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1、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A B = A C$ ，过点D作 $D E ∥ A C$ ，交 $A B$ 于E点．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求 $A D$ 的长．

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2、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C$ ， $E A$ 平分 $∠ D E B$ ；

(1)、试说明： $B E = B A$ ；

(2)、若 $D E = 1$ ， $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，请判断 $△ B C E$ 的形状，并说明理由．

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3、等边三角形的高长为3，则面积为．

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4、在直角三角形中，斜边及其中线之和等于 $12 c m$ ，那么斜边长是 $c m$ ．

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5、如图，圆柱的高为8cm，底面半径为 $\frac{6}{π}$ cm，一只蚂蚁从点 $A$ 沿圆柱外壁爬到点 $B$ 处吃食，要爬行的最短路程是（）

A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

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6、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $B C = 3, ∠ A = 30 °$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、6 B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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7、如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、如图，已知 $O A = O B ， B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，点 $C$ 对应的数是 $- 2 ， B C = 1$ ，那么数轴上点 $A$ 所表示的数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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9、直角三角形中，斜边长为 $10 c m$ ，周长为 $24 c m$ ，则它的面积为（）

A、 $12 c m^{2}$ B、 $24 c m^{2}$ C、 $18 c m^{2}$ D、 $30 c m^{2}$

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10、下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三条边的是（）

A、 $2 ， 2 ， 3$ B、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{8}$ C、 $4 ， 6 ， 8$ D、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$

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11、[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
……
【实践探究】

(1)、计算： $\sqrt{1 - \frac{13}{49}} =$ ， $\sqrt{1 - \frac{17}{81}} =$ ；

(2)、按照你所发现的规律，猜想： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}} =$ （n为正整数）；

(3)、【迁移应用】
计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \dots \times \sqrt{1 - \frac{199}{10000}}$ ．

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12、实数 $a ， b$ 在数轴上的位置如图所示．

(1)、化简： $\sqrt{a^{2}} =$ ， $|a + b| =$ ．

(2)、先化简再求值： $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + \sqrt{{(b - 2)}^{2}}$ ，其中 $a 是 \frac{1}{4}$ 的一个平方根， $b$ 是3的算术平方根．

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13、已知一块长为 $7 d m$ ，宽为 $5 d m$ 的长方形木板，如图．

(1)、与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为 $d m$ ；

(2)、采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 $8 {d m}^{2} 和 18 {d m}^{2}$ 的正方形木板？试说明理由．

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14、化简：

(1)、 $\sqrt{32};$

(2)、 $\sqrt{72};$

(3)、 $\sqrt{\frac{12}{7}};$

(4)、 $\sqrt{1.5};$

(5)、 $\frac{1}{\sqrt{5}} .$

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15、如果 $a b > 0, a + b < 0$ ，那么下面各式正确的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ B、 $\sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = b$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} \times \sqrt{\frac{b}{a}} = 1$ D、 $\sqrt{- b} \times \sqrt{\frac{a}{b}} = - \sqrt{a}$

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16、我们规定两数a、b之间的一种运算，记作 $[a, b]$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $[a, b] = c$ ；例如 $2^{3} = 8$ ，记作 $[2,8] = 3$ ，

(1)、根据以上规定求出： $[4,64] =$ ； $[2024,1] =$ ；

(2)、小明发现 $[5,3] + [5,4] = [5,12]$ 也成立，并证明如下
设： $[5,3] = x$         $[5,4] = y$
$∴ 5^{x} = 3$         $5^{y} = 4$
$∵ 5^{x} \cdot 5^{y} = 5^{x + y} = 12$
$[5,12] = x + y$
$∴ [5,3] + [5,4] = x + y = [5,12]$
根据以上证明，请计算 $[2024,6] + [2024,7] = [2024$ ， ]

(3)、猜想 $[4,14] - [4,7] = [4$ ，         ▲        ]，并说明理由．

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17、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 3} = 1$ 的解是非正数，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m \leq 3$ B、 $m \leq - 3 且 m \neq - 6$ C、 $m > 3 且 m \neq 6$ D、 $m \geq 3 且 m \neq 6$

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18、已知 x，y 满足： ${(x + y)}^{2} = 5$ ， ${(x - y)}^{2} = 41$ ；求 $x^{3} y + x y^{3}$ 的值．

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19、若 $x y = 3 ， x + y = - 4$ ，则 $x^{2} y + x y^{2} =$

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20、如图，数轴上有 $A ， B ， C ， D$ 四点，点 $D$ 对应的数为 $x$ ，已知 $O A = 7 ， O B = 5 ， C D = 3$ ， $P ， Q$ 两点同时从原点 $O$ 沿着数轴正方向以 $v_{P}$ 和 $v_{Q}$ 的速度运动，且 $v_{P} < v_{Q}$ ．点 $Q$ 到点 $D$ 后立即朝数轴的负方向运动，在 $C$ 处与点 $P$ 相遇，相遇后点 $P$ 也立即朝着数轴的负方向运动，且 $P ， Q$ 两点的速度都变为原来的 $\frac{1}{2}$ ．当点 $Q$ 返回到原点 $O$ 时，点 $P$ 恰好在 $B$ 处．

(1)、当 $P ， Q$ 两点相遇时，求点 $P$ 前进的路程 (用含 $x$ 的式子表示)．

(2)、求 $P ， Q$ 两点相遇前速度的比值 $\frac{v_{P}}{v_{Q}}$ (用含有 $x$ 的式子表示)．

(3)、当点 $Q$ 到 $A$ 处时，问点 $P$ 是否已经过原点 $O$ ，请说明理由．

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