相关试卷

1、如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系，单位长度为1 $dm$ ．从y轴上的点P处伸出两枝麦穗，这两枝麦穗分别看作抛物线 $L_{1}$ （点P与点M之间的部分）： $y = - x^{2} + t x + t + 1$ （ $0 \leq x \leq m$ ）和抛物线 $L_{2}$ （点P与点N之间的部分）： $y = - (x - 2) (x - n)$ （ $0 \leq x \leq 2$ ），其中m，n都为常数，且 $n < 0$ ．抛物线 $L_{1}$ 的顶点距离麦秆的水平距离为1 $dm$ ，点M到地面的距离为 $\frac{7}{4} dm$ ．

(1)、在图2中画出x轴，并求抛物线 $L_{1}$ 的解析式；

(2)、求m的值；

(3)、①若将抛物线 $L_{1}$ 经过平移得到抛物线 $L_{2}$ ，通过计算写出一种合理的平移路径；
②一只小蚂蚱原地竖直向上最高能跳到2 $dm$ 的高度，当它从点O出发，沿x轴正方向前进a $dm$ 后，恰好能跳到麦穗 $L_{1}$ 或 $L_{2}$ 上，直接写出a的取值范围．

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2、
综合与实践
【模型】如图1， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，且O为 $A C$ 的中点．
（1）求证： $△ A O B ≌ △ C O D$ ；
【情境】有一块边缘不规则的余料，其中 $A B ∥ C D$ ，点E、F分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $E F$ 平分不规则图形 $A B C D$ 的面积，现计划作出一条最短的分割线 $M N$ ，使 $M N$ 仍可以平分不规则图形 $A B C D$ 的面积，下面是淇淇解决问题的思路．
如图2，淇淇的思路如下：
①作 $E F$ 的垂直平分线与 $E F$ 交于点O；
②过点O作 $O M ⊥ A B$ ，垂足为M；
③延长 $M O$ 与 $C D$ 交于点N， $M N$ 即为所求．
【探究】
（2）在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线 $M N$ （保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的 $M N$ 符合要求．

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3、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - 4 x + k$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{2} x - k$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与直线 $x = k$ 分别交于 $C$ ， $D$ 两点，其中 $k \neq 0$ ．

(1)、当直线 $l_{1}$ 经过点 $(1, - 2)$ 时：
①求直线 $l_{2}$ 的解析式；
②平行于 $x$ 轴的直线 $y = a$ 交直线 $l_{1}$ 于点 $P$ ，交直线 $l_{2}$ 于点 $Q$ ，且点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧．当 $P Q = 4$ 时，求 $a$ 的值．

(2)、设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 交于点 $M$ ，直接写出 $\frac{S_{△ A M B}}{S_{△ C M D}}$ 的值．

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4、从2025年春晚的《秧 $BOT$ 》到2026年春晚的《武 $BOT$ 》，我国生产制造的机器人通过高精度技术实现精准动作，展现了“人机共舞”的盛宴．已知某型号机器人小腿 $A B = 50$ ，大腿 $B C = 50$ ，上半身（含头部） $C D = 80$ ，手臂 $E F = 100$ ，现将该型号机器人应用于篮球运动，图1和图2分别展示了投篮过程中的起跳和投篮动作．

(1)、如图1，该机器人在投篮起跳时腿部弯曲，使 $∠ A B C = 120 °$ ， $D C$ 的延长线经过点A，且 $D C$ 与地面 $M N$ 相互垂直，求此时机器人头顶D到地面 $M N$ 的距离；

(2)、机器人由（1）的状态起跳后投篮，如图2，点A，B，C，D，E在同一直线上，且始终保持 $D C$ 与地面 $M N$ 互相垂直，此时 $∠ C E F = 143 °$ ，点A到地面 $M N$ 的高度为30，点F到地面的高度为270，通过以上数据求机器人头部 $D E$ 的长．（参考数据： $\tan 37 °$ 取 $\frac{3}{4}$ ， $\tan 53 °$ 取 $\frac{4}{3}$ ）

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5、随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生对于无人机技术的了解情况，某地区开展了无人机技术科普竞赛，现随机抽取40名学生的竞赛成绩（满分10分）并进行统计，得到了如图所示的不完整的条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全条形统计图，抽取学生的竞赛成绩的中位数是分，众数是分；

