相关试卷

1、如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段 $A B$ 的两个端点都在格点上．

(1)、在图 $1$ 中画一个以 $A B$ 为边的平行四边形 $A B C D$ ，点 $C$ 、 $D$ 在格点上，且平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $15$ ；

(2)、在图 $2$ 中画一个以 $A B$ 为边的菱形 $A B E F$ （不是正方形），点 $E$ 、 $F$ 在格点上；

(3)、在图 $3$ 中的线段 $A B$ 上取一点 $C$ ，使得 $A C : A B = 2 : 7$

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2、小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段 $A B$ 表示一把小提琴的长度，点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点 $(B C > A C)$ ．若 $A B = 60 cm$ ，则 $B C$ 的长为 $cm$ ．（结果保留根号）

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3、如图，已知四边形 $A B C D$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A C ⊥ B D$ ， $A C = B D$ ，则四边形 $A B C D$ 是矩形 B、若 $A C ⊥ B D$ ， $A B = A D$ ， $C B = C D$ 则四边形 $A B C D$ 是菱形 C、若 $A B = B C = C D = A D$ ，则四边形 $A B C D$ 是正方形 D、若 $A D = B C$ ， $A B = C D$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形

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4、如图，在正方形 $A B C D$ 中，将线段 $A B$ 绕点A逆时针旋转 $α (90 ° < α < 180 °)$ 得到线段 $A E$ ，作 $∠ B A E$ 的角平分线交边 $C D$ 于点 $P$ ，连接 $E D$ 并延长交射线 $A P$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ．
图1 备用图

(1)、依题意补全图1，求 $∠ A F E$ 的大小；

(2)、写出线段 $E D$ 与 $C F$ 的数量关系，并证明；

(3)、连接 $C E$ ，点 $G$ 是 $C E$ 的中点， $A B = 2$ ，直接写出线段 $D G$ 的最小值．

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，M是 $O A$ 的中点，弦 $C D ⊥ A B$ 于点M，过点D作 $D E ⊥ C A$ 交 $C A$ 的延长线于点E．

(1)、连接 $A D$ ，则 $∠ A O D =$ _______；

(2)、求证： $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(3)、点F在 $\overset{⌢}{B C}$ 上， $∠ C D F = 45 °$ ， $D F$ 交 $A B$ 于点N．若 $D E = 6$ ，求 $F N$ 的长．

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6、如图， $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ．动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $C$ 两点同时出发，点 $P$ 沿边 $A C$ 向 $C$ 以每秒3个单位长度的速度运动，点 $Q$ 沿边 $B C$ 向 $B$ 以每秒4个单位长度的速度运动，当 $P$ ， $Q$ 到达终点 $C$ ， $B$ 时，运动停止．设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、①当运动停止时， $t$ 的值为　　．
②设 $P$ ， $C$ 之间的距离为 $y$ ，则 $y$ 与 $t$ 满足　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” $)$ ．

(2)、设 $Δ P C Q$ 的面积为 $S$ ，
①求 $S$ 的表达式（用含有 $t$ 的代数式表示）；
②求当 $t$ 为何值时， $S$ 取得最大值，这个最大值是多少？

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7、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、将 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

(3)、当 $- 1 < x < 2$ 时，结合图象直接写出函数值y的取值范围；

(4)、若直线 $y = k$ 与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．

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8、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$

(2)、 $2 x (x - 3) = x - 3$

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9、某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要间三人间.

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10、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在 $A C$ 中点D处建一个 $5 G$ 基站，其覆盖半径为 $300 m$ ，则这三栋楼中在该 $5 G$ 基站覆盖范围内的是．

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11、已知抛物线 $y = x^{2} - m x$ 与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是．

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12、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 35 °$ ， $∠ B A C = 70 °$ ，将绕点A逆时针旋转 $α$ 度（ $0 ° < α < 180 °$ ）后得到 $△ A D E$ ，点E恰好落在 $B C$ 上，则 $α$ 的值为．

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13、如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 2, 4)$ ， $B (1, 1)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} = b x + c$ 的解为．

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14、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + c$ ，若它的图象经过点 $A (- 2, y_{1}), B (4, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填>，<，或=）

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15、关于x的函数 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 1$ 的图象与x轴只有一个交点，则a的值是．

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 $A B C D$ 的顶点上，且它们的各边与正方形 $A B C D$ 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且 $0 < x \leq 10$ ，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（       ）


A、    B、    C、    D、

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17、某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入2.5亿元，预计2025年投入3.2亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $2.5 (1 + x) = 3.2$ B、 $2.5 (1 + 2 x) = 3.2$ C、 $2.5 + 2.5 (1 + x) + 2.5 {(1 + x)}^{2} = 3.2$ D、 $2.5 {(1 + x)}^{2} = 3.2$

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18、【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1， $A B C D$ 是一个正方形花园， $E$ ， $F$ 是它的两个门，且 $D E = C F$ ，要修建两条路 $B E$ 和 $A F$ ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】（1）如图，2，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ，过点A作 $B E$ 的垂线交 $C D$ 于点 $F$ ，垂足为点 $G$ ，若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $B E = 6$ ，求 $A F$ 的长．
【迁移探究】（2）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，作 $A E ⊥ B D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，求证： $\frac{A B}{A D} = \frac{B E}{C E}$ ．
【拓展应用】（3）如图4，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，作点 $A$ 关于 $B C$ 的对称点 $D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ，过点 $D$ 作 $C E$ 的垂线，交 $A C$ 于 $F$ ，垂足为 $G$ ，若 $E$ 为 $A B$ 中点，求 $D F$ 的长．

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19、在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 1$ 的图象．

(1)、补充表格中的y值；
x
…
$- 4$
$- 2$
$0$
$2$
$4$
…
$y = \frac{1}{4} x^{2} - 1$
…
$3$
________
________
________
________
…

(2)、在平面直角坐标系中画出 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 1$ 的图象；

(3)、结合图象，当 $- 2 < x < 4$ 时，y的取值范围为________．

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20、如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点， $△ O A B$ 的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹）

(1)、如图1，以点 $O$ 为位似中心画 $△ O D E$ ，使得 $△ O D E$ 与 $△ O A B$ 位似，且相似比为 $2 : 1$ ， $D$ ， $E$ 为格点；

(2)、在图1中作 $B H ⊥ A O$ ，交 $A O$ 于点 $H$ ；

(3)、如图2，在 $O A$ 边上找一点 $F$ ，使得 $A F = 3 O F$ ；

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x	…	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	…
$y = \frac{1}{4} x^{2} - 1$	…	$3$	________	________	________	________	…