相关试卷

1、【问题再现】如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 的平分线 $A E$ 与外角 $∠ C B D$ 的平分线 $B E$ 交于点 $E$ ．若 $∠ C = 90 °$ ，求 $∠ E$ 的度数．
【问题解决】

(1)、小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程：
$∵ A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E$ 平分 $∠ C B D$ ，
$∴ ∠ B A C = 2 ∠ B A E$ ， $∠ C B D = 2 ∠ D B E$ ．
$∵ ∠ D B E =$     ▲         $+ ∠ B A E$ ，
$∴ 2 ∠ D B E = 2 ∠ E + 2 ∠ B A E$ ．
$∵ ∠ C B D =$     ▲         $+ ∠ B A C$ ，
$∴ ∠ E = \frac{1}{2} ∠ C =$     ▲        度．
将小明的过程补充完整．

(2)、【应用】
如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 的平分线 $A E$ 与外角 $∠ C B D$ 的平分线 $B E$ 交于点 $E$ ．设 $∠ C$ 的度数为 $m$ ，求 $∠ E$ 的度数．（用含 $m$ 的代数式表示）

(3)、【拓展】
如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ C$ 为锐角， $∠ B A C$ 内部的射线 $A E$ 与外角 $∠ C B D$ 内部的射线 $B E$ 交于点 $E$ （ $∠ E$ 为锐角）．若 $∠ C A E = \frac{1}{4} ∠ B A C$ ， $∠ C B E = \frac{1}{4} ∠ C B D$ ，设 $∠ C$ 的度数为 $m$ ，则 $∠ E$ 的大小为．（用含 $m$ 的代数式表示）

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2、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是高， $A E 、 B F$ 是角平分线且交于点 $O$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ A B C = 70 °$ ．

(1)、求 $∠ D A C$ 的度数；

(2)、求 $∠ B O E$ 的度数．

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3、如图，已知 $∠ B D C + ∠ E F C = 180 °$ ， $∠ D E F = ∠ B$ ．

(1)、求证： $∠ A E D = ∠ A C B$ ；

(2)、若D、E、F分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $C D$ 边上的中点， $S_{四边形 A D F E} = 6$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

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4、如图，已知 $△ A B C$ 的内角 $∠ A = α$ ，分别作内角 $∠ A B C$ 与外角 $∠ A C D$ 的平分线，两条平分线交于点 $A_{1}$ ；作 $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ；…；以此类推得到点 $A_{2026}$ ，则 $∠ A_{2026}$ 的大小为．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 60 °$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ B O C = 140 °$ ，其中 $B O_{1}$ 平分 $∠ A B O$ ， $C O_{1}$ 平分 $∠ A C O$ ， $B O_{2}$ 平分 $∠ A B O_{1}$ ， $C O_{2}$ 平分 $∠ A C O_{1}$ ， $B O_{n}$ 平分 $∠ A B O_{n - 1}$ ， $C O_{n}$ 平分 $∠ A C O_{n - 1}$ ， …，以此类推，则 $∠ B O_{1} C = 100 °$ ， $∠ B O_{2025} C =$ ．

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6、如图， $∠ B O F = 100 °$ ，则 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F =$ ．

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7、如图， $S_{△ A B C} = 1$ ，若 $S_{△ B D E} = S_{△ D E C} = S_{△ A C E}$ ，则 $S_{△ A D E} =$ ．

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8、如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ ， $A B$ 上， $C D = 2 A D$ ， $A E = B E$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，若 $B C = 10$ ， $S_{四边形 A D O E} = 7$ ，则 $A B$ 长的最小值为．

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9、一副三角板如图放置，将三角板 $A D E$ 绕点A逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，使得三角板 $A D E$ 的一边所在的直线与 $B C$ 垂直，则 $α$ 的度数为（）

A、 $30 °$ 或 $45 °$ 或 $60 °$ B、 $15 °$ 或 $60 °$ 或 $150 °$ C、 $15 °$ 或 $30 °$ 或 $45 °$ D、 $45 °$ 或 $60 °$ 或 $150 °$

