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1、如图①,P 是线段 AB 上的一点,在 AB 的同侧作△APC 和△BPD,使∠APC=∠BPD,PC=PA,PD=PB,连接CD,点E,F,G,H 分别是AC,AB,BD,CD 的中点,顺次连接E,F,G,H.(1)、猜想四边形 EFGH 的形状,直接回答,不必说明理由.(2)、当点 P 在线段AB 的上方时,如图②,在△APB 的外部作△APC 和△BPD,其他条件不变,(1)中结论还成立吗?说明理由.(3)、如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图③,再判断四边形 EFGH 的形状,并说明理由.
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2、如图,ABCD 是边长为6 的正方形,点E 在边AB上,BE=4,过点 E 作EF∥BC,分别交 BD,CD 于G,F 两点.若M,N 分别是DG,CE 的中点,则MN 的长为( ).A、3 B、 C、 D、4
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3、如图,在△ABC 中,∠B =2∠C,AD⊥BC 于点 D,M 为 BC 的中点,AB=10cm,则MD 的长为.
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4、某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与B,C重合),以AD 为边在AD 右侧作正方形 ADEF,连接CF.(1)、观察猜想
如图①,当点 D 在线段 BC上时,
①BC 与CF 的位置关系为;
②BC,CD,CF 之间的数量关系为(将结论直接写在横线上).
(2)、数学思考如图②,当点 D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的结论①、②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)、拓展延伸如图③,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G,连接GE,若已知AB= , , 请求出GE 的长.
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5、【问题解决】
如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE=AF,DE⊥AF 于点G.
(1)、求证:四边形ABCD 是正方形.(2)、延长CB 到点 H,使得BH=AE,判断△AHF 的形状,并说明理由.(3)、【类比迁移】如图②,在菱形ABCD 中,点E,F 分别在边AB,BC上,DE 与AF 相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求 DE 的长.
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6、如图,在正方形ABCD中,E 是边AB上的一动点(不与点A,B 重合),连接DE,点A 关于直线DE 的对称点为 F,连接EF 并延长交BC于点G,连接DG,过点 E 作EH⊥DE 交 DG的延长线于点 H,连接BH.(1)、求证:GF=GC.(2)、用等式表示线段 BH 与AE 的数量关系,并证明.
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7、如图,在正方形ABCD 中,E 是DC 的中点,点 F 在BC 上,∠EAF=∠DAE,则下列结论中正确的是( ).A、∠EAF=∠FA B、B. C、AF=AE+FC D、AF=BC+FC
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8、如图,在正方形ABCD 外取一点E,连接AE,BE,DE,过点A 作AE 的垂线交DE 于点P.若AE=AP=1,PB= , 下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=.其中正确的序号是( ).A、①③④ B、①②⑤ C、③④⑤ D、①③⑤
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9、如图,正方形ABCD 的边长为6,点O 是对角线AC,BD 的交点,点 E 在CD 上,且DE=2CE,过点C 作CF⊥BE 于点 F,连接OF,则OF 的长为.
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10、8.在正方形ABCD 中,E 是边CD 上一点(点E 不与点C,D重合),连接BE.
[感知]如图①,过点 A 作AF⊥BE 交BC 于点 F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
(1)、 [探究]如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE 交BC 于点F,交AD 于点G.①求证:BE=FG.
②连接CM,若CM=1,则 FG 的长为 .(2)、[应用]如图③,取BE 的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE 交AD 于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE 的面积为. -
11、如图,在正方形ABCD中,AB=6,G 是BC 的中点.将△ABG 沿AG 对折至△AFG,延长GF 交 DC 于点E,则 DE 的长为( ).A、1 B、1.5 C、2 D、2.5
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12、如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点,过点 E 作EF⊥AB 于点F,EG⊥BC 于点G,连接DE,FG.下列结论:①DE=FG;②DE⊥FG;③∠BFG=∠ADE;④FG的最小值为3.其中正确的结论有( ).A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
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13、如图,在正方形 ABCD 中,E 为AB 的中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC 交BD 于点O,则∠DOC 的度数为( ).A、60° B、67.5° C、75° D、54°
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14、如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,点M 是边AD 上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD 于点N.若四边形 MOND 的面积是1,则AB 的长为.
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15、(1)、如图,四边形 ABCD 是正方形,E 是边 BC 的中点,∠AEF=90°,且EF 交正方形的外角∠DCG 的角平分线CF 于点 F.求证:AE=EF.(2)、变式思考:
⑴从特殊到一般
如图,当E 为 BC 上的任意一点或 BC 延长线上一点(除B 点外),其余条件不变,结论“AE=EF”还成立吗?
⑵推广原题
如图,将“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”,F 为∠ACG 的平分线上一点,则当∠AEF 等于多少时,结论“AE=EF”成立?
⑶考查逆命题
如图,已知正方形边 BC 在直线MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG,连接FC,求证:∠FCN=45°.
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16、如图,正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是DA 的中点,连接BE 与CF 相交于点 P.求证:AP=AB.
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17、(1)、如图①,已知正方形 ABCD 和正方形CGEF(CG>BC),B,C,G在同一直线上,M 为线段AE 的中点.探究:线段MD,MF的关系.(2)、如图②,若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°,使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上,M 为AE 的中点.试问:(1)中探究的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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18、如图,在▱ABCD中,点E 在边 BC上,连接AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD 于点 M. AF⊥BC,垂足为 F. BH⊥AE,垂足为 H,交AF 于点 N.点 P 是AD 上一点,连接CP.(1)、若 , , , 求△ACD 的面积.(2)、若AE=BN,AN=CE,求证: .
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19、如图,▱ABCD中,∠ACB=45°,点E 在对角线AC上,BE=BA,BF⊥AC 于点F,BF 的延长线交AD 于点G,点 H 在BC 的延长线上,且CH=AG,连接EH.(1)、若BC= , AB=13,求AF 的长.(2)、求证:EB=EH.
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20、如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BCF 都是等边三角形,则四边形AEFD 的面积为.