相关试卷

1、下列命题中，其逆命题是真命题的是（）

A、如果 $x > 0$ ，那么 $x^{2} > 0$ B、全等三角形的面积相等 C、若 $a = 2$ ，则 $a^{3} = 8$ D、如果 $a = b$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$

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2、若分式 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 的值不存在，则需x的值为（）

A、0 B、1 C、－1 D、2

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3、计算 ${(- \frac{y}{x})}^{2}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{y^{2}}{x}$ B、 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ C、 $- \frac{y^{2}}{x^{2}}$ D、 $\frac{2 y}{x^{2}}$

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4、在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于y轴的对称点记作点 $P_{2} ，$ 则称点 $P_{2}$ 为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点 $P (3, 1)$ 关于x轴的对称点为点 $P_{1} (3, - 1)$ ，点 $P_{1} (3, - 1)$ 关于y轴的对称点为点 $P_{2} (- 3, - 1)$ ，所以点 $P (3, 1)$ 关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 $P_{2} (- 3, - 1) ．$

(1)、点 $A (3, - 4)$ 关于x轴和y轴的“一中对称点” $A_{2}$ 的坐标是；

(2)、点 $B (2 a + b, a - b)$ 关于x轴和y轴的“一中对称点” $B_{2}$ 的坐标是 $(- 8, 4)$ ，求a和b的值；

(3)、若点 $C (x - m + 1, 9 m + 3 - 4 x)$ 关于x轴和y轴的“一中对称点” $C_{2}$ 在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围．

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5、先化简，再求值： $2 (a^{2} b + a b^{3}) - 3 (a^{2} b - a b^{3}) + a^{2} b ，$ 其中 $a = - 2, b = 1$ ．

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6、如图， $D$ 为 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的一点， $D C = 2 A D$ ， $E$ 是 $A B$ 边上的一点， $A E = 3 B E$ ，若 $△ D E C$ 的面积为 $2$ ，则 $△ B E C$ 的面积为．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上，且 $D E$ 是边 $A C$ 的垂直平分线，若 $A E = 2 cm$ ， $△ A B D$ 的周长为 $8 cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长是 $cm$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，延长 $B C$ 至点D，若 $∠ A = 60^{\circ} ， ∠ B = 40^{\circ}$ ，则 $∠ A C D =$ °．

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9、等腰三角形的周长为 $10 cm$ ，腰长为 $4 cm$ ，则底边的长为 $cm$ ．

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10、如图，已知 $∠ A B C = ∠ D C B$ ，且点A，D在直线 $B C$ 的两侧，要根据“ $SAS$ ”证明 $△ A B C ≌ △ D C B$ ，则还需要添加的条件是（）

A、 $A B = D C$ B、 $∠ B A C = ∠ C D B$ C、 $A C = D B$ D、 $∠ A C B = ∠ D B C$

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11、长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、直角三角形两锐角互余 C、三角形两边之和大于第三边 D、三角形内角和等于 $180 °$

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12、如图，线段 $A B$ 为某景区缆车的缆绳， $∠ A$ 是缆绳 $A B$ 与水平面 $A C$ 的夹角．已知 $A B = 200$ 米， $∠ A = 30^{\circ}$ ，则缆车从位置 $A$ 到位置 $B$ ，垂直上升的高度 $B C$ 为（）

A、 $150$ 米 B、 $100 \sqrt{3}$ 米 C、 $100$ 米 D、 $100 \sqrt{2}$ 米

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13、如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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14、当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 12$ ．点E，F分别在边 $A C ， B C$ 上，且 $A E = B F = 4$ ，动点 $P$ 从点 $F$ 出发沿射线 $F C$ 运动，以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $△ E F C$ 是等边三角形．

(2)、当点 $P$ 在线段 $F C$ 上运动时，求 $E C ， P C ， C M$ 之间的数量关系．

(3)、如图2，当点 $P$ 在线段 $F C$ 的延长线上运动时，
① $∠ A C M =$ _________ $^{°}$ ；
②如图3作 $C P = C F$ ，再以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ，证明： $E P ⊥ C M$ ．

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16、【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 $∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$ ；
【简单应用】
（2）如图2， $A P 、 C P$ 分别平分 $∠ B A D 、 ∠ B C D$ ，若 $∠ A B C = 44 °, ∠ A D C = 18 °$ ，求 $∠ P$ 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线 $A P$ 平分 $△ B A D$ 的外角 $∠ F A D, C P$ 平分 $△ B C D$ 的外角 $∠ B C E$ ，若 $∠ A B C = 46 °, ∠ A D C = 26 °$ ，请猜想 $∠ P$ 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设 $∠ A B C = α, ∠ A D C = β$ ， $A P$ 平分 $∠ B A D, C P$ 平分 $∠ B C D$ 的外角 $∠ B C E$ ，猜想 $∠ P$ 与 $∠ A B C 、 ∠ A D C$ 的关系，直接写出结论（用 $α 、 β$ 表示 $∠ P$ ）．

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17、早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营 $A$ 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 $B$ 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线 $l$ 同旁的两个定点．
问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小．
解法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为线段 $A^{'} B$ 的长．

(1)、根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

(2)、应用：
①如图2，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，其内部有一点 $P, O P = 15$ ，在 $∠ A O B$ 的两边分别有C、D两点（不同于点 $O$ ），使 $△ P C D$ 的周长最小，请画出草图，并求出 $△ P C D$ 周长的最小值；
②如图3， $∠ A O B = 20 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = O N = 3$ ，点P，Q分别在 $O A 、 O B$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是________．

(3)、拓展：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 110 °, ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C, C D$ 上分别找一个点M，N，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ ________ $°$ ．

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18、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E, A C = A D, ∠ A C B = ∠ A D B$ ，点 $F$ 在 $E D$ 上， $∠ B A F = ∠ E A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A F D$ ；

(2)、若 $B E = F E$ ，求证：
① $A C ⊥ B D$ ；
②试探究 $A F$ 与 $C D$ 的位置关系．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ， A F$ 分别是 $△ A B C$ 的中线和高， $B E$ 是 $△ A B D$ 的角平分线．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $42, B D = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(2)、若 $∠ B E D = 40 °, ∠ B A D = 26 °$ ，求 $∠ D A F$ 的大小．

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20、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是点 $A (1, 1), B (4, 2)$ ， $C (4, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出一个 $△ A_{1} B_{2} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 全等（点 $B_{2}$ 与点 $B_{1}$ 不重合）；

(3)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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