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10、如图， $R t △ A B C$ 向右平移后得到 $R t △ D E F$ ，点B ， E ， C ， F在同一直线上， $D E$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点E ， M ，若 $M E = \frac{9}{4}$ ， $B C = 4$ ，阴影部分面积为 $\frac{27}{8}$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、一副直角三角尺叠放如图所示，现将含 $45 °$ 的三角尺 $A D E$ 固定不动，将含 $30 °$ 的三角尺 $A B C$ 绕顶点 $A$ 顺时针转动 $α ° (0 < α < 180)$ ，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（）

A、15或45 B、45或135 C、60或105 D、以上都有可能

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = m$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C D$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ； $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ； $∠ A_{2021} B C$ 和 $∠ A_{2021} C D$ 的平分线交于点 $A_{2022}$ ，则 $∠ A_{2022} =$ （）

A、 $\frac{m}{2^{2021}}$ B、 $\frac{m}{2^{2022}}$ C、 $\frac{2022}{2^{m}}$ D、 $\frac{2021}{2^{m}}$

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13、如图， $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ，点D、E分别是 $C B$ 、 $A B$ 上的点， $C D = 2 B D$ ， $A E = B E$ ，连接 $A D$ 、 $C E$ 交于点F ．当四边形 $B E F D$ 的面积为7时，则线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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14、认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在 $△ A B C$ 中，O是 $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线 $B O$ 和 $C O$ 的交点，通过分析发现 $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ，理由如下：
∵ $B O$ 和 $C O$ 分别是 $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的角平分线
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A C B$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$
∵ $∠ A B C + ∠ A C B = 180 ° - ∠ A$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A) = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ A$
∴ $∠ B O C = 180 ° - (∠ 1 + ∠ 2) = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} ∠ A) = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$

(1)、探究2：
如图2中，O是 $∠ A B C$ 与外角 $∠ A C D$ 的平分线 $B O$ 和 $C O$ 的交点，试分析 $∠ B O C$ 与 $∠ A$ 有怎样的关系？请说明理由．

(2)、探究3：
如图3中，O是外角 $∠ D B C$ 与外角 $∠ E C B$ 的平分线 $B O$ 和 $C O$ 的交点，则 $∠ B O C$ 与 $∠ A$ 有怎样的关系？请说明理由．

(3)、探究4：
如图4中，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = m °$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C D$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ； $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ；…； $∠ A_{2021} B C$ 和 $∠ A_{2021} C D$ 的平分线交于点 $A_{2022}$ ，则 $∠ A_{2022} =$ ．

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15、综合与实践

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ，若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B P C =_$ ．

(2)、如图2， $△ A B C$ 的内角 $∠ A C B$ 的平分线与 $△ A B C$ 的外角 $∠ A B D$ 的平分线交于点 $E$ ．其中 $∠ A = α$ ，求 $∠ B E C$ 的度数 $($ 用 $α$ 表示 $∠ B E C)$ ．

(3)、如图3， $B Q$ 平分外角 $∠ C B M$ ， $C Q$ 平分外角 $∠ B C N$ ．试确定 $∠ B Q C$ 与 $∠ A$ 的数量关系，并说明理由．

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16、 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $A E$ 为 $B C$ 边上的高．

(1)、如图1，若 $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，请求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、如图2（ $∠ B < ∠ C$ ），试说明 $∠ D A E$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的数量关系；

(3)、如图3，延长 $A C$ 到点 $F$ ， $∠ C A E$ 和 $∠ B C F$ 的平分线交于点 $G$ ，请直接写出 $∠ G$ 的度数．

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17、已知：在 $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别为点E、F ，且 $D E = D F$ ．求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

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18、如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点E ，若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ A D E = 47 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为 $°$ ．

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19、小华将一副三角板（ $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ E = 45 °$ ）按如图所示的方式摆放，其中 $A B ∥ E F$ ，则 $∠ 1$ 的度数为．

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20、若a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三边的长，化简 $| a + b - c | + | a - b - c | =$ ．

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