相关试卷

1、如图1， △ABC内接于⊙O， D是直径AB上的一点，满足AC=AD，连结CD并延长交⊙O于点E，连结BE ，点F在弦BC上，且BF=DE。过点F作FG⊥CE，交AB于点G，交CD于点H，设∠FGB=α。

(1)、 ①用含α的代数式表示∠ABE 和∠CAB的大小。
②猜想线段BG、DE 和AB 满足什么数量关系，并证明。

(2)、如图2，连接CO和FO，若CO⊥BE，求证： ∠GFO=∠CBE。

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2、综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题.
【研究条件】
条件1：该充电站收入y （单位：元)与当日充电汽车数量x（单位：辆)之间的对应关系如表：
x.
1
2
3
4
5
y
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本ω（单位：元)与充电汽车数量x之间满足： $ω = \frac{1}{4} x^{2} + 20 x + 500 .$

(1)、【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元?

(2)、当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值.

(3)、【模型应用】
由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=mx，成本关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本)取得最大值，请求出符合条件的m的取值范围.
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策.

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3、如图， AB是⊙O 的弦，半径OD⊥AB，垂足为H， BC⊥AB，交AD延长线于点C.

(1)、求证： D是AC的中点；

(2)、若.AB=12， $A C = 4 \sqrt{13},$ 求⊙O 的半径.

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4、如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0)，点C 的坐标为（0，-3)，一次函数. $y_{2} = m x + n$ 的图象过点A、C.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；

(3)、根据图象直接写出.y₁>y₂时，x的取值范围.

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5、在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颗做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
a
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
b

(1)、填空a= ， b= ；

(2)、请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1)；

(3)、假如摸一次，摸到白球的概率 $P_{（白球）}$ $=$ ；

(4)、试估算盒子里黑颜色的球有多少只?

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6、在6×6的方格纸中，小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上，圆经过△ABC的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图.

(1)、在圆上找一点D，使D平分 $\overset{⌢}{A C}$ .

(2)、求弧 BC的长度

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7、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3 .$

(1)、将函数化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

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8、研学实践活动可以拓宽学生的眼界，提高实际操作能力、创新能力等，是一条提高学生综合素质的有效途径.遵义市某校组织九年级学生到研学基地开展实践活动，基地推出三个实践项目供同学们选择.三个项目分别是：A.炒茶，B.陶艺，C.竹编.

(1)、甲同学选择A项目的概率为；

(2)、请用列表法或树状图法求甲、乙两位同学选择不同实践项目的概率.

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9、抛物线. $y = a x^{2} + b x + c$ c（a、b、c为常数， a>0)经过（1，0)，（0，2)两点. 下列五个结论：
①抛物线不经过第三象限；
②将抛物线向左平移m（m>0)个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m=1；
③b<-2；
④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个；
⑤对于函数. $y = a x^{2} + b x + c,$ 若 $a = \frac{1}{2},$ 则当x<1时，y随x的增大而减小.
其中正确的是（填写序号).

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10、如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上， AB=13， AC=12， D是弧 $\hat{B C}$ 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值等于.

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11、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ )

A、3cm B、 $\sqrt{6}$ cm C、2.5cm D、√5cm

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12、已知点 $A (- 1, y_{1}), B (2, y_{2}), C (\sqrt{2}, y_{3})$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 上，则y₁ ， y₂ ， y₃大小关系是（ )

A、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、y₃>y₂>y₁

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13、如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m)与水平距离x （单位：m)之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 3,$ 则他将铅球推出的距离为（ )

A、3m B、4m C、7m D、10m

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14、正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形的边数为（ )

A、12 B、10 C、8 D、6

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15、如图， ⊙O 是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC的度数是（ )

A、60° B、70° C、80° D、90°

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16、已知⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7，则点A与圆的位置关系为（ )

A、在圆内 B、在圆上 C、在圆外 D、不确定

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17、定义：有一组对角互补的凸四边形称为对补四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对补线．

(1)、下列三种图形中：①平行四边形，②矩形，③正方形．一定是对补四边形的有________（填写序号）：

(2)、如图，在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C, A B ⊥ A C$ ，当 $\sqrt{2} A D + C D = B D$ 时，判断四边形 $A B C D$ 是否为对补四边形，证明你的结论；

(3)、在 $Rt △ E F G$ 中， $E F = 3, G E = 5, ∠ G E F = 90 °$ ，以 $G F$ 为斜边作等腰 $Rt △ G H F$ ，连接 $E H$ ，请直接写出 $E H$ 的长．

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18、综合与实践
如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，并将其命名为“弦图不等式”

(1)、以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形 $A B C D$ 的面积可表示为___________，四个直角三角形的面积和可表示为_________（用含有a和b的字母表示）；
②如图1，当 $a < b$ 时，则大正方形 $A B C D$ 的面积______四个直角三角形面积和（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
③如图2，当 $a = b$ 时，则大正方形 $A B C D$ 的面积______四个直角三角形面积和（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
④综上所述，可得到“弦图不等式”．

(2)、若 $a = x ， b = \frac{9}{x}$ 时，请利用“弦图不等式”，求代数式： $x^{2} + \frac{81}{x^{2}} (x > 0)$ 的最小值，并求出此时x的值；

(3)、为保障2026年深圳 $APEC$ 会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图3，停放区面积为 $6.48 m^{2}$ （即长方形 $A B C D$ 的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则 $A B 、 B C 、 C D$ 三条边的和的最小值是多少？若一辆 $APEC$ 纪念款单车长度为 $1.7 m$ ，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内．

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19、如图，在钝角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角，D为 $A C$ 上一点，且 $B D ⊥ B C$ ．

(1)、请用尺规作图在 $B C$ 边上求作一点P，使得点P到 $A C$ 的距离等于 $B P$ 的长．（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若 $∠ C = 45 °, A D = 2, P C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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20、如图，在 $△ O A B$ 中，点 $B$ 的坐标是 $(0, 4)$ ，点 $A$ 的坐标是 $(3, 1)$ ．

(1)、画出将 $△ O A B$ 向下平移 $4$ 个单位长度，再向左平移 $2$ 个单位长度后的 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ ；

(2)、画出将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ O A_{2} B_{2}$ ；

(3)、在平面内有一点 $D$ ，当以 $O ， A ， B ， D$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $D$ 的坐标；

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摸球的次数n	100	200	300	500	800	1000	3000
摸到白球的次数m	a	124	178	302	481	599	1803
摸到白球的频率mn	0.65	0.62	0.593	0.604	0.601	0.599	b

x.	1	2	3	4	5
y	50	100	150	200	250