相关试卷

1、如图，数轴上 $A$ ， $B$ 两点对应的有理数分别为 $- 8$ 和 $12$ ，点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t = 2$ 时，数轴上的点 $P$ 、 $Q$ 表示的数分别是和；

(2)、当 $t = 5$ 时，求 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离；

(3)、在运动过程中是否存在时间 $t$ 使 $A$ 、 $P$ 两点间的距离与 $B$ 、 $Q$ 两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．

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2、如下图， $C$ 为线段 $A B$ 延长线上一点， $D$ 为线段 $B C$ 上一点， $D C = 4 B D$ ．

(1)、若 $A B = 12, B C = 15$ ，求 $A D$ 的长．

(2)、若 $A B = 2 B D,$ $A B + D C = 36$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，求 $B E$ 的长．

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3、作图题：

(1)、如图，平面上有四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，根据下列语句画图．
①画直线 $A B$ ；
②作射线 $D C$ ，与直线 $A B$ 交于点 $O$ ；
③连接 $A D$ ；
④找到一点 $P$ ，使 $P$ 到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点的距离和最短，
作图的依据是___________．

(2)、用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，以点 $B$ 为顶点、射线 $B C$ 为一边，作 $∠ E B C$ ，使 $∠ E B C = ∠ A$ ．

(3)、已知：如图， $△ A B C$ 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别对应点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ．
①在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
② $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是以点___________（填“ $O_{1} $ ”，“ $O_{2} $ ”或“ $O_{3} $ ”）为旋转中心，将 $△ A B C$ ___________时针旋转___________度得到的．

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4、计算：

(1)、 $- 3 \frac{2}{7} - (- 6) + 11 \frac{6}{7} - (+ 5 \frac{3}{7})$ ；

(2)、 $(- 81) \div (- 2 \frac{1}{4}) \times \frac{4}{9} \div (- 8)$ ；

(3)、 ${(- 3)}^{2} \div [2 - (- 7)] + 2 \times (\frac{1}{2} - 1)$ ；

(4)、 ${(- 2)}^{3} \div \frac{4}{5} + 3 \times |1 - {(- 2)}^{2}|$ ．

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5、把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①2025，② $- 3$ ， ③ $- 15 %$ ， ④ $- \frac{1}{2}$ ， ⑤3.14，⑥0，⑦ $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、正数集合：{…．}；

(2)、分数集合：{…．}；

(3)、非负整数集合：{…．}．

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6、如图，在 $∠ A O C$ 中， $∠ A O B$ 是直角， $∠ B O C = 70^{\circ}$ ，射线 $O E$ 平分 $∠ A O C$ ，射线 $O F$ 平分 $∠ B O C$ ，则 $∠ E O F$ 的度数为．

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7、有两根木条，一根 $A B$ 长为 $80 cm$ ，另一根 $C D$ 长为 $130 cm$ ，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离 $M N$ 是（　　）

A、 $105 cm$ B、 $20 cm$ C、 $105 cm$ 或 $25 cm$ D、 $105 cm$ 或 $20 cm$

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8、如果一个角的余角是 $38.4 °$ ，那么这个角的补角度数是（　　）

A、 $62 ° 2 4^{'}$ B、 $52 ° 3 6^{'}$ C、 $128 ° 2 4^{'}$ D、 $141 ° 3 6^{'}$

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9、若 $| x | = 9, | y | = 4$ ，且 $x + y < 0$ ，那么 $x - y$ 的值是（　　）

A、5或13 B、5或 $- 13$ C、 $- 5$ 或13 D、 $- 5$ 或 $- 13$

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10、阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（ $糖水浓度 = \frac{糖的质量}{糖水的质量}$ ）．
小聪这杯糖水原来的浓度为 $\frac{b}{a}$ ，添加 $c$ 克糖后，糖水的浓度变成 $\frac{b + c}{a + c}$ ．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a} (a > b > 0, c > 0)$ ．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．

(1)、【特例验证】假设 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $\frac{b + c}{a + c}$ _____ $\frac{b}{a}$ ．（填“ $>$ 、 $<$ 或 $=$ ”）

(2)、【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．

(3)、【应用拓展】若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，证明： $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} < 2$

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11、对于任意实数 $m$ ， $n$ ，定义一种新运算 $m ※ n = m n - m - n + 2$ ．例如： $2 ※ 6 = 2 \times 6 - 2 - 6 + 2 = 6$ ．请根据上述定义解决以下问题：

(1)、若 $2 ※ x < 4$ ，求实数 $x$ 的取值范围．

(2)、若 $a < 4 ※ x < 7$ ，且 $x$ 的解集中有3个整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点 $P$ ，且与 $A B$ 垂直．

(1)、若 $A D = 8$ ，求点 $P$ 到 $B C$ 的距离；

(2)、直接写出线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 存在的数量关系．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求角平分线 $A D$ 的长．

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14、如图，已知： $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、若 $∠ B = 25 °$ ， $∠ B O C = 105 °$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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15、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 > 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 3$ ， $A D = B D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $C E$ ．若 $∠ A D E = 2 ∠ C B D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $C E$ 的长为．

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17、如图， $A B$ 是 $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ A B D$ 的斜边， $∠ A D B = ∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C$ ， $D$ 位于 $A B$ 的异侧， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ， $E C$ ， $D C$ ，若 $A C = B C$ ， $∠ D B A = 20 °$ ，则 $∠ D E C$ 的大小是．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $A E$ ．若 $A E = 3$ ， $B E = 2$ ，则 $B C$ 的长为．

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19、如图，等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $B D = C E = \frac{1}{3} A B$ ， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ．若 $A B = 6$ ， $D F = \frac{1}{7} A D$ ．则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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20、【情景创设】
$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \dots \dots$ 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢?
【探索活动】
（1）根据规律第6个数是_____， $\frac{1}{132}$ 是第_____个数；
（2）我们知道： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，那么：
用含有 $n$ 的式子表示你发现的规律_____．
【方法展示】
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
【实践应用】
（3）根据上面获得的经验完成下面的计算：
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{2025 \times 2026}$ ．
【问题解决】
（4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出 $\frac{1}{2}$ 升水，第二次倒出的水量是 $\frac{1}{2}$ 升的 $\frac{1}{3}$ ，第三次倒出的水量是 $\frac{1}{3}$ 升的 $\frac{1}{4}$ ，第四次倒出的水量是 $\frac{1}{4}$ 升的 $\frac{1}{5}$ ， ……，第 $n$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{n}$ 升水的 $\frac{1}{n + 1}$ .按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由．

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