相关试卷

1、已知 $x + 3 y = 3$ ，则 $5 - 2 x - 6 y$ 的值是（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2、据新华社2025年10月9日报道，2025年国庆中秋假期，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动，全国文化和旅游市场总体平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，假日8天，全国国内出游 $8.88$ 亿人次，较2024年国庆节假日7天增加 $1.23$ 亿人次．将 $8.88$ 亿用科学记数法表示应为（）

A、 $88.8 \times 10^{7}$ B、 $8.88 \times 10^{8}$ C、 $8.88 \times 10^{9}$ D、 $0.888 \times 10^{10}$

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3、已知：抛物线 $y = x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1$ 经过坐标原点，且当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、结合图像写出 $y < 0$ 时，对应的 $x$ 的取值范围．

(3)、设点 $A$ 是该抛物线上位于 $x$ 轴下方的一个动点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $D$ ，再作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $D C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，当 $B C = 1$ 时，直接写出矩形 $A B C D$ 的周长．

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4、某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．

(1)、当售价定为30元时，一个月可获利多少元？

(2)、当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

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5、已知抛物线 $y = (m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 1$ ．

(1)、求证：该抛物线与x轴有两个交点；

(2)、求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；

(3)、当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．

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6、已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3.$

(1)、用配方法求它的顶点坐标和对称轴；

(2)、求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图；

(3)、当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？

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7、如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．

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8、如图，二次函数 $y = a x^{2} + x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A$ 点坐标为 $(- 2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$

(1)、求出这个二次函数解析式；

(2)、求出这个二次函数图象的对称轴和 $B$ 点坐标．

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9、解不等式组： $\{\begin{cases} 5 (x - 2) \leq 3 x + 6 \\ \frac{x - 5}{2} < 1 + 4 x \end{cases}$ ．

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10、计算： $|\sqrt{2} - 1| + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{8} + {(π - 3.14)}^{0} .$

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11、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则 $a$ $0$ ， $b$ $0.$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为．

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13、抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ 的顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而减小．

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14、两个相似三角形的周长比是 $3 : 2$ ，则面积比为，对应高的比为．

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15、若点 $A (a, b)$ 在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上，则代数式 $2 a b - 4$ 的值为( )

A、 $- 1$ B、1 C、9 D、6

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16、如图， $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $D E$ 分别交边 $A B$ 、 $A C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点，若 $A D : D B = 2 : 3$ ， $A E = 4$ ，则 $E C$ 的值为（）

A、6 B、4 C、10 D、3

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17、【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， D是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

(1)、【方法探索】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 $A D$ 到点E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．这样就能把线段 $A B, A C, 2 A D$ 集中在 $△ A B E$ 中．请根据小明的方法思考：
①补全图形，由已知和作图能得到 $△ A D C ≅ △ E D B$ 的理由是______；
A. $SSS$ ；B. $SAS$ ；C. $AAS$ ；D. $ASA$
②利用三角形的三边关系可以确定 $A E$ 的取值范围，从而可以得到 $A D$ 的取值范围是______．

(2)、【问题解决】
由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
①如图2，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $A E$ 是 $△ A B D$ 的中线， $C D = A B$ ， $∠ B D A = ∠ B A D$ ，证明 $A C = 2 A E$ ；
②如图3， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点A分别向外作 $A E ⊥ A B$ 、 $A F ⊥ A C$ ，使得 $A E = A B$ ， $A F = A C$ ，直接写出线段 $E F$ 与 $A D$ 的关系．

(3)、【问题拓展】
我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
①如图4，已知 $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以 $A B, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ ，正方形 $A C F G$ ，连接 $E G$ ．求证： $△ A B C$ 与 $△ A E G$ 为偏等积三角形；
②如图5，将 $△ A B C$ 分别以 $A B, B C, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ ，正方形 $B C F G$ ，正方形 $A C M N$ ，连接 $D G, F M, N E$ ，则图中有______组偏等积三角形．

(4)、【综合运用】
如图6，四边形 $A B E D$ 是一片绿色花园， $△ A C B$ 、 $△ D C E$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° (0 < ∠ B C E < 90 °)$ ，已知 $B E = 60 m$ ， $△ A C D$ 的面积为 $2100 m^{2}$ ，计划修建一条经过点C的笔直的小路 $C F$ ，点F在 $B E$ 边上， $F C$ 的延长线经过 $A D$ 的中点 $G$ ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，垂足分别是 $E ， F ， B E = C F$ ．
求证：

(1)、 $D E = D F$ ；

(2)、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图，求作 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点E；（保留作图痕迹）

(2)、由（1）可知点E到 $A B, B C$ 的距离相等，依据是______；

(3)、取 $B C$ 边的中点D，连接 $A D$ ，画出 $A D$ 边上的高 $B F$ ；

(4)、若 $△ A B C$ 的面积是20， $A D = 8$ ，则 $B F =$ _____．（直接写出结果）

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20、（1）计算： $(2 a - 3 b) (a + 2 b)$ ；
（2）先化简，再求值： $(2 x + 1)^{2} - (2 x + 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = - \frac{1}{4}$ ．

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