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1、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - (3 x + y) (- y + 3 x) - 5 y^{2}] \cdot (- \frac{1}{2} x)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + |y - 2| = 0$ ．

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2、计算：

(1)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

(2)、 ${(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + (\frac{2}{3}) \times (- 1.5)$

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3、下述四个结论中：其中正确的是（填序号）．
①若 $- 5 b^{n} a^{2 m}$ 与 $8 a^{4} b^{2}$ 是同类项，则 $m = n$ ；
②若关于x的多项式 $3 (a x^{2} - x + 1) - (6 x^{2} + 5 x + a^{2})$ 的运算结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数项为 $- 1$ ；
③已知2个多项式分别为： $A = 3 x^{2} + 2 x + 1$ ， $B = x^{2} + 2 x - 1$ ，无论x取何值，一定都有 $A > B$ ；
④若 $a + b + c = 0$ ， $a b c \neq 0$ ，则 $\frac{- b - c}{|a|} - \frac{|b|}{a + c} + \frac{c}{|c|} + \frac{|a b c|}{a b c}$ 的结果只有一种．

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4、两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 $S_{1}$ ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $S_{2}$ ．当 $S_{1} + S_{2} = 60$ 时，则图3中阴影部分的面积 $S_{3} =$ ．

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5、如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为 $(3 a + 3 b)$ 、长为 $(a + 4 b)$ 的大长方形，小明需要准备C类卡片张．

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6、运用简便方法计算： $110^{2} - 109 \times 111$ ＝．

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7、若 $a - b = 3$ ， $a^{2} - b^{2} = 12$ ，则 $a + b =$ ．

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8、 $2^{5} \div 2^{3} =$ ．

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9、如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边 $A B$ 、 $A D$ 的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图②中阴影部分面积为 $S_{2}$ ，当 $n - m = 3$ 时， $S_{1} - S_{2}$ 的值为（）

A、6 B、15 C、18 D、30

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10、已知 $a + 2 b - 3 c - 2 = 0$ ，则 $3^{a} \cdot 9^{b} \div 27^{c}$ 的值为（）

A、27 B、9 C、6 D、1

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11、若 $M = (a + 3) (a - 4)$ ， $N = (a + 2) (2 a - 5)$ ， a为有理数，则 $M - N$ 的值是（　　）

A、为正数 B、为负数 C、为非正数 D、不能确定

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12、下列等式中能够成立的是（　　）

A、 ${(m + n)}^{2} = m^{2} + n^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + a b + b^{2}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ D、 ${(a + 2 b)}^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$

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13、若代数式 $x^{2} - (k + 1) x + 25$ 是完全平方式，则 $k$ 的值为（）

A、 $9$ B、 $- 11$ C、 $9$ 或 $- 11$ D、 $11$ 或 $- 9$

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14、下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（）

A、 $(- a - b) (- b + a)$ B、 $(x y + z) (- x y + z)$ C、 $(- 2 x - y) (2 x + y)$ D、 $(0.5 x - y) (- y - 0.5 x)$

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15、下列各式计算正确的是（）

A、 $(- 3 a^{n + 1} b) \cdot (- 2 a) = 6 a^{n + 1} b$ B、 $(- 6 a^{2} b) \cdot (- a b^{2}) \cdot \frac{1}{2} b^{3} c = 3 a^{3} b^{6} c$ C、 $(- 4 a b) \cdot (- a^{2} c) \cdot \frac{1}{2} a b^{2} = 2 a^{3} b^{3} c$ D、 $(a^{n} b^{3} c) \cdot (- \frac{1}{3} a b^{n - 1}) = - \frac{1}{3} a^{n + 1} b^{3 n + 1} c$

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16、下列运算正确的是（）

A、 $2 a - 3 a = - 1$ B、 $- 4 a^{3} \cdot a^{2} = - 4 a^{6}$ C、 ${(- 3 a)}^{3} = - 9 a^{3}$ D、 $(a - b) (- a - b) = b^{2} - a^{2}$

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17、水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（）米

A、 $0.4 \times 10^{- 4}$ B、 $- 4 \times 10^{9}$ C、 $4 \times 10^{- 10}$ D、 $- 4 \times 10^{10}$

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18、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是线段 $A B$ 上的动点，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点E顺时针方向旋转 $90 °$ 得到线段 $E F$ ， $E F$ 交 $B C$ 于点K，连接 $D F$ 交 $B C$ 于点H．

(1)、【问题解决】如图， $∠ A D E + ∠ C D H =$ ______度，写出图中一对相似三角形：________；

(2)、【问题探究】连接 $B F$ ，试探究线段 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系；

(3)、【深入研究】当点E为 $A B$ 的中点时，求 $\frac{B K}{C H}$ 的值．

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19、截至2025年底，我国新能源汽车保有量已超4300万辆，在此背景下，充电遮阳棚作为提升充电体验与设备安全的重要设施，正快速普及．如图1是某电动汽车弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点A为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点B到地面的距离 $O B$ 为2.36米，且点A和点B的水平距离为8米，以地面为x轴，以过点B垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

(1)、求图1中抛物线的函数关系式；

(2)、现有一辆电动汽车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是汽车的截面图，已知汽车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆汽车是否可以完全停进遮阳棚内；

(3)、为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架由两段钢梁组成，其中一段连接点O与点A，然后在棚顶上某处取点C，在钢梁 $O A$ 和棚顶之间竖直安装第二段钢梁 $C D$ ．当第二段钢梁 $C D$ 的长度为1.89米时，请通过计算说明应将钢梁 $C D$ 安装在距离立柱 $O B$ 水平距离是多少米的位置上？

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20、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B = A C$ ，过点A作 $A E ∥ B C$ 交 $B O$ 的延长线于点E， $B E$ 交 $A C$ 于点D．

(1)、在不添加字母或辅助线的情况下，写出一个与 $∠ A B D$ 相等的角：_______， $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 的数量关系是________；

(2)、试判断 $A E$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、若 $sin ∠ O A B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $B C = 6$ ，求 $A E$ 的长．

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