相关试卷

1、探索发现：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}; \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}; \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \dots$
根据你发现的规律，回答下列问题：

(1)、 $\frac{1}{4 \times 5} =$ ；

(2)、类比上述规律计算下列式子： $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{90}$ .

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2、小明在电脑上设计了一个有理数的运算程序，输入 $a$ ，加 $*$ 键，再输入 $b$ ，得到运算 $a * b = (a^{2} - b^{2}) \div (a - b)$ .

(1)、求 $(- 2) * 1$ 的值；

(2)、小刚在运用此程序计算时，屏幕上显示“该程序无法操作”，请你运用所学的数学知识猜想一下，小刚在输入数据时，可能出现什么情况？为什么？

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3、计算

(1)、(+13)+(-5)-(-7)

(2)、 $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}) \times （ - 36 ）$ （必须用分配律运算）

(3)、 $- 1^{4} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) \times \frac{1}{3} \times [2 - (- 3)^{2}]$

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4、把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“ $<$ ”连接起来.
$0,1 \frac{1}{2}, - 3, - (- 5), - |- \frac{3}{2}|, + (- 4 \frac{1}{2}) .$

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5、把下列各数填在相应的大括号内：
-10， $\frac{2}{3}$ ， 0，-0.6，4， $- 4 \frac{2}{7} .$
负分数集合{}；
正数集合{}；
非负整数集合{}.

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6、如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则 $a - b c$ 的值为.
2
a
0
-3
-1
1
b
3
C

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7、若 $|a + 3| + |b - 2| = 0$ ，则 $a + b$ 的值为.

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8、太阳光照射到地球表面所需的时间约是 $5 \times 1 0^{2}$ s，光的速度约是 $3 \times 1 0^{8}$ m/s，那么地球与太阳之间的距离约是m(结果用科学记数法表示)

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9、已知实数a， b， c，满足abc = 1，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} - \frac{c}{| c |}$ 的值为( )

A、1 B、1或3 C、1或-3 D、-1或-3

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10、若 $|a| = - a$ ，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a > 0$ B、 $a \geq 0$ C、 $a \leq 0$ D、 $a < 0$

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11、一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为 $(40 \pm 0.2)$ mm，任意取出2个，它们的直径最多相差( )

A、0.1mm B、0.2mm C、0.3mm D、0.4mm

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12、下列各个运算中，结果为负数的是( )

A、 $- (- 7)$ B、 $|- 4|$ C、 $- (+ 5.2)$ D、 ${(- 6)}^{2}$

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13、若-3+■= 1，则“■”表示的数为( )

A、- $\frac{1}{3}$ B、2 C、3 D、4

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14、阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \dots \dots$
小华在学习分式运算时，通过具体运算：
发现规律： $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ (n为正整数)，并证明了此规律成立.
应用规律：快速计算
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
材料二：根式化简
例1： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} \times (\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} \times (\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$
例2： $\frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5} \times (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \times (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}})$
任务一：化简：

(1)、化简： $\frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} =$

(2)、猜想： $\frac{1}{(2 n + 1) \sqrt{2 n - 1} + (2 n - 1) \sqrt{2 n + 1}} =_.$ （n为正整数).

(3)、任务二：应用(2)计算： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{49 \sqrt{47} + 47 \sqrt{49}}$

(4)、任务三：探究(4)已知 $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3 \times 5}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{5 \times 7}} + \dots + \frac{\sqrt{2025} - \sqrt{2023}}{1 + \sqrt{2023} + \sqrt{2025} + \sqrt{2023 \times 2025}}$ ，比较x 和y的大小，并说明理由.

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15、回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一.历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜.
【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究 .他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片(直角边分别为 a 、b，    斜边为c)   拼成如图1所示的图形.从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积=4个小三角形面
积+小正方形面积，从而得到等式 ${(a + b)}^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} a b + c^{2},$ 化简证得勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$
【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：

(1)、如图 1 ，若b=2a，     那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于.

(2)、如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3，b=5，那么空白部分的面积等于

(3)、如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积.

(4)、【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a 、b 、c  之间的关系吗?
请直接写出此等量关系式：  . (知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x=  定值k.)

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16、如右图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为12cm²和27cm²的正方形纸片A，B.

(1)、求原长方形纸片的周长.

(2)、写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积.

(3)、小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为25cm²的正方形纸片吗?请说明理由.

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17、如下图，在Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC， DB，且CD=4， BD=3.

(1)、求BC的长；

(2)、求证： △BCD是直角三角形.

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18、代入求值并化简：若 $\sqrt{a - 12} + \sqrt{12 - a} + ∣ b - 3 ∣ + {(c - 2)}^{2} = 0$
求 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - {(\sqrt{c} - \sqrt{a})}^{2}$ 的值.

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19、计算：

(1)、 $(1) \sqrt{24} \div \sqrt{3} - \sqrt{32}$

(2)、 $(2) \frac{\sqrt{75} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{1}{5}} \times \sqrt{20}$

(3)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(- 1)}^{2026} - {(π - 3.14)}^{0} + |\sqrt{9}|$

(4)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - \sqrt{5}) + (\sqrt{8} - \sqrt{6}) \div \sqrt{2}$

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20、如下图，在△ABC中， BD⊥AB， AD与BC相交于点O， AD=BC， ∠DCB=∠ADB， CD=2， $A B = 2 \sqrt{6},$ $S_{△ A B O} - S_{△ C D O}$ =.

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