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1、如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 12$ ．点E，F分别在边 $A C ， B C$ 上，且 $A E = B F = 4$ ，动点 $P$ 从点 $F$ 出发沿射线 $F C$ 运动，以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $△ E F C$ 是等边三角形．

(2)、当点 $P$ 在线段 $F C$ 上运动时，求 $E C ， P C ， C M$ 之间的数量关系．

(3)、如图2，当点 $P$ 在线段 $F C$ 的延长线上运动时，
① $∠ A C M =$ _________ $^{°}$ ；
②如图3作 $C P = C F$ ，再以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ，证明： $E P ⊥ C M$ ．

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2、早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营 $A$ 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 $B$ 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线 $l$ 同旁的两个定点．
问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小．
解法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为线段 $A^{'} B$ 的长．

(1)、根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

(2)、应用：
①如图2，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，其内部有一点 $P, O P = 15$ ，在 $∠ A O B$ 的两边分别有C、D两点（不同于点 $O$ ），使 $△ P C D$ 的周长最小，请画出草图，并求出 $△ P C D$ 周长的最小值；
②如图3， $∠ A O B = 20 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = O N = 3$ ，点P，Q分别在 $O A 、 O B$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是________．

(3)、拓展：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 110 °, ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C, C D$ 上分别找一个点M，N，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ ________ $°$ ．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E, A C = A D, ∠ A C B = ∠ A D B$ ，点 $F$ 在 $E D$ 上， $∠ B A F = ∠ E A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A F D$ ；

(2)、若 $B E = F E$ ，求证：
① $A C ⊥ B D$ ；
②试探究 $A F$ 与 $C D$ 的位置关系．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ， A F$ 分别是 $△ A B C$ 的中线和高， $B E$ 是 $△ A B D$ 的角平分线．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $42, B D = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(2)、若 $∠ B E D = 40 °, ∠ B A D = 26 °$ ，求 $∠ D A F$ 的大小．

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5、如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．

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6、如图， $D$ 为 $Δ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $A C = 8$ ， $B C = 5$ ，则 $B D$ 的长为.

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(8, 2)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(6, 8)$ ，点 $D$ 在第一象限（不与点 $C$ 重合），且 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等，点 $D$ 的坐标是．

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8、如图，已知 $A B = 10, A C = 6, B D = 8$ ，其中 $∠ C A B = ∠ D B A = α$ ，点 $P$ 以每秒2个单位长度的速度沿着 $C \to A \to B$ 路径运动，同时，点 $Q$ 以每秒 $x$ 个单位长度的速度沿着 $D \to B \to A$ 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为 $t$ 秒．
①若 $x = 1$ ，则点 $P$ 运动路程始终是点 $Q$ 运动路程的2倍；
②若P，Q两点同时到达 $A$ 点，则 $x = 5$ ；
③若 $α = 90 °, t = 5, x = 1$ ，则 $P C$ 与 $P Q$ 垂直；
④若 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等，则 $x = \frac{4}{5}$ 或 $\frac{4}{11}$ ．
以上说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以顶点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接 $M N$ ，分别与边 $A B ， B C$ 相交于点D，E，若 $A C = 7$ ， $△ A E C$ 的周长为17，则 $B C$ 的长为（）

A、7 B、10 C、12 D、1

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10、一个零件的形状如图①，按规定 $∠ A$ 应等于 $90 °, ∠ B, ∠ D$ 应分别是 $20 °$ 和 $30 °$ ．嘉淇量得 $∠ B C D = 142 °$ ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？甲、乙、丙三人看完题目后分别给出了三种辅助线作法来证明嘉淇的结论．
甲：如图②，连接 $A C$ 并延长；
乙：如图③，延长 $D C$ 交 $A B$ 于 $M$ ；
丙：如图④，连接 $B D$ ．
则能成功证明嘉淇结论的是（）

A、只有甲 B、只有乙 C、只有丙 D、甲、乙、丙

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11、如图，若 $∠ E O C = 115 °$ ，则 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$ 等于（）

A、 $115 °$ B、 $180 °$ C、 $230 °$ D、 $360 °$

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12、图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）

A、①⑥ B、②④ C、③⑤ D、④⑥

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13、下列说法正确的是（）

A、全等图形的形状、大小都相同 B、两个圆是全等图形 C、两个形状相同的图形称为全等图形 D、面积相等的两个三角形是全等图形

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14、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C D ⊥ A B$ 垂足为 $D$ ．且 $A D > B D$ 点 $E$ 是边 $A C$ 上一动点(点 $E$ 不与点A、点C重合)，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ D E$ 交线段 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、如图①，求证： $C D \cdot B C = B F \cdot C E$ ．

(2)、如图②，若 $F C = F B, B D = 2, C D = 3$ ，求 $△ D C E$ 的面积．

(3)、若 $B D = 1, C D = 2, C F$ 交线段 $E D$ 于点 $G$ ，连接 $E F$ ，且 $△ E F G$ 与 $△ C D G$ 相似，请直接写出 $C E$ 的长．

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16、定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 $3$ 倍，则称这个点为“三倍点”，如： $A (1, 3), B (- 2, - 6), C (0, 0)$ 等都是“三倍点”．已知二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ （ $c$ 为常数）

(1)、若该函数经过点 $(1, - 6)$ ，求该函数表达式；

(2)、在（1）的条件下，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当 $t \leq x \leq t + 2$ 时，函数的最小值为 $- 6$ ，求 $t$ 的值；

(3)、在 $- 3 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出 $c$ 的取值范围．

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17、我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)、本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；

(3)、学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的 $2$ 名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率．

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18、如图是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)、图1中，请画出 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的中线 $B D$ ；

(2)、图2中，请画出 $△ B E F$ ，点E、F分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上，满足 $△ B E F ∽ △ B A C$ ，且相似比为 $1 : 3$ ．

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ 在射线 $A D$ 上运动，以 $B E$ 为直角边向右作 $Rt △ B E F$ ，使得 $∠ B E F = 90 °$ ， $B E = 2 E F$ ，连接 $C F$ ．
（1）当点 $F$ 恰好落在 $C D$ 边上时， $B F =$ ．
（2）当 $E F =$ 时， $C F$ 有最小值．

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20、点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，若 $△ B O D$ 的面积等于6， $S_{四边形 C D O E} =$ ．

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