相关试卷

1、阅读与思考

下面是小颖同学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

2025年10月17日晴

今天在课堂上，老师提出一个问题：已知线段 $A B$ ，作线段 $A B$ 的三等分点．

下面是我的两种作图思路（作图痕迹省略）及证明过程：

思路一：①如图1，作射线 $A E$ ；②在射线 $A E$ 上依次截取 $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ；③连结 $B C_{3}$ ；④过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} C ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点C，过点 $C_{2}$ 作 $C_{2} D ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点D，则点C，D即为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：根据作图，得 $C C_{1} ∥ D C_{2} ∥ B C_{3}$ ， $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ．

$∴ \frac{A C_{1}}{C_{1} C_{2}} = \frac{A C}{C D} = 1$ ， $\frac{C_{1} C_{2}}{C_{2} C_{3}} = \frac{C D}{B D} = 1$ ．（依据）

$∴ A C = C D = B D$ ．

∴点C，D为线段 $A B$ 的三等分点．

思路二：①如图2，以 $A B$ 为对角线作 $▱ A C B D$ ；②分别取 $A D$ ， $B D$ 边的中点E，F；③连结 $C E$ ， $C F$ 分别交 $A B$ 于点G，H，则点G，H为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：∵四边形 $A C B D$ 是平行四边形，

$∴ A D = B C$ ， $A C = B D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A C ∥ B D$ ．

$∵ A D$ ， $B D$ 的中点分别为E，F，

$∴ \frac{A E}{A D} = \frac{B F}{B D} = \frac{1}{2}$ ．

$∴ \frac{A E}{B C} = \frac{B F}{A C} = \frac{1}{2}$ ．

……

任务：

(1)、在思路一的证明过程中，“依据”的基本事实是___________．

(2)、请将思路二中的证明过程补充完整．

(3)、如图3，已知线段

M N

，在线段

M N

上求作一点O，使

\frac{M O}{O N} = \frac{2}{5}

．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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2、郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．

项目主题	景物高度的测量与计算
驱动问题	如何测量“豫楼”的高度
活动过程	方案说明	如图，某一时刻“豫楼” $A B$ 的影长为 $B E$ ，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线 $B E$ 行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A
	数据测量	$C D = G H = 1.5 m$ ， $D E = 2 m$ ， $D F = 12 m$ ， $F H = 2.5 m$ ， A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且 $A B ⊥ B H$ ， $C D ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ， $∠ A F B = ∠ G F H$
	计算	…
交流展示	…

请根据以上数据，计算“豫楼” $A B$ 的高度．

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3、某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场． $2022$ 年该校园农场所有农作物的产量为 $300kg$ ， $2024$ 年该校园农场所有农作物的产量达到 $363kg$ ．若其年平均增长率保持不变，估计 $2025$ 年该校园农场所有农作物的产量是多少．

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4、如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点均在格点上，其中点A的坐标为 $(0, 1)$ ，点D的坐标为 $(0, 3)$ ，且点B，C均在第一象限内．

(1)、请直接写出点C的坐标．

(2)、在x轴上方画出正方形 $A B C D$ 以点O为位似中心，放大到原来3倍的正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，并直接写出正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积．

(3)、若 $E (x, y)$ 是正方形 $A B C D$ 边上一点，经过（2）的变换后，点E的对应点为 $E^{'}$ ，请直接写出点 $E^{'}$ 的坐标．

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5、下面是小敏同学解方程

x^{2} - 9 = 2 (x - 3)

的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

解：方程左边因式分解，得 $(x + 3) (x - 3) = 2 (x - 3)$ ．第一步

方程两边都除以 $(x - 3)$ ，得 $x + 3 = 2$ ．第二步

解得 $x = - 1$ ．第三步

任务：

(1)、第一步方程左边因式分解的依据是___________．（用含a，b的式子表示）

(2)、小敏同学的解答过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．

(3)、请直接写出该方程正确的解．

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6、计算：

(1)、 $2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{27} - \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{5} - 1)}^{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，过点A作 $A D ∥ B C$ ，交 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C M$ 的平分线于点D，E是 $C D$ 上一点，过点E作 $E G ⊥ C M$ 于点G，延长 $G E$ 交 $A D$ 于点F．若 $C E = 2 D E$ ，则 $B G$ 的长为．

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8、照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离） $C E$ 为 $50mm$ ，测得像高（成像面上成像的高度） $M N$ 为 $35mm$ ．若测得物距（景物到相机摄像头的距离） $D E$ 为 $100m$ ，则景物 $A B$ 的高度为m．

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9、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + 8 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则该方程的根为．

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10、计算： $- \sqrt{6} \times \sqrt{3} =$ ．

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11、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点E，F，连结 $D E$ ， $D F$ ．若 $△ D E F$ 的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、26 D、27

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12、某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 2 A C$ ，以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交 $A B$ 边于点D；再以点B为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 边于点E，则 $\frac{C E}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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14、若两个相邻正偶数的积是 $224$ ，则这两个正偶数的和为（）

A、 $16$ B、 $30$ C、 $32$ D、 $34$

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15、2025年7月，山西省文化和旅游厅启动了“晋享清凉·活力一夏”山西好风光暑期大放送系列活动，长治市积极响应，在各景区推出丰富多彩的活动．如图所示是长治市部分景区的平面示意图，若将其放在平面直角坐标系中，表示黄崖洞和漳泽湖国家城市湿地公园两点的坐标分别为 $(1, 3)$ ， $(2, - 1)$ ，则表示八泉峡的点的坐标为（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(2, - 2)$

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16、若 $\frac{a}{4} = \frac{b}{3}$ ，则 $\frac{a - b}{a}$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 3$ D、 $- \frac{1}{3}$

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17、交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 $v = 16 \sqrt{d f}$ ，其中v表示车速（单位： $km / h$ ），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得 $d = 40 m$ ， $f = 0.9$ ，则肇事汽车行驶的速度约为（）

A、 $16 km / h$ B、 $32 km / h$ C、 $48 km / h$ D、 $96 km / h$

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18、一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 14$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 14$

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19、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = 2$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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20、阅读与思考
活动密码中的数学
密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“ $L d p d v w x g h q w$ ”，如果给一把破译它的“钥匙” $x - 3$ ，联想英语字母表中字母的顺序： $a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z$ ，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到 $x - 3$ 可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 $L d p d v w x g h q w \to I a m a s t u d e n t$ ．
这样就能把密文“ $L d p d v w x g h q w$ ”破译成明文“ $I a m a s t u d e n t$ ”，从而解读出密文的意思了．
请你研究以下问题：

(1)、基础破译题
已知破译“钥匙”为“ $x - 3$ ”，请将密文“ $N f g h j$ ”破译成明文．

(2)、反向编码题
已知编码“钥匙”为“ $x + 1$ ”，请将明文“ $g o o d$ ”编码成密文．

(3)、钥匙推理题
现有明文“ $m a t h$ ”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“ $p d w k$ ”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”（格式示例： $x - 3$ ）．

(4)、拓展延伸
规定字母对应英语字母表中的位置（ $a = 1 ， b = 2 ， \dots ， z = 26$ ），编码“钥匙”为“字母对应数字 $+ 5$ ，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“ $e a s y$ ”按照此规则编码成密文．

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