 D，使得四边形 ACBD 为正方形，若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，已知四边形 ABCD 是菱形，延长 BC 到点 E 使 CE = CB，延长 DC 到点 F 使 CF = CD，连接 BD，BF，ED，EF．

(1)、求证：四边形 BDEF 是矩形；

(2)、连接 EA，若 EA 平分 ∠BED，菱形 ABCD 的边长为 4，求矩形 BDEF 的面积．

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19、计算

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} \times 2 - \sqrt{8}$

(2)、解方程：x²-2x-3=0

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20、如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，CD ⊥ AB 于 D 点，BC = 1．点 P 是直线 BC 上一动点，连接 AP．若点 E 是 AP 的中点，则 DE 的最小值是．

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投篮次数	10	100	1000	10000
投中次数	9	89	910	9002
频率	0.90	0.89	0.91	0.90