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1、定义一种新运算 $\int_{b}^{a_{n}} \cdot x^{n - 1} d x = a^{n} - b^{n}$ ，例如 $\int_{n}^{k_{2}} 2 d x = k^{2} - n^{2}$ ，若 $\int_{5 m}^{m} - x^{- 2} d x = - 2$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{2}{5}$ C、2 D、 $\frac{2}{5}$

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2、若x是不等于1的实数，我们把 $\frac{1}{1 - x}$ 称为x的差倒数，如2的差倒数是 $\frac{1}{1 - x} = - 1, - 1$ 的差倒数为 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ，现已知 $x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2}$ 是 $x_{1}$ 的差倒数， $x_{3}$ 是 $X_{2}$ 的差倒数， $X_{4}$ 是 $x_{3}$ 的差倒数， $⋯$ ，依此类推，则 $X_{2022}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、-3 D、 $\frac{4}{3}$

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3、 $P$ 为正整数，现规定 $P! = P (P - 1) (P - 2) ⋯ \times 2 \times 1$ ，那么5！＝．

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4、用＂☆＂定义新运算，对于任意实数 $a, b$ ，都有 $a ☆ b = \frac{\sqrt{b^{2} + 1}}{| a - b |}$ ，例如， $7 ☆ 4 = \frac{\sqrt{4^{2} + 1}}{| 7 - 4 |} = \frac{\sqrt{17}}{3}$ ，那么 $- 3 ☆ 7 =$ ；

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5、现定义一种新运算：如果 $a^{x} = N$ ，那么 $l o g_{a} N = x$ ．如由 $2^{3} = 8$ 可知 $l o g_{2} 8 = 3$ ，由 $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ 可知 $l o g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ．那么 $l o g_{2021} 1 + l o g_{5} \frac{1}{5} =$ （）

A、2020 B、0 C、1 D、-1

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6、定义：a是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1, - 1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ．已知 $a_{1} = - \frac{1}{3}, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数， $⋯ ⋯$ ，依此类推，则 $a_{2021} =$ ．

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7、对于任意的有理数a，b，如果满足 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ ，那么我们称这一对数a，b为＂相随数对＂，记为 $(a, b)$ ．若 $(m, n)$ 是＂相随数对＂，则 $3 m + 2 [3 m + (2 n$ －1）］＝（）

A、-2 B、-1 C、2 D、3

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8、规定图表示运算a-b-c，图形表示运算x-z-y+w.则+=（直接写出答案）．

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9、对于有理数a，b定义运算＊如下： $a * b = (a + b) a - b$ ，则 $(- 3) * 4 =$ ．

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10、在实数范围内定义一种新运算＂＠＂，其运算规则为： $a @ b = 1 - a b$ ，如： $2 @ 5 = 1 - 2 \times 5 = - 9$ ，则 $2^{2200} @ {(- \frac{1}{2})}^{2021}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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11、定义：若 $1 0^{x} = N$ ，则 $x = l o g_{10} N$ ， $x$ 称为以10为底的 $N$ 的对数，简记为1gN，其满足运算法则： $1 g M + 1 g N = 1 g (M \cdot N) (M > 0, N > 0)$ ．例如：因为 $1 0^{2} =$ 100，所以 $2 = 1 g 100$ ，亦即 $1 g 100 = 2; 1 g 4 + 1 g 3 = 1 g 12$ ．根据上述定义和运算法则，计算 $(1 g 2)$ $^{2} + l g 2 \cdot 1 g 5 + 1 g 5$ 的结果为（）

A、5 B、2 C、1 D、0

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12、用※定义一种新运算：对于任意实数 $m$ 和 $n$ ，规定 $m * n = m^{2} n -$ $m n - 3 n$ ，如： $19 * = 1^{2} \times 2 - 1 \times 2 - 3 \times 2 = - 6$ ．则 $(- 2) * \sqrt{3}$ 结果为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律已知 $i^{2} = - 1$ ，那么 $(\sqrt{2} + i) (\sqrt{2} - i) =$

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14、如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是__.

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15、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P为线段BC上的一动点，且和B，C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为.

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16、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为．

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17、如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为．

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18、如图，已知 $△ A B C$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $△ A B C ~ △ A D E, A B = 2 A D, ∠ B A D = 4 5^{°}, A C$ 与DE相交于点F，则 $△ A E F$ 的面积等于（结果保留号）．

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19、如图，正方形ABCD中， $A B = 12, A E =$ $\frac{1}{4} A B$ ，点 $P$ 在BC上运动（不与B，~C重合），过点 $P$ 作 $P Q ⊥ E P$ ，交CD于点 $Q$ ，则CQ的最大值为．

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20、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，CD为AB边上中线，BE⊥CD于点E，连接AE交BC于点F，若EF＝2 $\sqrt{2}$ ，则CF＝.

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