相关试卷

1、同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果 $a x + b = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数， $x$ 为无理数，那么 $a = 0$ 且 $b = 0$ ．运用上述知识，解决下列问题：

(1)、若 $(a + 3) \sqrt{5} + b - 2 = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数，则 $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、如果 $(3 + \sqrt{2}) a - \sqrt{2} b = 6$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数，求 $a - 5 b$ 的立方根．

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2、在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(a + 2, 2 a - 5)$ ．

(1)、在同一平面直角坐标系中，点 $B$ 的坐标为 $(4, 6)$ ，且 $A B ∥ y$ 轴，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 在第二、四象限的角平分线上，求点 $A$ 的坐标．

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3、已知某个正数的两个不同的平方根分别是 $a - 12$ 和 $2 a - 15$ ， $2 a + b - 26$ 的立方根是2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + b$ 的算术平方根．

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4、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 $(a, b)$ ，若规定以下三种变换：
① $f (a, b) = (- a, b)$ ，如 $f (1, 3) = (- 1, 3)$ ；
② $g (a, b) = (b, a)$ ，如 $g (1, 3) = (3, 1)$ ；
③ $h (a, b) = (- a, - b)$ ，如 $h (1, 3) = (- 1, - 3)$ ．
按照以上变换有 $f (g (2, - 3)) = f (- 3, 2) = (3, 2)$ ，那么 $f (g (h (5, 3))) =$ ．

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5、若 $\sqrt[3]{t - 2}$ 与 $\sqrt[3]{2 t - 1}$ 互为相反数，则t的值为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 cm$ ， $A C = 4 cm$ ， $B C = 5 cm$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移，得到 $△ D E F$ ，且 $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，连接 $A D$ ．则阴影部分的两个三角形周长之和为 $cm$ ．

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7、已知球的体积公式为 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ( $r$ 为球的半径)，若某小球的体积为 $36 {πcm}^{3}$ ，则该小球的半径为 $cm$ ．

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8、定义： $[x]$ 是不大于数x的最大整数，如： $[2.8] = 2$ ， $[- 2.1] = - 3$ ， $[2] = 2$ ．规定 $x - [x]$ 是x的小数部分．设 $x = 1 + \sqrt{2}$ ， a是x的小数部分，b是 $- x$ 的小数部分； $c = [- x]$ ．则 $a + b + c =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2} - 2$ C、0 D、1

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9、在平面直角坐标系中，对于点 $P (x, y)$ ，我们把点 $P (- y + 1, x + 1)$ 叫做点 $P$ 的伴随点，已知点 $A_{1}$ 的伴随点为 $A_{2}$ ，点 $A_{2}$ 的伴随点为 $A_{3}$ ，点 $A_{3}$ 的伴随点为 $A_{4} \dots$ 这样依次得到点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots A_{n}$ $\dots$ ．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(a, b)$ ，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(a, b)$ B、 $(- b + 1, a + 1)$ C、 $(- a, - b + 2)$ D、 $(b - 1, - a + 1)$

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10、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角 $∠ A = 105 °$ ，第二次拐的角 $∠ B = 120 °$ ，第三次拐的角是 $∠ C$ ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 $∠ C$ 是（）

A、 $135 °$ B、 $145 °$ C、 $155 °$ D、 $165 °$

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11、如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点 $A_{1} (1, 1)$ ， $A_{2} (1, - 1)$ ， $A_{3} (2, 0)$ ， $A_{4} (2, - 2) \dots \dots$ 按照此规律，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(2024, - 2023)$ B、 $(2026, - 2025)$ C、 $(1013, - 1013)$ D、 $(1012, - 1010)$

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12、实数 $- 8, 3.14159265, 0, \frac{π}{2}, \sqrt[3]{3}, \frac{3}{11}, \sqrt{9}$ 中，无理数的个数是( )个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是 $(- 1, 4)$ ，河南博物院的坐标是 $(2, 0)$ ．他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为（）

A、 $(1, - 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(0, - 2)$

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14、下列说法中，正确的是（）

A、有限小数一定是有理数 B、无限小数一定是无理数 C、实数可以分为正实数和负实数两类 D、数轴上的所有点都对应有理数

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15、实数16的平方根是（）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、 $\pm 2$

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16、【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
如 $\{\begin{matrix} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5 \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 3 \end{matrix}$ ，分析：由于方程组中含有式子 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ ，所以可设 $\frac{1}{x} = m$ ， $\frac{1}{y} = n$ ，原方程组转化为 $\{\begin{matrix} 2 m + 3 n = 5 \\ 5 m - 2 n = 3 \end{matrix}$ ，解得 $\{\begin{matrix} m = 1 \\ n = 1 \end{matrix}$ ， $∴ \{\begin{matrix} \frac{1}{x} = 1 \\ \frac{1}{y} = 1 \end{matrix}$ ，由倒数定义得，原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ ．
【问题解决】用换元法解决下列问题：

(1)、关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = 5 \\ \frac{10}{x} - \frac{4}{y} = 3 \end{matrix}$ 的解_____；

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - m y = 5 \\ 2 x + n y = 6 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = 5 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，则关于 $a$ ， $b$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 3 (a + b) - m (a - b) = 5 \\ 2 (a + b) + n (a - b) = 6 \end{matrix}$ 的解是_____；

(3)、已知关于 $m$ ， $n$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 2^{m} + 3^{n} = 11 \\ 3 \times 2^{m} - 3^{n} = - 3 \end{matrix}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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17、某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：

(1)、如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ， $∠ A = 62 °$ ，则 $∠ B P C =$ ________；

(2)、如图 $2$ ， $△ A B C$ 的内角 $∠ A C B$ 的平分线与 $△ A B C$ 的外角 $∠ A B D$ 的平分线交于点 $E$ ，其中 $∠ A = 58 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数．

(3)、如图 $3$ ， $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 为 $△ A B C$ 的外角， $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 的平分线交于点 $Q$ ，其中 $∠ A = α$ ．求 $∠ B Q C =$ ________（用 $α$ 表示）

(4)、如图 $4$ ， $△ A B C$ 外角 $∠ C B M$ 、 $∠ B C N$ 的平分线交于点 $Q$ ， $∠ C B Q$ 、 $∠ B C Q$ 的平分线交于点 $P$ ，则延长 $B C$ 至点 $E$ ， $∠ E C Q$ 的平分线与 $B P$ 的延长线相交于点 $R$ ，则 $∠ R$ 与 $∠ B P C$ 的数量关系为________．

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18、已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少 $15$ 元，购买 $2$ 个甲款玩偶和 $3$ 个乙款玩偶共需 $255$ 元（免运费）．请解答下列问题：

(1)、该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？

(2)、根据市场需求，该网店计划用不超过 $8900$ 元购进甲、乙两款玩偶共 $200$ 个，且甲款数量超过 $87$ 个．已知甲款玩偶每个进价 $50$ 元，乙款玩偶每个进价 $40$ 元，该网店有哪几种进货方案？

(3)、在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？

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19、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为 $1$ ，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的 $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图①中画的 $△ A B C$ 高 $A H$ ．

(2)、在图②中在 $A B$ 找一点 $E$ ，连接 $C E$ ，使得 $△ A C E$ 的面积等于 $△ B C E$ 的面积．

(3)、在图③中 $D$ 是 $B C$ 边上一格点， $△ A B C$ 边 $A C$ 上找一点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $D F$ ，使 $B F + D F$ 取得最小值

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ B = 64 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $C E$ 与 $A D$ 交于点 $O$ ，求 $∠ A O E$ 的度数；

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