相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 8, B C = 6, A D$ 为边 $B C$ 上的中线， $B E 是 △ A B C$ 的角平分线， $A D, B E$ 交于点F．则 $E F$ 的长为．

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2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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3、综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”．
【示例】如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 ° ， A C$ 平分 $∠ B A D$ ，则四边形 $A B C D$ 为“旋直四边形”， $A C$ 为“旋直分割线”．

(1)、【概念辨析】
用分别含有 $30 ° 或 45 °$ 的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有（填序号）；

(2)、【问题解决】
如图1，在“旋直四边形 $A B C D$ ”中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 ° ， A C$ 为“旋直分割线”．求证： ${(A D - A B)}^{2} + B C^{2} = C D^{2}$ ；

(3)、【拓展应用】
如图2，四边形 $A B C D$ 是矩形， $C E ⊥ A C ， ∠ E A C = ∠ C A D ， A E 与 B C$ 交于点 $F$ ．若 $S_{△ A C E} - S_{△ A C D} = \frac{1}{2} S_{△ A B F}$ ，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值；

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4、综合与实践

素材1

为了研究分式 $\frac{1}{x}$ 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：

x	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$\frac{1}{x}$	…	$- 0.25$	$- 0 . \dot{3}$	$- 0.5$	$- 1$	无意义	1	0.5	$0 . \dot{3}$	$0.25$	…

从表格数据观察，当 $x > 0$ 时，随着x的增大， $\frac{1}{x}$ 的值随之减小，并无限接近0；当 $x < 0$ 时，随着x的增大， $\frac{1}{x}$ 的值也随之减小．

素材2

对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： $\frac{2 x + 1}{x - 4} = \frac{2 x - 8 + 8 + 1}{x - 4} = \frac{2 x - 8}{x - 4} + \frac{8 + 1}{x - 4} = 2 + \frac{9}{x - 4}$ ．

问题解决：

(1)、任务1：

①当 $x > 0$ 时，随着x的增大， $1 + \frac{1}{x}$ 的值（增大或减小）；

②当 $x < 0$ 时，随着x的增大， $\frac{x + 2}{x}$ 的值（增大或减小）；

(2)、任务2

①当 $x > 1$ 时，随着x的增大， $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数；

②当 $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ 为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值；

(3)、任务3

若分式 $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 的值为 $m$ ，求 $m$ 的取值范围．

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5、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标都在格点上，已知 $C$ 点坐标为 $(- 2,1)$ ．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1} 与 △ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请直接写出 $B_{1}$ 的坐标 ▲ ，并画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、 $P (a, b) 是 △ A B C 的 A C$ 边上一点，将 $△ A B C$ 平移后点 $P$ 的对称点 $P^{'} (a + 2, b - 6)$ ，请画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1} 和 △ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．

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6、解不等式组 $\{\begin{matrix} 1 - x < 2 (2 x + 3) \\ \frac{5 + x}{3} \geq x + \frac{1}{3} \end{matrix}$ ，并写出满足条件的整数解．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = 4 ， C D 是 △ A B C$ 的中线，E是 $C D$ 的中点，连接 $A E 、 B E$ ，若 $A E ⊥ B E$ ，垂足为E，则 $B C$ 的长为．

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8、如图，已知在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 7$ ，对角线 $A C 和 B D$ 的和是 $20$ ，则 $△ O C D$ 的周长为．

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9、中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 16 cm 、 B D = 12 cm$ ，则菱形边长应为（）

A、 $10 cm$ B、 $12 cm$ C、 $13 cm$ D、 $24 cm$

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10、如图，直线 $y_{1} = k_{1} x + a 与 y_{2} = k_{2} x + b$ 的交点坐标为 $(4,8)$ ，则使 $y_{1} < y_{2} 的 x$ 的取值范围为（）

A、 $x > 4$ B、 $x > 8$ C、 $x < 4$ D、 $x < 8$

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11、根据图中所给的条件，能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的依据是（）