(2)、求抽取学生的竞赛成绩的平均数；

(3)、若共有800名学生参加本次科普竞赛，成绩不低于9分的均可获得“无人机科普小先锋”称号，试估计此次科普竞赛获得此称号的学生人数．

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6、河北省教育厅制定《全面提升中小学生体质健康水平若干措施》，为确保学生每天综合体育活动时间不低于2小时，某校计划购进一批羽毛球拍和羽毛球．已知一副羽毛球拍 $20$ 元，一个羽毛球5元，商店有两种优惠方案：
方案一：买一副羽毛球拍送一个羽毛球；
方案二：按总价的 $92 %$ 付款．
现该校计划购买4副羽毛球拍，x个 $(x > 4)$ 羽毛球．

(1)、当 $x = 12$ 时，通过计算判断选择哪种方案更优惠；

(2)、要使选择方案二比方案一更优惠，求x的最小值．

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7、因式分解或化简

(1)、因式分解： $a^{2} - 4 a + 4 =$ ；

(2)、因式分解： $2 a^{2} - 8$ ；

(3)、直接写出 $\frac{2 a^{2} - 8}{a^{2} - 4 a + 4}$ 的化简结果．

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8、已知P，Q两个点在数轴上做匀速运动，其中点Q比点P晚出发 $2 s$ ，程序从点P出发时开始计时记录了同一时刻两点对应在数轴上的位置（如下表）．当点P到点Q的距离为20时，点P所对应的数为．
时间t（ $s$ ）
0
4
……
点P在数轴上的位置
10
$- 6$
……
点Q在数轴上的位置
$- 8$
2
……

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9、传统文化北宋时期的《营造法式》是我国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合．如图是利用2个正方形和4个形状、大小完全一样的菱形设计的图案，则 $\tan ∠ B A C$ 的值为．

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10、化简： $2 a + 3 b - 2 (a - b) =$ ．

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11、2026年“中国水周”（3月22日－28日）的主题为“国家水网世纪画卷”．某地提出“科学饮水，共享健康”的倡议，如图是水杯的截面图，已知 $A B ∥ C D$ ，线段a表示一根吸管，若 $∠ 1 = 124 °$ ，则 $∠ 2 =$ $°$ ．

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12、将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（）

A、 $\frac{81}{5}$ B、 $\frac{63}{4}$ C、15 D、 $\frac{72}{5}$

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13、已知 $a > 0$ ，若关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，且 $A B = A C$ ，要求仅用直尺作出圆周角 $∠ B P C$ 的平分线．
嘉嘉说：“对于图1的情况，连接 $A P$ ， $P A$ 即为 $∠ B P C$ 的平分线．”
淇淇说：“对于图2的情况， $A O$ 的延长线与 $⊙ O$ 交于点Q，连接 $P Q$ ， $P Q$ 即为 $∠ B P C$ 的平分线．”
对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（）

A、只有嘉嘉说的对 B、只有淇淇说的对 C、嘉嘉和淇淇说的都对 D、嘉嘉和淇淇说的都不对

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15、跨学科根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（ $m^{2}$ ）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为 $8 \times 10^{- 4} m^{2}$ 时，测得地面所受压强为 $6 \times 10^{5} Pa$ ，要使地面所受压强减小 $1.2 \times 10^{5} Pa$ ，则该重物与地面的接触面积应调整为（）

A、 $4 \times 10^{- 3} m^{2}$ B、 $4 \times 10^{- 4} m^{2}$ C、 $1 \times 10^{- 3} m^{2}$ D、 $1 \times 10^{- 4} m^{2}$

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16、已知代数式 $\frac{1}{x - 3}$ 比 $\frac{2}{3 - x}$ 的值大1，则 $x ＝$ （）

A、－5 B、－3 C、4 D、6

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17、有三张正面分别写有 $- 2$ ， $\frac{1}{2}$ ， 2三个数字的卡片，除正面的数字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，则取出的这两张卡片上的数字恰好互为相反数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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18、如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列运算结果等于 $a^{10}$ 的是（）

A、 ${(- a^{5})}^{2}$ B、 $- {(- a^{5})}^{2}$ C、 ${(- a^{2})}^{5}$ D、 $- {(a^{2})}^{5}$

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20、如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若 $∠ α = 100 °$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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时间t（ $s$ ）	0	4	……
点P在数轴上的位置	10	$- 6$	……
点Q在数轴上的位置	$- 8$	2	……