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1、利用一元一次方程将下列无限循环小数转化成分数.

(1)、 $0 . \dot{7} \dot{3} .$

(2)、 $0.43 \dot{2}$

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2、小明课后利用方程的知识探究发现，所有纯循环小数都可以化为分数.例如，化0.3为分数，解决方法是设 $x = 0 . \dot{3} ，$ 即 $x = 0.333 \dots ，$ ，将方程两边都 $\times 10 ，$ 得 $10 x = 3.333 \dots ，$ ，即 10x $= 3 + 0.333 ，$ 又因为 $x = 0.333 \dots ，$ 所以 $10 x = 3 + x ， 9 x = 3 ，$ 即 $x = \frac{1}{3} ，$ 所以 $0 . \dot{3} = \frac{1}{3} .$
尝试用上述方法解决下列各题.

(1)、把0.1化成分数为.

(2)、请你利用小明的方法，把纯循环小数 $0 . \dot{1} \dot{6}$ 化成分数.

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3、方程 $\frac{1}{9} {\frac{1}{7} [\frac{1}{5} (\frac{x + 2}{3} + 4) + 6\} = 1$ 的解是.

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4、解下列方程：

(1)、 $\frac{1}{2} [x - \frac{1}{2} (x - 1)] = \frac{2}{3} (x + 2)$

(2)、 $7 + \frac{0.3 x - 0.2}{0.2} = \frac{1.5 - 5 x}{0.5} .$

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5、解下列方程：

(1)、 $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 2}{6} = \frac{1 - 2 x}{2} - 2 .$

(2)、 $\frac{3.1 + 0.2 x}{0.2} - \frac{0.2 + 0.03 x}{0.01} = \frac{3}{2} .$

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6、已知 $(m^{2} - 1) x^{2} - (m + 1) x + 8 = 0$ 是关于 x的一元一次方程，求代数式 $199 (m + x) (x - 2 m) + m$ 的值.

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7、已知方程 $(a - 2) x^{| a | - 1} + 8 = 0$ 是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解.

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8、已知 $(a + 2 b) y^{2} - y^{a - 1} = 3$ 是关于 y的一元一次方程，则a+b的值为.

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9、若第一个式子是 $\sqrt{9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} ，$ 第二个式子是 $\sqrt{25} = \sqrt{9} + \sqrt{4} ，$ 第三个式子是 $\sqrt{81} = \sqrt{25} + \sqrt{16} ，$ 第四个式子是 $\sqrt{289} = \sqrt{81} + \sqrt{64} \dots \dots$ ，则第六个式子是.

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10、已知正数a 和b，有下列命题：
①若a+b=2，则 $\sqrt{a b} \leq 1;$
②若a+b=3，则 $\sqrt{a b} \leq \frac{3}{2};$
③若a+b=6，则 $\sqrt{a b} \leq 3 .$
根据以上的规律猜想：若a+b=n，则. $\sqrt{a b} \leq$ .

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11、观察下列各式及其验证过程：
① $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}} .$ 验证： $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{3}}{3}} = \sqrt{\frac{2 (2^{2} - 1) + 2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}} .$
② $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}} .$ 验证： $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = \sqrt{\frac{3 (3^{2} - 1) + 3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$

(1)、参照上述等式及其验证过程的基本思路猜想： $5 \sqrt{\frac{5}{24}} =$ .

(2)、请用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示上述各式所反映的一般规律，并给出验证.

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12、已知 $\sqrt{a^{2} + 2005}$ 是整数，求所有满足条件的正整数a的和.

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13、如果 $\sqrt{200 a}$ 是一个整数，那么最小正整数a的值为.

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14、若 $\sqrt[3]{128 x}$ 是一个正整数，则满足条件的最小正整数x=

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15、观察下列等式： $\sqrt{17} + 4 ，$ …请用含自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来：.

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16、已知对于正整数n，有 $\frac{1}{(n + 1) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} ，$ 若某个正整数 k满足 $\frac{1}{2 \sqrt{1} + 1 \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \frac{1}{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4}} + \dots +$ $\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k} + k \sqrt{k + 1}} = \frac{2}{3}$ ，则 k =.

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17、观察下列分母有理化的运算：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = - 1 + \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = - \sqrt{3} + \sqrt{4}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{\sqrt{2001} + \sqrt{2002}} = - \sqrt{2001} + \sqrt{2002}$ ， $\frac{1}{\sqrt{2002} + \sqrt{2003}} = - \sqrt{2002} + \sqrt{2003} ，$ 即 $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} .$

(1)、利用上面的规律计算： $(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2001} + \sqrt{2002}} + \frac{1}{\sqrt{2001} + \sqrt{2002}})$ $\times (1 + \sqrt{2003}) .$

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2011} + \sqrt{2013}} + \frac{1}{\sqrt{2012} + \sqrt{2014}} .$

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18、求下列各式中x 的值.

(1)、 $8 x^{3} = 125 .$

(2)、 $(3 - x)^{2} = 196 .$

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19、求下列各式中x的值.

(1)、 $2 x^{2} - 32 = 0 .$

(2)、 $(x + 1)^{3} = 8 .$

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20、解方程：

(1)、 ${(2 x - 3)}^{2} = 25 .$

(2)、 $(2 x - 1)^{3} = - 8 .$

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