相关试卷

1、一元二次方程 x²=x 的解为（）

A、x=0 B、x=1 C、x₁=0，x₂=1 D、x₁=x₂=1

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2、综合与探究
【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”.如：图1四边形ABCD中， $∠ B = ∠ C$ ，则四边形ABCD为邻等角四边形.

(1)、【理解】以下平面图形中，是邻等角四边形的有 $. ($ 填序号 $)$
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

(2)、【应用】如图2，▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE并延长，交AD边于点F，若 $C E = C D$ ，求证： $A B \cdot D F = E F \cdot A D .$

(3)、【延伸】如图3，矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $B E = \frac{3}{2}$ ，过点E作直线EG交对角线AC于点F，交边AD所在直线于点G，若四边形ABEF为“邻等角四边形”，求FG的长.

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3、综合与实践

小型停车场设计与收费问题
素材1	设计要求：矩形停车场，其布局如图.已知 $A D = 50 m$ ， $A B = 30 m$ ，阴影部分设计为停车位，面积为 $800 m^{2}$ ，车位总数为50个，其余部分均为宽度为x米的道路.
素材2	收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.
素材3	数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值.方法如下： $∵ a^{2} - 2 a + 5 = a^{2} - 2 a + 1 + 4 = (a - 1)^{2} + 4$ ，由 $(a - 1)^{2} \geq 0$ ，得 $(a - 1)^{2} + 4 \geq 4$ ； $∴$ 代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值是 $4 .$

(1)、任务1：求道路的宽是多少米？

(2)、任务2：求当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？

(3)、任务3：请直接写出该停车场月租金收入最高为元，此时每个车位月租金为元.

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4、如图，在▱ABCD中， $A E ⊥ B C$ 于点E，延长BC至点F，使 $C F = B E$ ，连接DF，AF与DE交于点 $O .$

(1)、求证：四边形AEFD为矩形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $O E = 4$ ， $B F = 10$ ，求AE的长.

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5、 2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”，十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会.若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的师生共有人，请补全条形统计图，并标出相应的数据；

(2)、在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是度；

(3)、小鹏同学报名参加志愿服务工作，请问他恰好选择“检录服务”项目的概率为；

(4)、本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有 $60 %$ 的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？

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6、如图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上.

(1)、在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；

(2)、在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；

(3)、在图③中的线段AB上找点C，使得 $C B = 2 A C .$

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7、小颖在用公式法解方程 $3 x^{2} - 5 x = 2$ 时，呈现了如下解答过程，老师判了错误.
解：将原方程化为一般形式，得：
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ …第一步；
这里 $a = 3$ ， $b = - 5$ ， $c = 2$ …第二步；
$∵ b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \times 3 \times 2 = 1 > 0 .$ …第三步；
$∴ x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$ …第四步；
即 $x_{1} = \frac{2}{3}$ ， $x_{2} = 1$ …第五步.
①小颖从第（）步开始出错 $($ 填序号“一、二、三、四、五”中其中一个 $)$ ；
②请用公式法将正确求解方程的过程写出来.

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8、解方程：

(1)、 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ；

(2)、 $(2 x - 1)^{2} = 4 x - 2 .$

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9、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C E ⊥ A B$ ，点D为CB上一点， $D B = 4 C D$ ，连接AD交CE于点M，作 $△ A C D$ 关于AD的对称图形 $△ A C^{'} D$ ，若 $D C^{'} / / C E$ ，则ME为.

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10、如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $△ A B F$ 的位置.过点A作 $A H ⊥ E F$ 于点H，连接CH，若 $A D = 3$ ， $D E = 1$ ，则CH的长为.

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11、在欧几里得的《几何原本》中提到，形如 $x^{2} + a x = b^{2} (a > 0, b > 0)$ 的方程的图解法是：如图，以 $\frac{a}{2}$ 和b为直角边作 $R t △ A B C$ ，再在斜边上截取 $C D = \frac{a}{2}$ ，则AD的长为所求方程的正根.若关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x = 225$ ， $C D ： A D = 8 ： 9$ ，那么m的值为( )

A、10 B、16 C、18 D、20

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12、如图，CD是 $R t △ A B C$ 斜边AB上的中线，过点C作 $C E ⊥ C D$ 交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断 $△ C E B$ 与 $△ C A D$ 相似的是( )

A、 $∠ C B A = 2 ∠ A$ B、点B是DE的中点 C、 $C E \cdot C D = C A \cdot C B$ D、 $\frac{C E}{C A} = \frac{B E}{A D}$

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13、小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具 $($ 如图 $1)$ ，测得对角线 $A C = 10 \sqrt{2} c m$ ，将正方形学具变形为菱形 $($ 如图 $2)$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，则图2中对角线AC的长为( )

A、20cm B、 $10 \sqrt{6} c m$ C、 $10 \sqrt{3} c m$ D、 $10 \sqrt{2} c m$

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14、电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为( )

A、 $3 + 3 (1 + x) + 3 (1 + x)^{2} = 10$ B、 $3 (1 + x)^{2} = 10$ C、 $3 + 3 (1 + x)^{2} = 10$ D、 $3 (1 + x) = 10$

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15、透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘制的一个图案，已知 $A B / / C D / / E F$ ， $\frac{A C}{C E} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{B D}{D F}$ 的值为( )

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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16、下列方程是一元二次方程的是( )

A、 $x^{3} + x - 1 = 0$ B、 $2 x - 3 = 3 (x + 7)$ C、 $2 x + \frac{1}{x} + 1 = 0$ D、 $x^{2} = 2 (2 - x)$

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17、下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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18、在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF=6时，我们称点P是该二次函数图象的T~6生长点.

(1)、二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象如图所示.
①当 $t = \frac{9}{2},$ 请说明该函数图象是否有T~6生长点.
②已知P（m，n）是该函数图象的T~6生长点，则n的取值范围是.

(2)、已知二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + h - 3$ （h为常数），若P（3，5）是该函数图象的T~6生长点，求h的值.

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19、已知二次函数 $y = x^{2} - (a + 2) x + 2 a + 1,$

(1)、若a=4，求函数的对称轴和顶点坐标.

(2)、若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值.

(3)、若抛物线过点（-1，y₀），且对于抛物线上任意一点（x₁ ， y₁）都有y₁≥y₀ ，若点A（m，n），B（2-m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p>-8.

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20、如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y₂=-x+b的图象交于A，C两点.

(1)、求b的值；

(2)、求点C坐标并求出△ABC的面积；

(3)、根据图象，直接写出当y₁>y₂时x的取值范围.

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