相关试卷

1、综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？

(1)、【分析问题】
①二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(2, m)$ 和 $(5, m)$ ，此抛物线的对称轴为直线；
②如图2，已知二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 经过点 $(0, 6)$ ，且 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 图象均经过 $(2, 0)$ 和 $(5, 0)$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是；

(2)、解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 $O$ ， $M$ 为端点的拱门表示原拱门， $E F$ 表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离 $h$ 的取值范围．

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2、小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
甲（分）
81
82
83
88
90
90
90
92
95
乙（分）
74
75
85
88
89
90
91
97
97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌
平均数
中位数
众数
甲
87.9
90
$b$
乙
87.3
$a$
97

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、从方差角度看，种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；

(3)、你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中信息写出你的理由．

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3、为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图， $A B$ 与地面平行，坐垫 $C$ 可沿射线 $B E$ 方向调节．已知 $∠ A B E = 80 °$ ，车轮半径为 $30 c m$ ，当 $B C = 70 c m$ 时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫 $C$ 离地面高度约为（）（结果精确到 $1 c m$ ，参考数据： $s i n 80 ° \approx 0.98$ ， $c o s 80 ° \approx 0.17$ ， $t a n 80 ° \approx 5.67$ ）

A、 $99 c m$ B、 $90 c m$ C、 $80 c m$ D、 $69 c m$

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4、全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 是平面内一点（不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合），连接 $B D$ ， $C D$ ， $∠ B D C = 90 °$ ，连接 $A D$ ．将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 翻折，得到 $△ A D G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、如图1，点 $D$ 在 $∠ A B C$ 内部， $B D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $B D$ 上一点，且 $B F = C D$ ，连接 $A F$ ．
①求证： $△ A B F ≌ △ A D G$ ；
②若 $A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C D = 1$ ，求 $△ B C G$ 的周长．

(2)、如图2，点 $D$ 在 $∠ B A C$ 的内部，试探究 $B D$ ， $A D$ ， $C G$ 之间的数量关系并说明理由．

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6、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $C$ 为 $⊙ O$ 外一点，且 $∠ B C D = 90 °$ ， $2 ∠ A + ∠ A B C = 180 °$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，求阴影部分的面积．

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7、爱布服装厂给行知中学用同样的布料生产 $A$ ， $B$ 两种不同款式的服装，每套 $A$ 获服装所用的布料米数相同，每套 $B$ 款服装所用的布料米数相同．若5套 $A$ 款服装和6套 $B$ 款服装需用布料19米，若7套 $A$ 款服装和4套 $B$ 款服装需用布料20米．

(1)、求每套 $A$ 款服装和每套 $B$ 款服装需要布料各多少米？

(2)、行知中学需要 $A$ ， $B$ 两款服装共400套，所用布料不超过740米，那么爱布服装厂最少需要生产多少套 $B$ 款服装？

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8、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ．下列结论：
① $a b c > 0$ ；
② $3 a + c < 0$ ；
③ $a + b \leq a m^{2} + b m$ （实数 $m \neq 1$ ）；
④若方程 $a x^{2} + b x + c = n$ 有一根为 $- 2$ ，则不等式 $a x^{2} + b x + c ＜ n$ 的解集是 $- 2 < x < 4$ ；
⑤若 $a x_{1}^{2} - b x_{1} = a x_{2}^{2} - b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - 2$ ．
其中结论错误的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x + 2 a = 1$ 的解，则 $a$ 的值为(　　)

