相关试卷

1、如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)、【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $E F$ ，把纸片展平；
第二步：在 $A D$ 上选一点P，沿 $B P$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $P M ， B M$ ，根据以上操作，当点M在 $E F$ 上时， $∠ P B M =$ ___________ $°$ ；

(2)、【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 $A B C D$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $B Q$ ，当点M在 $E F$ 上时，求 $∠ M B Q$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为 $4$ ，改变点P在 $A D$ 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 $B P$ 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 $P M ， B M$ ，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $B Q$ ．当 $Q F = 1 cm$ 时，请求出 $A P$ 的长．

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2、已知 $▱ A B C D$ 中，一动点 $P$ 在 $A D$ 边上，以每秒1cm的速度从点 $A$ 向点 $D$ 运动．

(1)、如图，运动过程中，若 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，且满足 $A B = B P$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．


(2)、如图，在（1）的条件下，连结 $C P$ 并延长，与 $A B$ 的延长线交于点 $F$ ，连结 $D F$ ，若 $C D = 2 \sqrt{3} cm$ ，直接写出： $△ D P F$ 的面积为___________ ${cm}^{2}$ ．


(3)、如图，另一动点 $Q$ 在 $B C$ 边上，以每秒4cm的速度从点 $C$ 出发，在 $B C$ 间往返运动，两个点同时出发，当点 $P$ 停止运动时 $Q$ 点也停止，设运动时间为 $t (t > 0)$ ，若 $A D = 12 cm$ ，则 $t =$ ___________秒时，以 $P$ 、 $D$ 、 $Q$ 、 $B$ 为顶点的四边形是平行四边形．


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3、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $B E ∥ A C, C E ∥ D B$ ．
求证：四边形 $O B E C$ 是菱形．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5、下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 的顶点坐标为 $(2, - 8)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图1，点E为线段 $B C$ 上一点，过点E作 $E M ∥ y$ 轴，交x轴于点M，连接 $A E$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，当 $A E$ 平分 $∠ C E M$ 时，求直线 $A E$ 的解析式；

(3)、如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线 $A F$ 分别与y轴、直线 $B C$ 交于点D，E．若 $△ C A D$ ， $△ C D E$ ， $△ C E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，且满足 $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2}$ ，求点F的坐标．

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7、如图，点D在 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 的延长线上，点C在 $⊙ O$ 上，且 $A C = C D ， ∠ C A D = 30 °$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为2，求图中阴影部分的面积．

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E, F$ 分别是边 $A D, B C$ 上的点，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、请添加一个条件，使四边形 $B F D E$ 为菱形．（不需要说明理由）

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9、春节期间，人工智能题材新闻密集发酵， $D e e p s e e k$ 广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外 $A I$ 模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 $A$ ：决策类人工智能； $B$ ：人工智能机器人； $C$ ：语音类人工智能； $D$ ：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、①此次共调查了___________人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为___________ $°$ ；
②请将条形统计图补充完整；

(2)、将四个类型的图标依次制成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．

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10、对于一个正实数m，我们规定：用符号 $[\sqrt{m}]$ 表示不大于 $\sqrt{m}$ 的最大整数，称 $[\sqrt{m}]$ 为m的根整数，如： $[\sqrt{4}] = 2$ ， $[\sqrt{11}] = 3$ ．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次， $[\sqrt{11}] = 3 \to [\sqrt{3}] = 1$ ，这时候结果为1．现有如下四种说法：① $[\sqrt{5}] + [\sqrt{6}]$ 的值为4；②若 $[\sqrt{m}] = 1$ ，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．其中错误的说法有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上 $A, B$ 两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点 $C$ ，并分别找到 $A C$ 和 $B C$ 的中点 $D$ ， $E$ ．测得 $D E = 72 m$ ，则 $A, B$ 两处的距离为（）

A、 $108 m$ B、 $144 m$ C、 $156 m$ D、 $180 m$

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12、下列说法中，正确的是（）

A、为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查 B、一组数据 $- 1$ ， 2，5，3，7，7，4的中位数是3 C、明天的降水概率为 $90 %$ ，则明天下雨是必然事件 D、若平均数相同的甲、乙两组数据， $s_{甲}^{2} = 0.3$ ， $s_{乙}^{2} = 0.02$ ，则乙组数据更稳定

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13、下列计算正确的是（）

A、 $x^{9} \div x^{6} = x^{3}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$ C、 ${(x^{3})}^{3} = x^{6}$ D、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$

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14、（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ，若 $B E = B C$ ，过 $C$ 作 $C F ⊥ B E$ 交 $B E$ 于点 $F$ ， ①求证： $△ A B E ≌ △ F C B$ ；②若 $S_{矩形 A B C D} = 10$ 时，则 $B E \cdot C F =$ ___________．
（2）如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $cos A = \frac{3}{7}$ ，过 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥$ $A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $S_{菱形 A B C D} = 63$ 时，求 $E F \cdot B C$ 的值．
（3）如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在 $C D$ 上，且 $C E = 2$ ，点 $F$ 为 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过 $E$ 作 $E G ⊥ E F$ 交平行四边形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ，若 $E F \cdot E G = 7 \sqrt{3}$ 时，请直接写出 $A G$ 的长．

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15、如图，在五边形 $A B C D M$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ M A D = 30 °$ ， $B C = 6$ ， $A M = A B$ $= 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别为边 $A M ， B C$ 上的动点， $∠ E D F = 60 °$ ，连接 $E F$ ，当 $△ D E F$ 面积取得最小值时， $A E$ 的长为．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C = 8$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点F，过点F作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 于点E，则图中阴影部分的面积是．

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17、若 $m ， n$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $2 m^{2} + 4 n^{2} - 4 n + 2025$ 的值为．

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18、若 $3 x^{2} + 3 x y - 7 = 0$ ，则代数式 $(x + \frac{2 x y + y^{2}}{x}) \div \frac{x + y}{x^{2}}$ 的值为．

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19、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l$ 与反比例函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $B (m, 4)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的函数关系式；

(2)、直线 $y = - x$ 与反比例 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与直线 $l$ 交于点 $D$ ，连接 $B C$ ，点 $M$ 是直线 $l$ 上一动点，当 $S_{△ B C M} = 4 S_{△ O A D}$ 时，求点 $M$ 的坐标：

(3)、在（2）条件下，过点 $D$ 作 $D E ⊥ y$ 轴于点 $E$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，且 $∠ P D E = ∠ O D A$ ，请求出所有符合条件 $P$ 点的坐标（选一种情况写出解答过程）．

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20、如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ，连接 $B C$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥$ $B C$ 于点 $M$ ，交过点 $C$ 的直线于点 $G$ ，连接 $D A$ 并延长，交直线 $C G$ 于点 $N$ ，且 $A N = A G$ ．

(1)、求证： $G C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = \sqrt{7} ， O F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $A M$ 的长．

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