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1、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 交 $B C$ 的中点于D， $D E ⊥ A C$ ．求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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2、对于解方程 $3 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ ，小刚的做法如下：
解：等号右边因式分解，得 $3 {(x - 2)}^{2} = (x + 2) (x - 2)$ ， ……步骤①
等号两边同时除以 $(x - 2)$ ，得 $3 (x - 2) = (x + 2)$ ， ……步骤②
去括号，得 $3 x - 6 = x + 2$ ， ……步骤③
移项、合并同类项，得 $2 x = 8$ ， ……步骤④
系数化为 $1$ ．得 $x = 4$ ． ………步骤⑤

(1)、已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）．

(2)、请给出正确的解答过程．

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3、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有实数根，则实数m的取值范围为．

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4、如图，在 $Rt △ B A D$ 中，延长斜边 $B D$ 到点C，使 $D C = \frac{1}{2} B D$ ，连接 $A C$ ．若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $\tan ∠ C A D$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $x (6 + x) = 8$ B、 $6 {(1 + x)}^{2} = 8$ C、 $x (6 - 2 x) = 8$ D、 $x (6 - x) = 8$

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6、如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7、广州新机场于 $3$ 月 $25$ 日开工，总投资 $418$ 亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“ $418$ 亿”用科学记数法可以表示为（）

A、 $0.418 \times 10^{11}$ B、 $4.18 \times 10^{10}$ C、 $4.18 \times 10^{9}$ D、 $418 \times 10^{8}$

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8、下列四个数中，是负整数的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- 3$ D、7

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9、【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若 $a + b = 7$ ， $a b = 4$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
（3）若x满足 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ 的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地 $A B C D$ ， $A C ⊥ B D$ 于点E， $A E = D E$ ， $B E = C E$ ，该校计划在 $△ A E D$ 和 $△ B E C$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米， $A C = 18$ 米，求种草区域的面积和．

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10、如图，在四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $A B ， B C$ 上，已知 $A F ∥ C D$ 且 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证： $E F ∥ A D$ ；

(2)、若 $A F$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ D C B = 82 °$ ， $∠ 3 = 76 °$ ，求 $∠ E F B$ 的度数．

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11、若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $m = n$ ．

(1)、如果 $2 \times 8^{x} \times 16^{2} = 2^{15}$ ，求x的值；

(2)、已知x满足 $2^{2 x + 3} - 2^{2 x + 1} = 48$ ，求x的值．

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12、【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

(1)、如图1， $A B ∥ C D$ ， $P$ 是 $A B$ 、 $C D$ 之间的一点，连接 $B P$ 、 $D P$ ，试说明： $∠ B + ∠ D = ∠ B P D$ ；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过 $P$ 作 $P M ∥ A B$ ．
∵ $P M ∥ A B$ ．（辅助线的作法）
∴ $∠ B = ∠ B P M$ ．（__________________）
∵ $A B ∥ C D$ ．（已知）
∴ $P M ∥ C D$ ．（__________________）
∴ $∠ D = ∠ D P M$ ．（__________________）
∵ $∠ B P M + ∠ D P M = ∠ B P D$ ．（角的和差定义）
∴ $∠ B +$ ______ $= ∠ B P D$ ．（等量代换）

(2)、如图2，若 $A B ∥ C D$ ， $∠ B E P = 150 °$ ， $∠ P F D = 128 °$ ，则 $∠ E P F =$ ______°；

(3)、如图3， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 在 $A B$ 的上方，问 $∠ P E A$ ， $∠ P F C$ ， $∠ E P F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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13、先化简，再求值： $[(2 x + y) (2 x - y) + {(x - y)}^{2}] \div x$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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14、九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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15、下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（）

A、 $(x + y) (x - y)$ B、 $(- x + 2 y) (x + 2 y)$ C、 $(a - b) (- a + b)$ D、 $(- 2 m + n) (- 2 m - n)$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $B C = C D$ ，过点C作 $C E ⊥ A B$ 于点E， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点H，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点G．

(1)、求证： $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点D为 $A H$ 的中点，求证： $A D = B E$ ；

(3)、若 $\cos ∠ D B A = \frac{4}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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17、先化简： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{x + 1})$ ，并从 $- 1$ ， 0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．

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18、如图，点B坐标为 $(0, 4)$ ，点A为x正半轴上一动点， $B C ⊥ A B$ ，且 $△ A B C$ 面积为20，则 $O C$ 最大值为．

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19、如图，点A，B分别在 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴，点 $P$ 在 $x$ 轴上，若 $△ P A B$ 的面积为7，则 $k =$ ．

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20、如图为人行天桥的示意图，若高 $B C$ 长为 $10$ 米，斜道 $A C$ 长为 $30$ 米，则 $\tan A$ 的值为．

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