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1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、如图， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ，且 $A B ∥ C D$ ，连接 $O B, O C$ ，延长 $C O$ 交 $⊙ O$ 于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ∥ O B$ 交 $C D$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $O B = 6 cm, O C = 8 cm$ 时，求 $⊙ O$ 的半径及 $M N$ 的长；

(3)、当 $⊙ O$ 半径 $r = \sqrt{2} cm$ 时，令 $B E = a, C G = b, m = \frac{2}{2 + a} + \frac{2}{2 + b}$ ．
①求证： $m > 1$ ；
②令 $n = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ，比较 $m$ 与 $n$ 的大小，并说明理由．

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3、我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“ $H$ 函数”，其图象上这一点，称为“ $H$ 点”．例如：“ $H$ 函数” $y = 3 x - 2$ ，其“ $H$ 点”为 $(1, 1)$ ．

(1)、在下列关于 $x$ 的函数中，（请填写对应序号）是“ $H$ 函数”．
① $y = x - 3$ ；② $y = - \frac{1}{5} x + 1$ ；③ $y = x^{2} - 2 x$ ．

(2)、若点 $A$ ，点 $B$ 是“ $H$ 函数” $y = x^{2} - (2 m + 1) x + {(m - 1)}^{2}$ （其中 $m >$ 0）上的“ $H$ 点”，且 $8 \sqrt{2} \leq A B \leq 10 \sqrt{2}$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若“ $H$ 函数” $y = \frac{1}{4} x^{2} + (m - k + 2) x + n + k - 1$ 的图象上存在唯一的一个“ $H$ 点”，且当 $- 1 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值．

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4、如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (2, 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；

(2)、在抛物线上有一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $Q$ ，若 $△ A P Q$ 是等腰直角三角形，求点 $P$ 的坐标．

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5、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1, 1), B (4, 1), C (3, 3)$ ．

(1)、①点 $B$ 关于原点 $O$ 中心对称点的坐标为（，）；
②将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $y$ 轴上一动点，则 $P A + P C$ 的最小值等于．

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6、计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + |1 - \sqrt{3}| - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - {(π - 2025)}^{0}$ ．

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7、若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度，得到的新抛物线关于 $y$ 轴对称．则下列说法正确的是．（填序号）
$①$ $\frac{b}{a} = 2$ ；
$②$ 当 $\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ 时，代数式 $a^{2} + b^{2} - 5 b + 8$ 的最小值为 $3$ ；
$③$ 对于任意实数 $m$ ，不等式 $a m^{2} + b m - a + b \geq 0$ 一定成立；
$④$ $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 为该二次函数图象上任意两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ．当 $x_{1} + x_{2} + 2 > 0$ 时，一定有 $y_{1} > y_{2}$ ．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，如果它的一个外角 $∠ D C E = 63 °$ ，那么 $∠ B O D$ 的度数为．

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9、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 $5 cm$ ，瓶内液体已经过半，截面圆中弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{21}$ ，则最大深度 $C D$ 的长为．

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10、一次函数 $y = a x + b$ 的图象如图所示，则关于x的方程 $a x + b = 0$ 的解是 $x =$ ．

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11、A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（）

A、A B、B C、C D、D

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12、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 的两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $x_{1} + x_{2} = - x_{1} x_{2}$ ，则k的值是（）

A、2或0 B、0 C、2 D、1

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13、如图，将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，若 $∠1=30°$ ，则 $∠2=$ （）

A、 $135°$ B、 $150°$ C、 $105°$ D、 $125°$

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14、如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ B = 30 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $52 °$ 得到 $△ A$ ^' $O B$ ^' ，边 $A$ ^' $B$ ^'与 $O B$ 交于点 $C$ （ $A$ ^'不在 $O B$ 上），则 $∠ A' C O$ 的度数为（　　）

A、 $22 °$ B、 $52 °$ C、 $60 °$ D、 $82 °$

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15、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（　　）

A、44° B、22° C、46° D、36°

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16、十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知关于x的二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ （实数b，c为常数）．

(1)、若二次函数的图象经过点 $(0, 4)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，求此二次函数的表达式；

(2)、记关于x的二次函数 $y_{2} = 2 x^{2} + x + m$ ，若在（1）的条件下，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，总有 $y_{2} \geq y_{1}$ ，求实数m的最小值．

(3)、若 $b^{2} - c = 0$ ，当 $b - 3 \leq x \leq b$ 时，二次函数 $y_{1}$ 的最小值为21，求b的值．

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18、一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方 $12 m$ 的 $O$ 处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为 $8 m$ 时，足球达到最高点，此时球离地面 $4 m$ ．已知球门高 $A B$ 为 $2.44 m$ ，以 $O$ 为原点建立如图所示平面直角坐标系．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）；

(3)、对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方 $2.31 m$ 处？

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19、我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

(1)、本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________ $%$ ， “文学社团”所对应的圆心角度数为________．

(3)、现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率．

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20、在“探索二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： $A (0, 1)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (4, 1)$ ， $D (3, 2)$ ，如图所示．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 $y = a x^{2} + b x + c$ ．

（1）嘉嘉画出过点A，D，C时的二次函数图象，对应的二次项系数记为 $a_{1}$ ，淇淇画出过点B，D，C时的二次函数图象，对应的二次项系数记为 $a_{2}$ ，则 $a_{1}$ 与 $a_{2}$ 的大小关系是；
（2） $a + b + c$ 的最大值为．

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