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1、如图， $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $D E$ 分别交边 $A B$ 、 $A C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点，若 $A D : D B = 2 : 3$ ， $A E = 4$ ，则 $E C$ 的值为（）

A、6 B、4 C、10 D、3

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2、【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， D是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

(1)、【方法探索】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 $A D$ 到点E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．这样就能把线段 $A B, A C, 2 A D$ 集中在 $△ A B E$ 中．请根据小明的方法思考：
①补全图形，由已知和作图能得到 $△ A D C ≅ △ E D B$ 的理由是______；
A. $SSS$ ；B. $SAS$ ；C. $AAS$ ；D. $ASA$
②利用三角形的三边关系可以确定 $A E$ 的取值范围，从而可以得到 $A D$ 的取值范围是______．

(2)、【问题解决】
由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
①如图2，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $A E$ 是 $△ A B D$ 的中线， $C D = A B$ ， $∠ B D A = ∠ B A D$ ，证明 $A C = 2 A E$ ；
②如图3， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点A分别向外作 $A E ⊥ A B$ 、 $A F ⊥ A C$ ，使得 $A E = A B$ ， $A F = A C$ ，直接写出线段 $E F$ 与 $A D$ 的关系．

(3)、【问题拓展】
我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
①如图4，已知 $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以 $A B, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ ，正方形 $A C F G$ ，连接 $E G$ ．求证： $△ A B C$ 与 $△ A E G$ 为偏等积三角形；
②如图5，将 $△ A B C$ 分别以 $A B, B C, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ ，正方形 $B C F G$ ，正方形 $A C M N$ ，连接 $D G, F M, N E$ ，则图中有______组偏等积三角形．

(4)、【综合运用】
如图6，四边形 $A B E D$ 是一片绿色花园， $△ A C B$ 、 $△ D C E$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° (0 < ∠ B C E < 90 °)$ ，已知 $B E = 60 m$ ， $△ A C D$ 的面积为 $2100 m^{2}$ ，计划修建一条经过点C的笔直的小路 $C F$ ，点F在 $B E$ 边上， $F C$ 的延长线经过 $A D$ 的中点 $G$ ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，垂足分别是 $E ， F ， B E = C F$ ．
求证：

(1)、 $D E = D F$ ；

(2)、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图，求作 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点E；（保留作图痕迹）

(2)、由（1）可知点E到 $A B, B C$ 的距离相等，依据是______；

(3)、取 $B C$ 边的中点D，连接 $A D$ ，画出 $A D$ 边上的高 $B F$ ；

(4)、若 $△ A B C$ 的面积是20， $A D = 8$ ，则 $B F =$ _____．（直接写出结果）

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5、（1）计算： $(2 a - 3 b) (a + 2 b)$ ；
（2）先化简，再求值： $(2 x + 1)^{2} - (2 x + 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = - \frac{1}{4}$ ．

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6、已知：如图，C是 $A E$ 的中点， $∠ B = ∠ D ， B C ∥ D E$ ．
求证： $A B = C D$

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7、计算：

(1)、 $3 a (5 a - 2)$ ；

(2)、 $a \cdot a^{3} - {(a^{2})}^{2} + a^{6} \div a^{2}$ ；

(3)、 $(6 x^{4} - 8 x^{3}) \div (- 2 x^{2})$ ．

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8、在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式 $(a + b)^{n}$ 的系数规律，如图．
当式子 $x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ 的值为 $1$ 时， $x$ 的值为．

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9、如果关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + (m + 1) x + 4$ 是完全平方式，那么 $m$ 的值为．

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10、若 $(x^{2} - m) x + 4 x$ 的展开式中只含有 $x^{3}$ 项，则m的值为．

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11、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ ， $A C = D F$ ， $B F = C E$ ，当添加一个条件时，就可得到 $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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12、约分： $\frac{- 10 m n^{2}}{15 m^{2} n} =$ ．

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13、如图，已知 $∠ A O B = 58 °, C$ 为射线 $O B$ 上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点 $O$ 为圆心，任意长为半径作弧，交 $O A$ 于点 $D$ ，交 $O B$ 于点 $E$ ；②以点 $C$ 为圆心， $O D$ 为半径作弧，交 $O C$ 于点 $F$ ；③以点 $F$ 为圆心， $D E$ 为半径作弧，交上一步作的弧于点 $G$ ；④连接 $C G$ 并延长，交 $O A$ 于点 $H$ ．则 $∠ A H C$ 的度数为（）．

A、 $58 °$ B、 $64 °$ C、 $61 °$ D、 $116 °$

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14、如图， $∠ M O N = 45 °$ ，点A，点B在射线 $O M$ 上．将线段 $O A$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $O C$ ，连接 $C B$ ，过点A作 $B C$ 的垂线，垂足为H，交射线 $O N$ 于点D．

(1)、依题意补全图形，若 $∠ C B O = α$ ，求 $∠ A D O$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、过点B作 $A D$ 的平行线交射线 $O N$ 于点E，用等式表示线段 $A D$ ， $B C$ 与 $B E$ 的数量关系，并证明．

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 m x - 1$ 经过点 $P (- 1, 2 m - 2)$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、已知点 $A (- m - 1, y_{1})$ ， $B (2 m + 4, y_{2})$ 在此抛物线上．
①当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围；
②当 $- 1 < m < 1$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $- 1$ 的大小，并说明理由．

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16、足球比赛中引入 $V A R$ 技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的 $V A R$ 系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点 $O$ 处起脚射门，守门员位于点A， $O A$ 的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点 $O$ 的水平距离x（m）与离地高度y（m）的 $V A R$ 数据如下表：
x/m
…
9
12
15
18
21
…
y/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
以点 $O$ 为坐标原点，直线 $O B$ 为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)、根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 $y =$ m；足球落地时， $x =$ m；

(2)、求y关于x的函数解析式；

(3)、当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度 $2.6 m$ 时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时， $x = 24 m$ ，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点D，交 $A B$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于F．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 12$ ， $⊙ O$ 的半径为5，求 $D F$ 的长．

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18、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 18 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x - 16 = 0$

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19、如图， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $B$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点，且 $∠ A B C = 30 °$ ，若点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A C$ 、 $B C$ 的中点，若 $A C$ 长为 $2$ ，则 $D E$ 的最大值是．

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20、已知抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + k$ （ $a > 0$ ， $a, k$ 为常数）， $A (- 3, y_{1})$ ， $B (3, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ 是抛物线上三点，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 由小到大依次排列为．

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x/m	…	9	12	15	18	21	…
y/m	…	4.2	4.8	5	4.8	4.2	…