相关试卷

1、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

(1)、若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $c$ 的值，并用含 $b$ 的式子表示 $a$ ；

(2)、已知点 $P_{1} (- 2, 1) ， P_{2} (2, - 1) ， P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线 $l ： y = k x + 1$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ M A N = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B ， C$ ．求证： $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等．

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2、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2} ， D$ 为 $A B$ 中点， $∠ B A C = ∠ B C D ， cos ∠ A D C = \frac{\sqrt{2}}{4} ， ⊙ O$ 是 $△ A C D$ 的外接圆．

(1)、求 $B D$ 和 $B C$ 的长；

(2)、利用尺规作图，过点 $A$ 作线段 $C D$ 垂线，交 $C D$ 于点 $E$ ，保留作图痕迹；

(3)、求 $⊙ O$ 的半径．

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3、【阅读理解】
在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了 $30 °$ ， $60 °$ ， $45 °$ 这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出 $\tan 15 °$ 的值．

如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ 延长 $C B$ 到点D，使 $D B = A B$ ，则有 $∠ D = 15 °$
在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$    ∴ $A B = B D = 2$     $B C = \sqrt{3}$
在 $Rt △ A C D$ 中    $\tan D = \frac{A C}{D C} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、【实际应用】2022年北京冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，西宁市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道 $A B$ ，如图2所示，滑道的坡角 $∠ B = 15 °$ ，水平宽度 $B C = 100 m$ ．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

(2)、【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出 $\tan 22.5 °$ 的值吗？
类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整：
解： $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 1$


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4、中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企.2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型
人数
百分比
纯电
$m$
$54 %$
混动
$n$
$a %$
氢燃料
3
$b %$
油车
5
$c %$
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查活动随机抽取了___________人；表中 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、请补全条形统计图：

(3)、若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象都经过点 $A (2, 4)$ ．

(1)、求该正比例函数和反比例函数的解析式：

(2)、当函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的值时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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6、解分式方程： $\frac{3}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} - 1$

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7、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ ，点 $F$ 分别是边 $B C$ ，边 $C D$ 上的动点，且 $B E = C F ， A E$ 与 $B F$ 相交于点 $P ． ∠ A P B =$ ，若点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，点 $N$ 为边 $C D$ 上任意一点，则 $M N + P N$ 的最小值等于．

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8、2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、增长 $5 %$ ，将数据 $134.9$ 万用科学记数法表示为．

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9、在平面直角坐标系中，已知 $a \neq b$ ，设函数 $y = x^{2} + (a + b) x + a b$ 的图象与 $x$ 轴有 $M$ 个交点，函数 $y = a b x^{2} + (a + b) x + 1$ 的图象与 $x$ 轴有 $N$ 个交点，则（）

A、 $M = N - 1$ 或 $M = N + 1$ B、 $M = N - 1$ 或 $M = N + 2$ C、 $M = N$ 或 $M = N + 1$ D、 $M = N$ 或 $M = N - 1$

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10、根据广东省统计局数据，广东省 $2024$ 年的地区生产总值为 $141633.81$ 亿元，位列全国第一， $2022$ 年的地区生产总值为 $129118.58$ 亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为 $x$ ，根据题意可列方程（）

A、 $129118.58 (1 + x) = 141633.81$ B、 $129118.58 {(1 + x)}^{2} = 141633.81$ C、 $129118.58 x^{2} = 141633.81$ D、 $129118.58 (1 + x^{2}) = 141633.81$

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11、下列人工智能 $A P P$ 图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．


（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知 $a + b = 3 ， a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
类比迁移：
（2）若 $(5 - x) \cdot (x - 1) = 3$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ 　　；
（3）如图，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C ， B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 72$ ，求图中阴影部分面积．


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13、若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, m, n$ 是正整数），则 $m = n$ ．利用上面的结论解决下面的问题：

(1)、如果 $2 \div 8^{x} \cdot 16^{x} = 2^{5}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、如果 $3^{a + 2} \cdot 6^{a + 2} = 18^{2 a - 4}$ ，求 $a$ 的值．

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14、如图：已知： $E F ∥ A D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，
求证： $∠ B + ∠ B D G = 180 °$ ．
证明：∵ $E F ∥ A D$ （已知），
∴ $∠ 3 = ∠ 2$ （_______），
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ，
∴ $∠ 1 =$ ____（_____）．
∴ $A B ∥ D G$ （_____）．
∴ $∠ B + ∠ B D G = 180 °$ （_____）．

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15、如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = 50 °$ ，求 $∠ 4$ 的大小．

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16、计算：

(1)、 $3 x^{2} (2 x - 1)$

(2)、 $(6 x^{2} y - x y^{2} + 4 x y) \div (- 2 x y)$

(3)、利用乘法公式简便运算： $899 \times 901 + 1$

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17、计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2015} + {(π - 3.14)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$

(2)、 $a^{3} \cdot a \cdot a^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2} + {(a^{2})}^{4}$

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18、规定 $\log_{a} b (a > 0 ， a \neq 1 ， b > 0)$ 表示 $a$ ， $b$ 之间的一种运算．现有如下的运算法则： $\log_{a} a^{n} = n$ ， $\log_{b} c = \frac{\log_{m} c}{\log_{m} b} (a > 0 ， a \neq 1 ， b > 0 ， b \neq 1 ， m > 0 ， m \neq 1 ， c > 0 ， n > 0)$ ．例如： $\log_{2} 2^{3} = 3$ ， $\log_{2} 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$ ，则 $\log_{9} 27 =$ ．

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19、已知 $m + n = 4, m^{2} - n^{2} = - 8$ ，则 $m - n$ 的值为

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20、一个长方形的面积为 $6 a^{3} b$ ，若这个长方形的宽为 $2 a b$ ，则长为．

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类型	人数	百分比
纯电	$m$	$54 %$
混动	$n$	$a %$
氢燃料	3	$b %$
油车	5	$c %$