相关试卷

1、将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题。
例如：若 $a + b = 3, a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值。
解：因为 $a + b = 3, a b = 1$ ，所以 $(a + b)^{2} = 9, a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9, 2 a b = 2$ ，可得 $a^{2} + b^{2} = 7$ 。根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x - y = 7, x y = 9$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(2)、若 $x$ 满足 $(2025 - x)^{2} + (2026 - x)^{2} = 25$ ，求 $(2025 - x) (2026 - x)$ 的值；

(3)、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 的顶点 $A, D, E$ 在一条直线上，两正方形的面积和是61 ，若 $A E = 11$ ，求图中阴影部分的面积。

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2、2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。“浙把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口。一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元。

(1)、请你求出 $A, B$ 两款门票的价格；

(2)、某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费 360 元购买 $A, B$ 两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。

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3、如图，已知 $A B / / C F, ∠ C D E = ∠ A B F, E G$ 平分 $∠ D E B$ 交 $A B$ 于点 $G$ 。

(1)、 $B F$ 与 $D E$ 是否平行？请说明理由。

(2)、若 $∠ C D E = 25^{\circ}, ∠ E B F = 40^{\circ}$ ，求 $∠ E G B$ 的度数。

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4、小马与小虎两人共同计算 $(2 x + a) (3 x + b)$ ，小马抄错为 $(2 x - a) (3 x + b)$ ，得到的结果为 $6 x^{2} - 13 x + 6$ ，小虎抄错为 $(2 x + a) (x + b)$ ，得到的结果为 $2 x^{2} - x - 6$ 。

(1)、原算式中的 $a, b$ 的值各是多少？

(2)、请你计算出原题的正确答案。

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5、如图，已知直线 $A B, C D$ 相交于点 $O, O E ⟂ A B, O$ 为垂足， $C D$ 平分 $∠ B O F$ 。

(1)、若 $∠ A O D = 62^{\circ}$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

(2)、若 $∠ A O D : ∠ E O F = 3 : 1$ ，求 $∠ C O E$ 的度数。

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6、用适当的方法解下列方程组。

(1)、 ${\begin{matrix} x = 1 - y, ① \\ 2 x - y = - 4; ② \end{matrix}$

(2)、 ${\begin{matrix} x + 3 y = 5, ① \\ 2 x - y = 3 。 ② \end{matrix}$

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7、计算：

(1)、 $- 3 a b \cdot {(- a^{2} c)}^{2} \cdot 6 a b^{2}$ ；

(2)、 $(1 + a) (1 - a) + a (a - 3)$ 。

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8、有两张等宽的长方形纸条，长分别为 $a, b$ 。如图，将长为 $a$ 纸条的 $\frac{1}{3}$ 与长为 $b$ 纸条的 $\frac{2}{5}$ 叠合在一起，形成长为 90 的纸条，则 $a + b =$ 。

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9、如图，直线 $M N / / P Q, A$ 是 $M N$ 上一点， $∠ M A C$ 的平分线交 $P Q$ 于点 $B$ 。若∠1=25°，∠2=126°，则∠3的度数是。

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10、已知 $5^{x} = m, 5^{y} = n$ ，则 $5^{2 x + 3 y}$ 可以用 $m, n$ 表示成。

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11、已知 $(x + p) (x + 3 q)$ 的乘积项中不含 $x$ 的一次项，则 $p$ 与 $q$ 满足的关系是

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12、如图，将 $△ A B C$ 沿直线 $l$ 向右平移得到 $△ F D E, B C = 8 c m, C D = 2 c m$ ，连结 $A F$ ，则 $A F =$ cm。

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13、把方程 $3 x - y = 2$ 改写成用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$ 。

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14、如图1，现有 2 个边长为 $a$ 的正方形， 1 个长为 $2 a$ ，宽为 $b$ 的长方形，将它们按图2放置。①②③三块阴影部分的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，若满足 $S_{3} - S_{1} = 3 S_{2}$ ，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系为（）

A、 $3 a = 2 b$ B、 $4 a = 3 b$ C、 $5 a = 3 b$ D、 $5 a = 4 b$

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15、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出的方程组应为（）

A、 ${\begin{matrix} 5 x - 2 y = 10, \\ 2 x + 5 y = 8 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 8, \\ 2 x + 5 y = 10 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 10 ， \\ 2 x + 5 y = 8 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 10, \\ 2 x - 5 y = 8 \end{matrix}$

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16、如图，把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处。若 $A B^{'} / / B D, ∠ A D B = 20^{\circ}$ ，则 $∠ B A F$ 的度数是（）

A、 $75^{\circ}$ B、 $70^{\circ}$ C、 $65^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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17、已知 $\frac{1}{2} x^{a - 1} y^{3}$ 与 $- π x^{- b} y^{2 a + b}$ 是同类项，那么 $a, b$ 的值分别是（）

A、 ${\begin{matrix} a = 2, \\ b = - 1 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} a = 2, \\ b = 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} a = - 2, \\ b = - 1 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} a = - 2, \\ b = 1 \end{matrix}$

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18、观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（）

A、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a (a + b) = a^{2} + a b$

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19、在跳远比赛中，某同学从点 $C$ 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示。测是线段 $A B$ 的长度作为他此次跳远的成绩（近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、两直线平行，内错角相等

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20、已知关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 x + m y = 0, \\ x - 2 y = 3 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = * \end{cases}$ ${\begin{matrix} x = 5, \\ y = *, \end{matrix}$ 其中 $y$ 的值被遮住了，但仍能求出 $m$ 的值是（）

A、10 B、-10 C、8 D、-2

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