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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A B$ 中点， $F$ 是 $A C$ 上一动点，连接 $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 折叠得 $△ D E F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $D$ 恰好落在线段 $B C$ 上时，求证： $E F ∥ B C$ ；

(2)、如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ，当点 $D$ 恰好落在线段 $A C$ 上时，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长度；

(3)、如图 $3$ ，若 $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $A F = 3$ ， $C F = 5$ ．连接 $A D$ 、 $B D$ 、 $C D$ ，当 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 面积相等时，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形．

(1)、如图 $1$ ，在机灵三角形 $A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $A D$ 为该三角形的机灵线， $C D = 1$ ， $A C = 4$ ，则 $B D$ 长为___________， $∠ B$ 的度数为___________；

(2)、如图 $2$ ， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $D$ 为斜边 $B C$ 中点，连接 $A D$ 并延长至点 $E$ ．当 $B E = \sqrt{3}$ 时， $C E = \sqrt{7}$ ．求证： $B D$ 是 $△ A B E$ 的机灵线；

(3)、如图 $3$ ， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．若 $△ B C D$ 是机灵三角形，且 $A C$ 为机灵线，求 $C D$ 的长．

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3、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4 cm$ ， $A C = 3 cm$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高线．

(1)、如图1，求 $A D$ 的长；

(2)、如图2，当 $A E$ 为 $△ A B D$ 的角平分线时，求 $D E$ 的长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D、E为 $B C$ 边上两点， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $∠ B = 55 °$ ， $∠ 2 = 20 °$ ，求 $∠ A E D$ 的度数．

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5、图1、图2、图3均是 $6 \times 8$ 的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．

(1)、在图1中的格点上确定一点D，并作出 $△ D C B$ ，使得 $△ D C B ≌ △ A B C$ ；

(2)、在图2中的格点上确定一点E，并作出线段 $B E$ ，使得 $B E$ 为 $△ A B C$ 的中线；

(3)、在图3中的格点上确定一点F，并画出 $△ A C F$ ，使 $△ A C F$ 是以 $A C$ 为底的等腰三角形（画出一个即可）．

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6、已知，如图， $A B ∥ D E$ ， $A C = D F$ ， B，E，C，F在同一条直线上，且 $∠ A = ∠ D$ ，求证： $B E = C F$ ．

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7、解下列不等式（组）．

(1)、 $5 x - 6 \geq 2 x$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + 1 \leq 3 x + 2 \\ \frac{x + 1}{2} < \frac{1 - x}{6} + 1 \end{matrix}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B =60 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上， $C D$ 与 $A E$ 交于点 $F$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ C D$ 于点 $G$ ．若 $△ A C E ≌ △ C B D$ ，则 $∠ E A G$ 的度数为．

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9、某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了道题；

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10、已知 $△ A B C$ 和 $△ D C B$ 中， $∠ A = ∠ D$ ，若要使 $△ A B C ≌ △ D C B$ ，可添加一个条件为；

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11、在图1所示的 $3 \times 3$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为 $1$ ．经探究发现，此八边形可按图 $2$ 的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形 $①$ ．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图 $2$ 中的阴影部分），得到一个大正方形 $A B C D$ ，发现该正方形中间的空白部分 $②$ 也是个正方形．记正方形 $①$ 的边长为 $m$ ，则大正方形 $A B C D$ 的面积为（　　）

A、 $7 - m^{2}$ B、 $8 + m^{2}$ C、 $9 - m^{2}$ D、 $10 + m^{2}$

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12、已知关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x > \frac{1}{2} x - 1 \\ 2 x + 1 \leq m \end{array}$ 的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　）

A、 $1 < m \leq 3$ B、 $1 \leq m < 3$ C、 $3 < m \leq 5$ D、 $3 \leq m < 5$

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13、等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰 $△ A B C$ 的周长为 $20$ ，其中一边长为 $6$ ，则它的“和谐比”为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{6}{7}$

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， $A D$ 和 $A E$ 分别为 $△ A B C$ 的高线和角平分线，那么 $∠ D A E$ 的度数为（　　）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $10 °$

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15、如图，下面是利用尺规作图的方式过直线外一点作已知直线平行线的方法： $①$ 在直线 $A B$ 上任取一点 $Q$ ，过点 $P$ ， $Q$ 作直线 $P Q$ ； $②$ 以 $Q$ 为圆心，适当长度为半径画弧，交直线 $A B$ 、直线 $P Q$ 于点 $E$ ， $F$ ，再以 $P$ 为圆心，相同长度为半径画弧，交直线 $P Q$ 于点 $M$ ； $③$ 以 $M$ 为圆心，截取 $E F$ 长度为半径画弧，与弧交于点 $N$ ，过点 $P$ ， $N$ 作直线，即为所求的直线．在这一过程中，证明 $∠ F Q E = ∠ M P N$ 时用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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16、已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　）

A、 $x < 2$ B、 $x \leq 3$ C、 $x > 2$ D、 $2 < x \leq 3$

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17、对于命题“如果 $a^{2} = b^{2}$ ，那么 $a = b$ ”，能说明该命题为假命题的反例是（　　）

A、 $a = 0$ ， $b = 0$ B、 $a = 1$ ， $b = 1$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ D、 $a = 1$ ， $b = - 1$

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18、现有两根木棒，长度分别为 $2cm$ 和 $4cm$ ，若要搭成一个三角形，则第三根木棒的长度可以为（　　）

A、 $1cm$ B、 $2cm$ C、 $4cm$ D、 $6cm$

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19、国产人工智能模型 $DeepSeek$ 、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ （ $a > 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $b$ 与 $a$ 的关系；

(2)、如图①，当 $a = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 在抛物线上， $S_{△ P B C} = 4$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图②，若抛物线上一点 $Q$ 关于直线 $B C$ 的对称点是 $△ A O C$ 的外心 $M$ ，求 $a$ 的值．

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