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1、已知关于x $x$ 的方程 (a²－4a＋5)x²＋2ax＋4=0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值.你认为谁的判断是正确的，并简述理由.

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2、如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．

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3、解方程∶

(1)、 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} = (2 x - 1) (x - 2)$

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4、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $B C = 5$ ， $∠ B = 60 °$ ，连接 $A C$ ．
（Ⅰ）线段 $A C$ 的长为；
（Ⅱ）点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上， $E F$ 与 $A C$ 相交于点 $G$ ， $H$ 为 $C D$ 的中点．若 $A E = C F = 1$ ，则线段 $G H$ 的长为．

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5、把方程 $(3 x - 2) (x + 1) = 8$ 化为 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 的形式为．

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 12$ ，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，点M 在线段 $A C$ 上，且 $A M = 2$ ， P 为线段 $B D$ 上的一个动点，连接 $M P$ ，则 $M P + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、8 D、9

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是边长5的菱形，对角线 $A C, B D$ 的长度分别是一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + 8 m = 0$ 的两实数根， $D H$ 是 $A B$ 边上的高，则 $D H =$ （）

A、7 B、3 C、9.6 D、4.8

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8、若关于 $x$ 的方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是(　　)

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a ＜ \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a ＜ \frac{1}{4}$

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9、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（　　）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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10、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x - 6 = 0$ 的解为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = b$ ，则代数式 ${(2 a + b)}^{2026}$ 的值为（）

A、 $5^{2026}$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

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11、下列方程中，一定是关于 $x$ 的一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $2 y^{2} - y - 3 = 0$ C、 $5 x - 2 x^{2} + 7 = 0$ D、 $m x^{2} - 2 x = x^{2} + 1$

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12、我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 4 = {(x - y)}^{2} - 2^{2} = (x - y - 2) (x - y + 2)$ ．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： $x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = {(x + 1)}^{2} - 2^{2} = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x - 1) (x + 3)$
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为 $(x + 7)$ 与 $(x - 1)$
例如： $x^{2} + 6 x - 7$
分析：
解：原式 $= (x + 7) (x - 1)$
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） $4 x^{2} + 4 x - y^{2} + 1$
②（拆项法） $x^{2} - 6 x + 8$
③ $x^{2} - 5 x + 6 =$ ________．
（2）已知： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 的三条边， $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 a - 4 b - 6 c + 17 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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13、阅读下面材料：
将形如 $\frac{c x + d}{a x + b}$ 的分式表示成一个整式与一个分式和（或差）的形式，可以先观察分母的特征，设法用含有分母的代数式表示分子再变形解决问题．
例如 $\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x + 1 + 1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}$ ， $\frac{2 x - 1}{x + 1} = \frac{2 (x + 1) - 2 - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ ．
解决问题：

(1)、已知 $\frac{x + 3}{x - 2} = 1 + \frac{m}{x - 2}$ ，则m=______．

(2)、已知 $\frac{m x + 2}{x + 1} = m + \frac{n}{x + 1}$ ，用含m的代数式表示n.．

(3)、已知 $m > 0 ， x > 1$ ，直接写出 $\frac{2 m x - m}{x - 1}$ 与 $2 m$ 的大小关系．

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14、先化简： $\frac{x + 3}{x - 2} \div (x + 2 - \frac{5}{x - 2})$ ，再选一个自己喜欢的整数 $x$ 代入求值．

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15、计算：

(1)、 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div \frac{a - 1}{a^{2} + a}$ ；

(2)、 $\frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ ．

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16、简便方法计算：

(1)、 $3.14 \times {5.5}^{2} - 3.14 \times {4.5}^{2}$ ；

(2)、 $102^{2} + 102 \times 196 + 98^{2}$ ．

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17、把下列各式分解因式：

(1)、 $3 n (x - 2) + (2 - x)$ ；

(2)、 $4 y^{3} - 8 y^{2} + 4 y$ ．

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18、计算 ${(\frac{x^{2}}{y})}^{2} \cdot {(- \frac{y^{2}}{x})}^{3} \div {(- \frac{y}{x})}^{4} =$ ．

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19、因式分解 ${(x - 2 a)}^{2} - a (2 a - x) =$ ．

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20、若多项式 $x^{2} + a x + b$ 因式分解的结果是 $(x - 2) (x + 3)$ ，则 $a b =$ ．

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