相关试卷

1、如图1，将一副三角板中一块含有 $60^{\circ}$ 角的三角板的顶点和另一块含 $45^{\circ}$ 角的三角板的顶点重合于一点 $O$ ，将含有 $60 °$ 角的三角板绕点 $O$ 按顺时针方向旋转如图2（ $O C$ 在 $∠ A O B$ 内部)，请回答问题：

(1)、图1中 $∠ A O D$ 的度数为．

(2)、在旋转过程中，当 $O C$ 平分 $∠ A O B$ 时，求 $∠ A O D$ 的度数．

(3)、是否存在某一时刻，满足 $∠ A O C = 2 ∠ B O D$ ？若存在，求出此时 $∠ A O D$ 的度数；若不存在，请说明理由．

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2、如图，已知点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在线段 $M B$ 上，点 $N$ 为 $P B$ 的中点， $A B = 22$ ， $P B = 8$ ，

(1)、 $P N =$ ________；

(2)、求 $M N$ 的长．

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3、如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A C D E$ 和正方形 $C B F G$ ，连接 $E G$ 、 $B G$ 、 $B E$ ．当 $B C = 1$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{1}$ ；当 $B C = 2$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{2}$ ；…；以此类推，当 $B C = n$ 时，三角形 $B E G$ 的面积记为 $S_{n}$ ，那么 $\frac{S_{2026}}{2026}$ 的值为．

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4、下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图8中有（）个棋子．

A、61 B、60 C、59 D、58

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5、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入 $x$ 的值为7，则第2026次输出的结果为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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6、如图是一个正方体的展开图，则与“心”字所在面相对的面上的字是（）

A、数 B、学 C、素 D、养

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7、如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 是弦 $B D$ 延长线上一点，切线 $D E$ 平分 $A C$ 于 $E$ ．
（1）求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；
（2）若 $A D : D B = 3 : 2$ ， $A C = 15$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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8、【新定义】
若两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点在x轴上，且直线l分别与直线 $l_{1}$ 交于点 $P (m, n)$ ，与直线 $l_{2}$ 交于点 $Q (n, m)$ （P、Q不与原点重合），则称直线l是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”．
例：如图1所示， $l_{1} : y = - \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}$ 与 $l_{2} : y = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ 相交于点 $A (5, 0)$ ，直线 $l : y = - x - 1$ 分别与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $P (- 2, 1)$ 和点 $Q (1, - 2)$ ，称直线l是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”．

(1)、若直线l是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”，已知直线l与 $l_{1}$ 交点为 $P (3, 2)$ ，则另外一个交点Q（，）；

(2)、如图2所示，已知 $l 1 : y = - \frac{1}{3} x + 2$ ， $l_{2} : y = x - 6$ ，请判断 $l : y = - x$ 是否为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”，并说明理由；

(3)、如图3所示，已知 $l_{1} : y = - \frac{1}{3} x + 2$ ， $l : y = - x + 4$ ，若l是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”，请求出 $l_{2}$ 的函数表达式．

(4)、【拓展研究】
如图4所示， $l_{1} : y = - \frac{1}{3} x + 2$ ，直线l是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的“美好对应轴”，l和 $l_{1}$ 交于点P，l和 $l_{2}$ 交于点Q，连接 $P O$ 、 $Q O$ ，若 $△ A O P$ 的面积和 $△ A O Q$ 的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．

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9、【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
【基础应用】
（1）如图1， $Rt △ A B C$ 的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ．若 $S_{3} - S_{2} = 8$ ，则 $a =$ ；
【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？
（2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形 $A C B D$ 的四条边为边向外作四个正方形，已知 $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ，面积分别为m，n，p，q．若 $m + n = 12$ 求 $p + q$ 的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形 $O P Q R$ 中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形 $O P Q R$ 的边上，连接 $K C 、 L C$ ，若 $S_{△ K L C} = 10$ ， $b = 2 a$ ，求c的值．

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10、在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、过点C作 $C D ∥ B A$ ，且 $C D = B A$ ，画出线段 $C D$ ；

(2)、在（1）的条件下，求证： $C A$ 平分 $∠ B C D$ ．

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11、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D C B = 60 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B D ⊥ C D$ ，点E是 $A B$ 上一点，连接 $C E$ 和 $D E$ ．记 $△ C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $A B = 4$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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12、在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（ $A = 1$ ， $B = 2$ ， ···， $Z = 26$ ）记为x，加密后的数字y满足“ $y = 2 x + 1$ ”；若 $y > 26$ ，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
数字
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
示例：原字母“D”（ $x = 4$ ），加密得 $y = 2 \times 4 + 1 = 9$ ，对应字母“I”．现有字母“ $L R$ ”，则加密后的字母是（）

A、 $Y J$ B、 $X J$ C、 $Z L$ D、 $Y K$

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13、如图，线段 $A B$ 是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地 $2.1$ 米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高 $1.6$ 米的小宝（线段 $C D$ ）走向感应门，当离门 $1.2$ 米时（ $B C = 1.2$ 米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（）

A、2米 B、 $1.5$ 米 C、 $1.3$ 米 D、 $1.2$ 米

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14、现有一张长方形彩带，将其沿 $B C$ 折叠成如图所示图形，若 $∠ 1 = 122 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $56 °$ B、 $58 °$ C、 $64 °$ D、 $66 °$

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15、如图1，等腰 $Δ A B C$ 中，点 $E, F$ 分别在腰 $A B, A C$ 上，连结 $E F$ ，若 $A E = C F$ ，则称 $E F$ 为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1， $E F$ 是等腰 $Δ A B C$ 的逆等线，若 $E F ⊥ A B, A B = A C = 5, A E = 2$ ，求逆等线 $E F$ 的长；
（2）如图2，若直角 $Δ D E F$ 的直角顶点 $D$ 恰好为等腰直角 $Δ A B C$ 底边 $B C$ 上的中点，且点 $E, F$ 分别在 $A B, A C$ 上，求证： $E F$ 为等腰 $Δ A B C$ 的逆等线；
（3）如图3，等腰 $Δ A O B$ 的顶点 $O$ 与原点重合，底边 $O B$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交 $Δ A O B$ 于点 $C, D$ ，若 $C D$ 恰为 $Δ A O B$ 的逆等线，过点 $C, D$ 分别作 $C E ⊥ x$ 轴于点 $E, D F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，已知 $O E = 2$ ，求 $O F$ 的长．

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16、如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴交于A、 $B (4, 0)$ 两点（A在B的左侧），与y 轴交于点 $C (0, - 4)$ ，点P在抛物线上，连接 $B C$ ， $B P$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P在第四象限，点D在线段 $B C$ 上，连接 $P D$ 并延长交x轴于点E，连接 $C E$ ，记 $△ D C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D B P$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，将线段 $B C$ 绕点B顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $B P$ ，点P是否落在二次函数图象上？

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17、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．

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18、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(8, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(8, 6)$ ， $∠ A O B$ 的平分线与 $A B$ 相交于点 $C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点 $C$ ，那么 $k$ 的值为．

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19、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论正确的是( )

A、 $a b c > 0$ B、 $3 |a| + |c| < 2 |b|$ C、 $2 a + b > 0$ D、若 $- 1 < m < n < 1$ ，则 $m + n < \frac{b}{a}$

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20、如图，将直尺、含 $60 °$ 的直角三角尺和量角器按如图摆放， $60 °$ 角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的半径是（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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字母	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
字母	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
数字	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26