相关试卷

1、已知实数a，b满足 $a + b = \frac{b + 1}{a}$ ，且 $a b \neq 0, a \neq 1$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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2、如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦，连接 $O B$ ， $O C$ ， $∠ A$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，则 $∠ A + ∠ O B C$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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3、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $D$ ，连接 $A D$ ，点 $P$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B P$ ．下列结论不正确的是（）

A、 $B P = A P$ B、 $B C = A D + B D$ C、 $∠ B P D = ∠ C$ D、 $∠ P B D = ∠ P D B$

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4、《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有 $x$ 辆车，有 $y$ 人，下面所列方程（组）正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 2 x + 9 \\ y = 3 (x - 2) \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 9 x + 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{array}$ C、 $2 x - 9 = 3 (x - 2)$ D、 $\frac{y + 9}{2} = \frac{y}{3} - 2$

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5、计算 ${(- 2 a^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $- 6 a^{6}$ B、 $- 6 a^{5}$ C、 $- 8 a^{6}$ D、 $- 8 a^{5}$

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6、下列说法正确的是（）

A、数据“3，5，4，1，5”的众数是5 B、为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查 C、两组数据的平均数相同，方差越大，说明数据的波动越小 D、海底捞月是必然事件

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7、如图，直线 $m ∥ n$ ，点A、B分别在直线n、m上，连接 $A B$ ，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，交直线 $m$ 于 $C$ ．若 $∠ 2 = 50 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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8、五个有理数在数轴上的对应点E，F，G，H，M的位置如图所示，点G表示的数的相反数所对应的点是（）

A、F B、G C、H D、M

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9、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = α$ ，点 $E$ 为直线 $A D$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 翻折得到 $△ F B E$ ．

(1)、如图1，当 $α = 90 °$ 时，点 $F$ 恰好落在四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上，连接 $A F$ ，求证： $A F \cdot D E = B E \cdot D F$ ；

(2)、如图2，当 $α = 90 °$ ， $B C = \frac{12}{13} A B$ 时，点 $F$ 恰好落在边 $C D$ 上，连接 $C E$ ，与 $B F$ 交于点 $G$ ，求 $\frac{F G}{B G}$ 的值；

(3)、如图3，当 $s i n α = 0.6$ ， $A B = 8$ ， $B C = 5$ 时，在翻折过程中，请探究 $C$ ， $D$ ， $F$ 三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出 $A E$ 的值，若不能，请说明理由．

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + 3 a x - 4 a (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、当 $S_{△ A B C} = 10$ 时，求抛物线的表达式；

(2)、在（1）的条件下，若点 $D$ 位于直线 $A C$ 下方的抛物线上，线段 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ，当 $\frac{D E}{B E}$ 最大时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、点 $F$ 坐标为 $(- 3, - 3)$ ，点 $G$ 坐标为 $(0, - 2)$ ，连接 $F G$ ，若抛物线 $y = a x^{2} + 3 a x - 4 a$ 与线段 $F G$ 有交点，求 $a$ 的取值范围．

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11、爱媛 $46$ 号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了 $4$ 亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均 $2000 k g$ /亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的 $60 %$ ．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均 $12$ 元/ $k g$ ，地头统货净收入 $10$ 元/ $k g$ ．

(1)、求销售总收入y（元）与地头统货销量 $x$ （ $k g$ ）之间的函数关系式；

(2)、若人工、化肥等种植成本为 $7000$ 元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (a, b)$ ， $B (c, d)$ 是抛物线 $y = - x^{2} + m x - n$ 上任意两点，当 $1 < a < 3$ ， $3 < c < 5$ 时，都有 $b < d$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = A B = 2 B C$ ， D为 $B C$ 的中点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ ， $A D$ 于点E，F，则 $\frac{E F}{A C} =$ ．

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14、如图，筝形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，已知直径 $A C ⊥ B D$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为．

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15、已知a是一元二次方程 $2 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $(a + 3) (1 - 2 a)$ 的值为．

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16、七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为度．

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17、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = a x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (1, 3 a)$ ， $B (b, - 1)$ 两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点 $D$ 位于点 $A$ 右侧，点E位于A，D两点之间．

(1)、求a，b和k的值；

(2)、当 $△ A C D$ 面积为3时，求点D的坐标；

(3)、将 $△ A D E$ 沿着射线 $A B$ 的方向平移后得到 $△ A^{'} D^{'} E^{'}$ ，当 $A E = D E$ 时，是否存在 $△ A^{'} D^{'} E^{'}$ 两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

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18、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为斜边 $A B$ 上一点， $⊙ O$ 是 $△ A C D$ 的外接圆，交 $B C$ 于点F，直径 $D E$ 交 $A C$ 于点G．

(1)、求证： $∠ C D E = ∠ B$ ；

(2)、若 $A C = B C$ ， $B F = 2$ ， $t a n ∠ A D E = \frac{1}{3}$ ，求 $C D$ 及 $E G$ 的长．

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19、在主题为“用数学丈量家乡美景，用数据读懂城市发展”的综合与实践活动中，某班兴趣小组测量了家乡犹如宝石的斜拉桥主塔的高度．如图，在测点A处安置测角器，测得点N的仰角 $∠ C B N = 55 °$ ，测得点O的仰角 $∠ C B O = 41 °$ ，已知测点A距离塔底M约为94米，求斜拉桥主塔的上塔柱 $O N$ 的高度．（结果精确到1米，参考数据： $s i n 55 ° \approx 0.82$ ， $c o s 55 ° \approx 0.57$ ， $t a n 55 ° \approx 1.43$ ， $s i n 41 ° \approx 0.66$ ， $c o s 41 ° \approx 0.75$ ， $t a n 41 ° \approx 0.87$ ）

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20、 $2026$ 马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、抽取的学生共有人，请补全条形统计图；

(2)、求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数；

(3)、若该校有学生 $3000$ 人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？

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