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1、如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，则 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高与 $A B$ 边上的高的差为．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °, ∠ B = ∠ D = 90 °, A B = 1, A D = 2$ ，在 $B C 、$ $C D$ 上分别找一点M、N ，使 $△ A M N$ 周长最小，则最小值为．

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3、先阅读下面的解答过程，然后再解答：
要对形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的式子化简，只要找到两个数 $a$ 、 $b (a \geq b \geq 0)$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \pm 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ ．
⑴用上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ = ．
⑵若 $\sqrt{14 - 4 \sqrt{10}}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $a + b$ = ．

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4、如图，将含有 $60 °$ 的三角尺 $A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转到 $△ D E C$ 的位置，若 $A C = 5 c m$ ，当点 $D$ 恰好落到 $△ A B C$ 的一边上时，连接 $B E$ ，则线段 $B E =$ $c m$ ．

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5、已知 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $a^{2} b - a b^{2}$ 的值等于．

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6、 $3 + \sqrt{5}$ 的倒数是．

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7、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $A B = 9$ ，点E ， F分别在边 $A B, C D$ 上．将矩形纸片沿直线 $E F$ 折叠，使点B落在边 $C D$ 上，记为点M ，点C落在点N处，连接 $M B$ 交 $E F$ 于点P ，连接 $B F$ ．下列结论：①四边形 $M F B E$ 是菱形；②点M与点D重合时， $E F = \sqrt{10}$ ；③ $△ M P F$ 面积的最小值是 $\frac{9}{4}$ ；④ $B P = B C$ 中，所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8、如图， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上， $D E$ $∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $△ G D H$ ．当点 $H$ 在 $B C$ 上时， $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9、若 $1 < x < 4$ ，则化简 $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} - \sqrt{{(x - 1)}^{2}} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $5 - 2 x$ C、3 D、5

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10、下列语句：①2是4的平方根．② $- \sqrt[3]{8}$ ， $- π$ ， $\sqrt{25}$ 都是无理数．③实数和数轴上的点一一对应．④ $\sqrt[3]{8}$ 的立方根是2．⑤ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ． ⑥ $\sqrt{a^{2}} = 4$ ，则 $a = \pm 4$ ．正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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11、若 $a \neq 0$ ，且 $a$ ， $b$ 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（）

A、 $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{b}$ B、 $\sqrt[3]{a^{3}}$ 与 $- \sqrt[3]{b^{3}}$ C、 $\sqrt[3]{a}$ 与 $\sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt{a^{2}}$ 与 $\sqrt{b^{2}}$

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12、观察下列分式及其变形过程，
① $\frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$
② $\frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 + 1}{x + 1} = 2 + \frac{1}{x + 1}$
③ $\frac{x^{2} + x + 2}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + 2}{x + 1} = x + \frac{2}{x + 1}$
④ $\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 1 + x + 1}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
……
我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题：

(1)、下列式子中，属于“奇妙分式”的是；（只填写字母代号）
A． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2}}$ B． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1}$ C． $\frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ D． $\frac{x^{2} + 3}{2 π}$ E． $\frac{x^{2} - x}{x - 1}$

(2)、若奇妙分式 $\frac{2 a^{2} + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为整数，求正整数a的值；

(3)、已知分式 $\frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{x + 2}$ 是奇妙分式，
①把其化成一个整式与一个真分式和的形式；
②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子 $\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{b^{2} - m}{b - 3}$ 可化简为一个整式，求常数m的值．

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13、如下图，一幅书画在装裱前的大小是 $1.2 m \times 0.8 m$ ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 $a m, b m, c m, d m$ ．若装裱后 $A B$ 与 $A D$ 的比是 $16 : 10$ ，且 $a = b$ ， $c = d, c = 2 a$ ，求上边衬的宽度．

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14、解分式方程：

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{4}{x + 3}$

(2)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$

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15、若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 1}{3} < x + 2 \\ 3 x - a \geq 3 - 4 \end{array}$ 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程 $\frac{y - 2 a - 2}{4 - 2 y} + \frac{1 - a}{2 y - 4} = 1$ 的解为整数，则满足条件的所有整数 $a$ 的值之和为．

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16、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$ 的解不小于1，那么 $m$ 的取值范围是．

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17、若 $3 a b - 3 b^{2} - 2 = 0$ ，则代数式 $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a^{2}} \div \frac{a - b}{a^{2} b}$ 的值为．

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18、化简 $\frac{m^{2} + n^{2}}{m - n} + \frac{2 m n}{n - m}$ 的结果是．

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19、冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2025个山楂穿了 $n$ 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是．

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20、计算： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b} =$ ．

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