A、对角线互相平分 B、两组对边分别相等 C、一组对边平行且相等 D、两组对边分别平行

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12、如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转 $180 °$ ．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　）

A、 B、 C、 D、

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13、如果 $x > y$ ，那么下列正确的是（　　）

A、 $x + 5 < y + 5$ B、 $\frac{1}{2} x < \frac{1}{2} y$ C、 $5 x + 1 > 5 y + 1$ D、 $- 5 x > - 5 y$

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14、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $3 a b = a \cdot 3 b$ B、 $m (a + b) = m a + m b$ C、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ D、 $y^{2} - 5 y + 6 = (y - 2) (y - 3)$

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15、【问题背景】
如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A B ⊥ B D$ ．将 $△ A B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转至 $△ F B E$ ，记旋转角 $∠ A B F = α （ 0 ° < α \leq 180 °$ ），当线段 $F B 与 D B$ 不共线时，记 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1} ， △ F B D$ 的面积为 $S_{2}$ ．

(1)、【特例分析】
如图2，当 $E F$ 恰好过点 $A$ ，且点 $F ， B ， C$ 在同一条直线上时．
① $α =$ ；
②若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；

(2)、【推广探究】
某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中， $S_{1} 与 S_{2}$ 之间存在一定的数量关系，小红和小明经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
小红：如图3，过点 $E 作 E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，过点 $D 作 D G ⊥ F B$ ，交 $F B$ 的延长线于点 $G$ ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；
小明：如图4，过点 $A ， E$ 分别作直线平行于 $B E ， A B$ ，两直线交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题．
请根据以上其中的任一种思路，完成探究过程，说明 $S_{1} 与 S_{2}$ 的关系，并说明理由．

(3)、【拓展应用】
在旋转过程中，当 $S_{1} + S_{2} 为 ▱ A B C D$ 面积的 $\frac{1}{2}$ 时， $α$ 的值为．（画出图形）

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16、阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，构造方法如下：
首先将方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为 $x (x + 2) = 35$ ，然后画四个长为 $x + 2$ ，宽为 $x$ 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4$ ．因此，可得新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ ．因为 $x$ 表示边长，所以 $2 x + 2 = 12$ ，即 $x = 5$ ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

(1)、【理解应用】
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 $x^{2} - 4 x - 21 = 0 (x > 0)$ 的正确构图是． (从序号①②③中选择)

(2)、【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程 $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即 $x$ $= 1$ ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为．

(3)、【拓展应用】
一般地，对于形如 $x^{2} + a x = b$ 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 $a =$ ， $b =$ ，求得方程的正根为．

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17、某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．

(1)、若售价下降5元，每月能售出个A种商品，若售价下降 $x$ 元（ $x > 0$ ），每月能售出个A种商品；

(2)、若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价；

(3)、经销商月获利能否达到9600元？说明理由．

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18、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O ， E$ 是边 $A D$ 的中点，连接 $E O$ ，过点 $O 作 A B$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．

(1)、请用尺规作图，过点 $E 作 E F ⊥ A B 交 A B$ 于点 $F$ ，并证明四边形 $O E F G$ 是矩形；

(2)、在（1）的条件下，如果 $A C = 16 ， B D = 12$ ，求矩形 $O E F G$ 的面积．

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19、如图在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2, - 2), B (- 5, - 5), C (- 1, - 6)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出 $A_{1}$ 的坐标为 ▲ ；

(2)、请画出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若点 $M, N 是 y$ 轴上两个动点，点 $M$ 在点 $N$ 的上方，且 $M N = 1$ ，连接 $A M, C N$ ，则 $A M + C N$ 的最小值为．

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20、先化简再求值： $1 - \frac{a - 3}{a} \div \frac{a^{2} - 9}{a^{2} + 4 a}$ ，其中 $a = - 3 - \sqrt{2}$ ．

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