相关试卷

1、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，线段 $B E$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $C E$ ，交 $B D$ ， $A B$ 于点 $F, G, ∠ E B G = ∠ B F E$ ．

(1)、求证： $C G ⊥ A B$ ；

(2)、求证： $A C \cdot B C = B D \cdot C G$ ；

(3)、如图2，若 $A C = \sqrt{6}, A G = \sqrt{3} B G, ∠ A B C = 60^{°}$ ，求阴影部分的面积．

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2、综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率 $y$ 随运动时间 $x$ （单位：秒）的变化而变化的函数模型 $y = 212 - \frac{7920}{63 + x}$ ．
【解决问题】

(1)、写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；

(2)、《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；

(3)、研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．

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3、某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】

平均数
中位数
众数
八年级
a
87.5
c
九年级
85
b
80

(1)、直接写出 $a =$ _____； $b =$ _____； $c =$ _____．

(2)、该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）

(3)、【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用 $k$ 表示中位数，则 $k$ 把这组数据分为两部分，依次记为 $S$ 和 $T$ ．用 $m$ 和 $n$ 分别表示 $S$ 和 $T$ 的中位数，则所有数据中小于或等于 $m$ 的占 $25 %$ ，小于或等于 $n$ 的占 $75 %$ ．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．

(4)、【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）

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4、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O D$ 的中点，连接 $C E$ ．

(1)、尺规作图：作 $B O$ 的中点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A F$ ，证明： $A F = C E$ ．

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5、计算：

(1)、 $\frac{1}{4} \times {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{4}$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $B C = 4$ ， $△ A E D$ 的面积为5，则 $\cos ∠ C D E$ 的值为．

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7、把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是．

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8、若 $a > b$ ，则 $- 4 a$ $- 4 b$ ．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ，把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 对折，使得点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，再把 $△ B D C^{'}$ 沿着 $C^{'} D$ 翻折得到 $△ B^{'} D C^{'}$ ，若 $B^{'} C^{'} ∥ A D$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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10、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 $O$ 为圆心的圆的一部分.如果 $M$ 是 $⊙ O$ 中弦 $C D$ 的中点， $E M$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，并且 $C D = 4 m ， E M = 6 m$ ．则 $⊙ O$ 的半径为（　　）

A、 $\frac{5}{2} m$ B、3m C、 $\frac{10}{3} m$ D、4m

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11、假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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12、已知一次函数 $y = (k - 2) x + 5$ ，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）

A、 $k > 2$ B、 $k < 2$ C、 $0 < k < 2$ D、 $k < 0$

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13、分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大到原来的2倍 B、不变 C、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ D、缩小到原来的 $\frac{1}{4}$

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14、下列运算正确的是（　　）

A、 $x + x^{2} = x^{3}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 6 x^{6}$ C、 $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ D、 $2 x y - 3 x y = - 1$

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15、以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）

A、45 B、60 C、90 D、135

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16、我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）

A、 $44 \times 10^{8}$ B、 $4.4 \times 10^{8}$ C、 $4.4 \times 10^{9}$ D、 $44 \times 10^{9}$

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17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）与x轴交于点 $(- 1, 0)$ 和 $(3, 0)$ ．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、 $m + 1$ 、 $m + 3$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数关系式；

(2)、在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____；

(3)、过点P作 $P C$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点C，过点M作 $M D$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点D．
①当 $△ P C Q$ 的面积是 $△ Q D M$ 的面积的2倍时，求m的值；
②连接 $P D 、 C M$ ，当此抛物线在四边形 $P D M C$ 内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发沿线段 $B A$ 以每秒 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动．当点 $P$ 不与 $A 、 B$ 重合时，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将线段 $P D$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P E$ ，连接 $D E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、求线段 $P E$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $E$ 落在线段 $A C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、设 $△ P D E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式．

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19、综合与实践
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究：

(1)、【初步探究】如图①，已知 $Rt △ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，将 $△ C B A$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ C D E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，交 $C A$ 于点 $Q$ ．求证： $\frac{E P}{P B} = \frac{A B}{B C}$ ；

(2)、【类比探究】如图②，已知正方形 $C B A D$ ，将正方形 $C B A D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $45 °$ 得正方形 $C G F E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，直接写出 $\frac{E P}{P B}$ 的值；

(3)、【深入探究】如图③，已知矩形 $C B A D$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ，将矩形 $C B A D$ 顺时针旋转得矩形 $C G F E$ ，点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上，连接 $B F$ ，试探究线段 $A B$ 与 $B F$ 之间的数量关系，并写出证明过程．

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20、我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，现有四张卡片 $A 、 B 、 C 、 D$ ．它们正面分别印有“杨辉三角”、 “割圆术”、“赵爽弦图”、“洛书”的图案，它们除正面图案不同外，其它完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．

(1)、从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是“赵爽弦图”的概率是______________；

(2)、从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求这两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率．

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	平均数	中位数	众数
八年级	a	87.5	c
九年级	85	b	80