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $- 1$

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10、问题背景：某农户要建进一个如图 $①$ 所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为 k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
（1）设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为          米，可得y与x的函数关系式为：                ．
（2）若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为                          ．
问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数 $y = x + k$ 的图像可以由正比例函数 $y = x$ 的图像向上（下）平移 $|k|$ 个单位得到：受此启发，给定一个函数： $y = x + \frac{1}{x} + k (x > 0)$ 为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对 $y = x + \frac{1}{x} + 1 (x > 0)$ 进行如下图象探索：
列表如下
$x$
$\dots$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
$\dots$
$y$
$\dots$
$\frac{21}{4}$
$\frac{13}{3}$
$m$
3
$\frac{7}{2}$
$n$
$\frac{21}{4}$
$\dots$
（3）请直接写出m， n的值：
（4）请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（5）请结合函数的图象，写出当x=             ， y有最小值为            ；
学以致用
根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：
（6）y与x的函数关系式为                        ．
（7）当水池底边长分别为            米时，水池总造价的最低费用为            千元；
（8）若该农户预算不超过5.5 千元，请直接写出x的值应控制在什么范围?

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11、为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了 $80$ 名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
$a$ ．七年级 $80$ 名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成 $6$ 组： $40 \leq x < 50$ ， $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80, 80 \leq x < 90, 90 \leq x \leq 100$ ）如图所示：
$b$ ．七、八年级 $80$ 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
$74.3$
$m$
$81$
八年级
$75$
$79$
$78$
$c$ ．七年级 $80$ 名学生传统文化知识测试成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是 $71$ ， $72$ ， $72$ ， $73$ ， $74$ ， $74$ ， $75$ ， $76$ ， $76$ ， $77$ ， $77$ ， $77$ ， $77$ ， $78$ ， $78$ ， $79$ ， $79$ ， $79$ ．
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、表中 $m$ 的值为，补全频数分布直方图．

(2)、八年级菲菲同学的测试成绩是 $77$ 分．他认为 $77$ 高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩．你认为他的说法正确吗 $?$ 请说明理由．

(3)、若该校七年级共有 $1200$ 名学生，测试的成绩 $60$ 分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．

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12、计算： $\sqrt{12} + {(3.14 - π)}^{0} - 3 tan 60 ° + |1 - \sqrt{3}| + {(- 1)}^{2022}$ ．

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13、如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，以对角线 $A C$ 为直径作圆，则图中阴影部分的面积为．

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14、对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 $a \leq x \leq b$ ，函数值y满足 $m \leq y \leq n$ ，且满足 $n - m = k (b - a)$ ，则称此函数为“k型闭函数” ．例如：正比例函数 $y = - 3 x$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $9 \leq y \leq - 3$ ，则 $- 3 - (- 9) = k (3 - 1)$ ，求得： $k = 3$ ，所以函数 $y = - 3 x$ 为“3型闭函数” ．已知二次函数 $y = - 3 x^{2} + 6 a x + a^{2} + 2 a$ ，当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（）

A、 $k \geq 6$ B、 $k \geq \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \leq k < 6$ D、 $\frac{3}{2} < k \leq 6$

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15、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{12}$ B、 $2 b + 5 a = 7 a b$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{2} b^{3})}^{2} = a^{4} b^{6}$

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16、研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型消洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达 $150000000000$ 立方米 $1.5 \times 10^{n}$ ，则n的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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17、如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（　　）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 $∠ 2 = 58 °$ ，那么 $∠ 1$ 的度数是（）

A、32° B、48° C、58° D、68°

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19、已知：如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $M$ 在 $A D$ 上，点 $N$ 在 $A D$ 的延长线上，且 $D M = D N$ ．

(1)、求证： $△ B D N ≌ △ C D M$ ；

(2)、若 $∠ A M C = 80 °$ ，则 $∠ N =$ ______．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C < A B < B C$ ．

(1)、已知线段 $A B$ 的垂直平分线 $D P$ 与 $B C$ 边交于点P，连接 $A P$ ，若 $△ A P C$ 的周长为 $12$ ， $A D$ 长为 $2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

(2)、以点B为圆心，线段 $A B$ 的长为半径画弧，与 $B C$ 边交于点Q，连接 $A Q$ ，若 $∠ A Q C = 3 ∠ B$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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