相关试卷

1、已知关于x的方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、试说明：无论k取何值， $x = 2$ 都不可能是原方程的根．

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2、如图， $⊙ O$ 是四边形 $A B C D$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 25 °$ ，求 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、若点 $E$ 是弦 $B D$ 上一点，且点E是 $△ A B C$ 的内心，求证： $D A = D E$ ．

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3、解方程

(1)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 2 (5 - x)$

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4、11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽 $A B$ 约为 $5 \sqrt{2}$ 米，一球员从距B点 $5 \sqrt{2}$ 米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与 $A C$ 垂直的 $D C$ 方向带球．在直线 $D C$ 上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即 $∠ A P B$ 最大），则此时点P到点C的距离为米．

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5、如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为 $2 cm$ ，且 $O A ⊥ l$ ，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转 $60 °$ ，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为 $8 cm$ ，则门把手 $O A$ 扫过的区域面积为 ${cm}^{2}$ ．

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6、圆锥的底面圆直径为 $16 c m$ ，母线为 $10 c m$ ，则圆锥的侧面积为．

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7、如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示， $⊙ O$ 的直径为 $40 cm$ ，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C， $C P = 10 cm$ 毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交 $⊙ O$ 于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（）

A、 $\frac{40}{3} π$ B、 $\frac{50}{3} π$ C、 $20 π$ D、 $\frac{70}{3} π$

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8、已知两个正多边形的边数的比为 $4 : 1$ ，每个内角度数的比为 $5 : 2$ ，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为 $4 x$ 和x，列得方程： $(180 - \frac{360}{4 x}) : (180 - \frac{360}{x}) = 5 : 2$
小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为 $5 y$ 和 $2 y$ ，列得方程：
$\frac{360}{180 - 5 y} : \frac{360}{180 - 2 y} = 4 : 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、小明的方法正确 B、小芳的方法正确 C、两人都正确 D、两人都不正确

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9、关于方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有以下说法：①方程有一个解是 $x = 1$ ；②方程有两个实数根；③已知 $x = a$ 是方程的一个解，则 $2 a^{2} - 6 a + 5 = 3$ ，以上说法正确的是（）

A、①② B、②③ C、③ D、都不对

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10、如图， $⊙ O$ 的半径为3，在 $⊙ O$ 的内接四边形ABCD中， $∠ B = 52 °$ ， $∠ A C D = 32 °$ ，则 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于半径为1的 $⊙ O$ ，线段 $A B$ 及直线l，给出如下定义：若线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的对称线段 $A^{'} B^{'}$ 是 $⊙ O$ 的弦，则称线段 $A B$ 为 $⊙ O$ 关于直线 $l$ 的引入弦．

(1)、如图1，点 $A_{1} (- 2, 1)$ ， $B_{1} (0, 3)$ ， $A_{2} (1, 2)$ ， $B_{2} (3, 2)$ ， $A_{3} (2, - 1)$ ， $B_{3} (2, - 2)$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 中，是 $⊙ O$ 关于某条直线的引入弦的为__________．

(2)、如图2，点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ，点C在直线 $y = x + 2$ 上，若线段 $A B$ ， $A C$ 和 $B C$ 中，至少有一条线段是 $⊙ O$ 的引入弦，直接写出点 $C$ 的纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围．

(3)、如图3，线段 $M N$ 是 $⊙ O$ 关于直线 $y = - x + b$ 的引入弦，且 $M N = 1$ ．以点 $E (1, 1)$ ， $F (1, 2)$ ， $G (2, 2)$ ， $H (2, 1)$ 为顶点的正方形 $E F G H$ 与线段 $M N$ 有公共点，请直接写出b的取值范围．

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12、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $B M < A M$ ，点 $M$ 关于 $B C$ 所在直线的对称点是 $N$ ，连接 $C M$ ， $C N$ ，在 $A C$ 上取一点 $E$ 使得 $N E = N C$ ， $N E$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ M P N$ 的度数；

(3)、用等式表示 $B M$ 与 $A E$ 的数量关系并证明．

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13、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 与弦 $A B$ 交于点E， $E A = E B$ ，过点 $A$ 作射线 $A F$ 使得 $∠ C A F = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

(2)、延长 $C D$ 交射线 $A F$ 的反向延长线于点 $K$ ，若 $E D = 1$ ， $D K = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 1)$ 和 $B (0, - 1)$ ．

(1)、求该函数的表达式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = a x + 1 (a \neq 0)$ 的值小于函数 $y = k x + b$ 的值且大于0，直接写出 $a$ 的取值范围．

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15、三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器．
三等分角器的制作方法：
1．准备好薄铁片；
2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B$ 与半圆的半径相等， $B D$ 与半圆相切于点B．
三等分角器的使用方法：如图2，要将 $∠ E F G$ 三等分．首先将 $∠ E F G$ 的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边 $F E$ 经过点A，另一边 $F G$ 与半圆相切，最后连接 $F O$ ，则 $F B$ ， $F O$ 即完成了 $∠ E F G$ 的三等分．
请完成以下三等分角器的原理的证明．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B = O B = O C$ ， $B D$ 与半圆相切于点B， $F G$ 与半圆相切，连接 $F O$ ．
求证： $∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．
证明：
$∵ B C$ 为半圆的直径，点 $O$ 为半圆的圆心， $B D$ 与半圆相切于点 $B$ ，
$∴ B D ⊥ B O$ （__________）．（填推理依据）
又 $∵ A B = O B$ ，
$∴ F B$ 垂直平分 $A O$ ．
$∴ F A =$ __________．
又 $∵ F B ⊥ A O$ ，
$∴$ __________ $= ∠ O F B$ ．
$∵ F B$ ， $F G$ 与半圆 $O$ 相切，
$∴$ __________ $= ∠ O F G$ （__________）．（填推理依据）
$∴ ∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．

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16、2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大 $400 m^{2}$ ，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？

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17、已知二次函数 $y = (x + 3) (x + 1)$ ．

(1)、求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、填表，并画出此函数的图象；
x
…

…
y
…

…

(3)、若点 $A (0, y_{1})$ 和 $B (n, y_{2})$ 都在此函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，结合函数图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

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18、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根．

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19、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于点 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $M (0, 4)$ ， $N (0, 16)$ 两点，则点 $P$ 的坐标是．

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20、如图，OA是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ ， D是 $⊙ O$ 上一点，且点 $D$ 在优弧BC上．若 $∠ A D B = 26 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为 $°$ ．

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x	…						…
y	…						…