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1、（1）求三角形的面积除了传统的方法外，还有海伦公式和秦九韶公式等，已知三角形的三边长，都可以求出三角形的面积．其中，海伦公式为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，公式中 $p$ 是三角形周长的一半．填空：
① $a = 20$ ， $b = 21$ ， $c = 29$ ， $S =$ ______；② $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{5}$ ， $c = \sqrt{6}$ ， $S =$ _____；
（2）在不知道上述公式的情况下，我们也可以通过先求三角形的高，再求面积．
如图， $△ A B C$ ， $A B = 13$ ， $B C = 14$ ， $A C = 15$ ，请你先求其中一条高，再求 $△ A B C$ 的面积．
（3）已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边长为12，求这个直角三角形的另两边长．

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2、化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} =$ ______； $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} =$ ______；

(2)、 $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} =$ ______； $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} =$ ______； $\sqrt{4 - \sqrt{15}} - \sqrt{4 + \sqrt{15}} =$ ______；

(3)、 $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2025}}$ （写出解答过程）

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3、如图， $△ A B C$ 是一张纸片， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，先将其折叠，使点 $B$ 与点 $A$ 重合，折痕是 $D E$ ，

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求重叠部分的面积．

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4、（1）如图，平面直角坐标系中，等边 $△ A B C$ 的顶点 $B$ 是原点， $C (4, 0)$ ，求点 $A$ 的坐标；
（2）如果点 $D$ 在 $y$ 轴上，且 $△ D B C$ 的面积是 $△ A B C$ 的一半，那么 $D$ 的坐标是______．

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5、（1）如果等腰直角三角形斜边长是6，那么面积是______；
（2）如图，四边形 $A B D C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 4 cm$ ， $A C = 3 cm$ ， $C D = 13 cm$ ， $B D = 12 cm$ ，求这个四边形的面积．

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6、（1）在给出的数轴上画出表示 $\sqrt{5}$ 的点；
（2）比较大小： $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ______ $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ．

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7、

(1)、 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $A B = 13$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

(2)、填空：上一问中， $A B$ 边上的高的长是．

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8、计算： $(\sqrt{8} + \sqrt{12}) + (\sqrt{18} - \sqrt{27})$

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9、数 $a$ 的两个平方根是 $2 b + 9$ 和 $b - 3$ ，则 $a - b$ 的立方根为．

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10、某位同学的卧室有25平方米，共用了64块正方形的地板砖，则每块砖的边长是米．

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11、已知点 $P (- 2, - 3)$ ，它到 $x$ 轴的距离是．

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12、如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积是( )

A、1 B、2 C、4 D、6

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13、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )

A、(3 $\sqrt{2}$ +8)cm B、10cm C、14cm D、无法确定

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14、如果三角形的三边长分别为a，b，c，且b²－c²＝a² ，那么这个三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

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15、下列数中是无理数的是（　　）

A、 $0.12 \overset{\cdot}{2} \overset{\cdot}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、0 D、 $\frac{22}{7}$

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16、估算 $\sqrt{300}$ 的值，最接近的整数是（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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17、阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题， $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100 = ？$ 经过研究，他得出这个问题的一般性结论是： $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 其中 $n$ 是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = ？$ 观察下面三个特殊的等式：① $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ；② $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；③ $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；

(1)、把①、②、③三个等式相加，则 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} =$

(2)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} =$

(3)、根据以上观察，聪明的你发现 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{2021 \times 2023} =$

(4)、根据发现的规律并用转化的数学思想计算： $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{45}$

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18、有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如表：
与标准质量的差（单位：千克）
$- 3$
$- 2$
$- 1.5$
0
1
2.5
筐数
1
4
2
3
2
8

(1)、20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？

(2)、与标准质量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？

(3)、若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？

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19、足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： $m$ ）： $+ 10$ ， $- 2$ ， $+ 5$ ， $+ 12$ ， $- 6$ ， $- 9$ ， $+ 4$ ， $- 14$ ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）

(1)、这段时间内守门员总共跑动多少米？

(2)、如果守门员离开球门线的距离超过 $10 m$ （不包括 $10 m$ ），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？守门员最后是否能回到球门线？请说明理由

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20、观察下面三行数：
$2$ ， $- 4$ ， $8$ ， $- 16$ ， $32$ ， $- 64$ ， $\dots \dots$ ；①
$4$ ， $- 2$ ， $10$ ， $- 14$ ， $34$ ， $- 62$ ， $\dots \dots$ ；②
$1$ ， $2$ ， $- 4$ ， $8$ ， $16$ ， $- 32$ ， $\dots \dots$ ；③
取每行的第 $8$ 个数，计算这三个数的和

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与标准质量的差（单位：千克）	$- 3$	$- 2$	$- 1.5$	0	1	2.5
筐数	1	4	2	3	2	8