相关试卷

1、若 $\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix}$ 是关于x、y的方程2x+ay＝6的解，则a的值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、如图，已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ ， $F$ 分别从点 $A$ ， $C$ 同时出发沿 $A D$ ， $C B$ 向终点 $D$ ， $B$ 运动，点 $E$ 和点 $F$ 的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点 $E$ 的运动时间为 $x$ 秒，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，若 $x = \frac{1}{3}$ ，此时 $E F =$                ；

(2)、设 $E F$ 的长为 $y$ ，小明对 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式进行了探究．
①请求出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；
②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，其中点 $A$ 为函数图象的最低点，则点 $A$ 的坐标为               ；

(3)、当 $E F = A E + C F$ 时， $x$ 的值为               ；

(4)、连接 $B E$ ，当 $△ B F E$ 为等腰三角形时，请求出所有符合条件的 $x$ 的值．

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3、阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、拓展：①已知方程 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$ ，若设 $x + \frac{1}{x} = n$ ，可将原方程化为关于 $n$ 的方程：；
②解方程： $\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x} + 1} - 5 = 0$ ．

(3)、应用：如图，已知矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 8 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，小华把一根长为 $10 m$ 的绳子的一端固定在点 $B$ ，沿草坪边沿 $B A$ ， $A D$ 走到点 $P$ 处，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点 $P$ ，然后沿草坪边沿 $P D$ 、 $D C$ 走到点 $C$ 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ ．求 $A P$ 的长．

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4、已知 $△ A B C$ 是直角三角形且 $∠ A = 90 °$

(1)、如图1，点 $D$ 在 $A C$ 上， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是边 $A B$ 和 $B C$ 上的点，请使用尺规作图作菱形 $B E D F$ （不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形 $B E D F$ 为菱形．

(2)、如图2，在（1）的条件下，连接 $B D$ 和 $E F$ 相交于点 $O$ ，若 $A E = 3$ ， $A D = 4$ ，求菱形 $E B F D$ 对角线 $E F$ 的长．

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5、为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生
设未知量
所列方程
小丽
设甲型机器人的数量为 $x$ 台
$\frac{200}{x} = \frac{120}{\frac{1}{2} x} - 5$
小亮
设每台甲型机器人的价格为 $y$ 万元
（请补充）

(1)、请写出小亮所列的方程；

(2)、若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？

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6、如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ， $∠ B = 60 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，连接 $A E$ ，点 $B$ 关于 $A E$ 的对称点 $F$ 恰好在边 $C D$ 上 $(D F > C F)$ ，此时 $C F =$ ．

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，连接 $B D$ ，若 $∠ B D C = 90 °$ ， $C D = 2$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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8、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 为 $C D$ 上的点，且 $F G = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $O F$ ， $E G$ ．若 $▱ A B C D$ 的面积为60，则图中阴影部分面积是．

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9、如图，用正方形纸片 $A B C D$ 进行如下操作：
第一步：对折正方形纸片使得点 $A$ 和点 $C$ 重合，展开，折痕为 $B D$ ，连接 $B D$ ；
第二步：过点 $D$ 折叠纸片，使点 $C$ 落在 $B D$ 上，点 $C$ 的对应点为点 $F$ ，展开，折痕为 $D E$ ；
第三步：过点 $F$ 折叠纸片，使得点 $B$ 和点 $E$ 重合，展开，折痕为 $G K$ ；
则矩形 $G K C D$ 的长宽比 $(G K : G D)$ 为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 4$ ，作 $∠ A B C$ 的角平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $B E$ 的垂线交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $B E = 6$ ，则 $C F$ 的值为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为 $x$ 斛，1个小容器的容量为 $y$ 斛，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} 5 x + y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 5 x - y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 5 x + y = 3 \\ x - 5 y = 2 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 5 x - y = 3 \\ x - 5 y = 2 \end{matrix}$

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12、下列运算正确的是（）

A、 $m^{3} - m^{2} = m$ B、 ${(m^{2})}^{3} = m^{6}$ C、 $m^{9} \div m^{3} = m^{3}$ D、 $2 m \cdot 3 m = 6 m$

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13、已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若满足 $|x_{1} - x_{2}| = 1$ ，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

(1)、下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
① $x^{2} - x = 0$ ；② $x^{2} - 4 x - 5 = 0$

(2)、已知关于x的方程 $x^{2} + 2 a x = 0$ 是“差根方程”，求a的值．

(3)、已知 $△ A B C$ 是直角三角形，斜边 $B C$ 的长为 $\sqrt{7}$ ，若 $△ A B C$ 的两边 $A B$ 、 $A C$ 的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．

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14、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，E是 $C D$ 边的中点，连接 $O E$ ．过点O，E作直线 $B C$ 的垂线，垂足分别为F，G．

(1)、求证：四边形 $O E G F$ 是矩形；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则矩形 $O E G F$ 的面积为______．

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15、已知点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C 上$ 的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图；

(1)、在图1中画出三角形 $A B E$ 平移后得到的三角形 $F D G$ ，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G．

(2)、连接 $B D$ ，在图2中画出与三角形 $A B E$ 关于直线 $B D$ 成轴对称的图形．

(3)、点 $O$ 是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形 $A B E$ 绕着点O旋转，使得线段 $A B$ 与线段 $A D$ 重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形 $A B E$ 旋转后得到的三角形．

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16、完成下列小问．

(1)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 (x + 1) \leq 7 x + 13 \\ x - 2 < \frac{2 x - 5}{3} \end{array}$ ；

(2)、解方程： $x (x - 5) = 2 x - 10$ ．

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17、如图1，动点 $P$ 从菱形 $A B C D$ 的点 $A$ 出发，沿边 $A B \to B C$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ， $P O$ 的长为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，当点 $P$ 运动到 $B C$ 的中点时， $P O$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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18、下列从左到右的变形是因式分解的是（）．

A、 $4 y z - 2 y^{2} + z = 2 y (2 z - y) + z$ B、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ C、 $x (x - y) - y (x - y) = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{3} - 3 x^{2} + x = x (x^{2} - 3 x)$

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19、下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、综合探究：
“在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求 $△ A B C$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求 $△ A B C$ 面积的方法叫做构图法．

(1)、直接写出图1中 $△ A B C$ 的面积是________；

(2)、若 $△ D E F$ 的三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{17}$ 、 $2 \sqrt{2}$ ，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的 $△ D E F$ ，并写出它的面积________．

(3)、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，且 $a + b = 3$ ，求 $\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} + 9}$ 的最小值．
小明同学发现 $\sqrt{a^{2} + 1}$ 可看作两直角边分别为 $a$ 和1的直角三角形的斜边长， $\sqrt{b^{2} + 9}$ 可看作两直角边分别是 $b$ 和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段 $C D$ 的长，如图， $A E = a$ ， $B E = b$ ， $A C = 1$ ， $B D = 3$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，则 $C E$ 、 $D E$ 的长分别表示为 $\sqrt{a^{2} + 1}$ ， $\sqrt{b^{2} + 9}$ ．由于 $C E + E D \geq C D$ ，当 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共线时，取等号，所以只要求出 $C D$ 的长，就可以解决问题．请在图3中，求出 $C D$ 的长，并说明理由．所以 $\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} + 9}$ 的最小值是________．

(4)、拓展应用：求代数式： $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ （ $0 \leq x \leq 4$ ）的最小值．

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学生	设未知量	所列方程
小丽	设甲型机器人的数量为 $x$ 台	$\frac{200}{x} = \frac{120}{\frac{1}{2} x} - 5$
小亮	设每台甲型机器人的价格为 $y$ 万元	（请补充）