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1、对于线段 $A B$ 与点 $M$ （点 $M$ 不在线段 $A B$ 上）给出如下定义：点 $N$ 为线段 $A B$ 上任意一点，如果线段 $M N$ 的长度有最小值，那么称这个最小值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“劣距”，记作 $d_{1} [点 M, 线段 A B]$ ；如果线段 $M N$ 的长度有最大值，那么称这个最大值为点 $M$ 与线段 $A B$ 的“优距”，记作 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ ．
如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A B = 3$ ．

(1)、 $d_{1} [点 C, 线段 A B] =$ ， $d_{2} [点 C, 线段 A B] =$ ；

(2)、点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ．若点 $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上，且 $d_{2} [点 P, 线段 A B$ ]是 $d_{1}$ [点 $P$ ，线段 $A B$ ]的2倍，直接写出线段 $A P$ 的长度；

(3)、过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ ．若点 $M$ 在直线 $E F$ 上， $d_{1} [点 M, 线段 A B] < \sqrt{2}$ ，直接写出 $d_{2} [点 M, 线段 A B]$ 的取值范围．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，射线 $A M$ 交边 $B C$ 于点 $M$ ，且 $∠ B A M = 30 °$ ，点 $B$ 关于直线 $A M$ 的对称点为点 $D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、证明： $∠ C A D = ∠ C B D$ ；

(3)、用等式表示 $C A$ ， $C B$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ A E D$ ；

(2)、求 $C D$ 的长．

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4、《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为 $120 c m$ ，宽为 $60 c m$ ，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是 $5 : 3$ ，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

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5、下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一证明：如图，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ．
方法二证明：如图，在 $A B$ 上截取 $B D = B C$ ，连接 $C D$ ．

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6、如图，已知点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上， $A C = D F$ ， $B F = C E$ ， $A C ∥ D F$ ．
求证： $A B ∥ D E$ ．

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7、如图，在 $R t △ A B C$ 中． $∠ A C B = 90 °$ ．求作线段 $A B$ 的中点 $D$ ．小明发现作线段 $B C$ 的垂直平分线 $l$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，点 $D$ 即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点 $D$ （保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $D C$ ．
∵ $l$ 垂直平分 $B C$ ，
∴ $D C =$ （）（填推理依据）．
∴ $∠ B = ∠ D C B$ ．
∵ $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，
∴ $∠ A + ∠ B = 9 0^{∘}$ ， $∠ D C B + ∠ A C D = 9 0^{∘}$ ．
∴ $= ∠ A C D$ ．
∴ $D A = D C$ ．
∴ $D A = D B$ ．
∴点 $D$ 为线段 $A B$ 的中点．

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8、在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球．

(1)、先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A ．
①如果事件A是必然事件，则m的值为．
②如果事件A是随机事件，则m的值为．

(2)、先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的n＋3个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是 $\frac{1}{5}$ ，求n的值．

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9、先化简，再求值：已知 $x = \sqrt{2} + 1$ ，求代数式 $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x + 1})$ 的值．

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10、解方程： $\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x - 1} = 1$ ．

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11、计算： $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ ．

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12、计算： $\sqrt{27} + | 1 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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13、如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．

(1)、计算： $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} =$ ；

(2)、按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + \dots + S_{99} + S_{100} =$ ．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 和点 $P$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，连接 $P B$ ， $P E$ ，则 $P B + P E$ 的最小值为．

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15、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D H ⊥ A C$ ，垂足为 $H$ ．若 $D H = 2, A B = 6$ ，则 $△ A B D$ 的面积是．

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16、如图，线段 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ， $O C = O B$ ，添加一个条件证明 $△ A O B ≌ △ D O C$ ，这个条件可以是．（写出一个即可）

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17、某邮政局推出新款纪念封，所有纪念封均采用形状、大小、质地都相同的卡片，背面分别印有“珍爱”、“捍卫”、“和平”的字样，正面完全相同．现将如下4张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“和平”字样的可能性大小是．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B E$ 于点 $H$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．给出下面四个结论：
① $D G = D F$ ；② $∠ A G E = ∠ A E G$ ；③ $∠ B A F = ∠ B F A$ ；④ $G D + D C = A B$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②③④

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19、下面是“作 $∠ A O B$ 的平分线”的尺规作图方法：
①如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $O A, O B$ 于点C ， D；
②分别以C ， D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线 $O P$ ， OP就是∠AOB 的角平分线.

上述方法通过判定 $△ O P C ≌ △O P D$ ，得到 $∠ C O P = ∠ D O P$ ，其中判定 $△ O P C ≌ △O P D$ 的依据是（）

A、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C、三边分别相等的两个三角形全等 D、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

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20、如图，用三角尺作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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