相关试卷

1、新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ 是函数 $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 1$ 的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数 $y = x^{2} + 4 x + 6 - n$ 都是函数 $y = x^{2} + 2 m x - 4 m$ 的“仰顶函数”，则n的取值范围（）

A、 $n < - 2$ B、 $n \leq - 2$ C、 $n > 2$ D、 $n \geq 2$

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2、如图， $P A$ ， $P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点A，B，若 $∠ P = 60 °$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $10π$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、10 B、15 C、20 D、30

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3、某年春晚舞台上十二花神节目火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化．其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、牡丹、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙．主持人随机从中抽取1位进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志．如图所示，“春笋”的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5、某年一季度我国线下消费呈现稳健回升、结构优化的态势，一季度我国线下消费支付金额同比增长 $3.4 %$ ，但石油及制品同比下降 $9.7 %$ ．若用 $+ 3.4 %$ 表示增长 $3.4 %$ ，则“下降 $9.7 %$ ”可表示为（）

A、 $- 9.7 %$ B、 $+ 9.7 %$ C、 $\pm 9.7 %$ D、 $↓ 9.7 %$

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6、【阅读理解】我们都知道， $\sqrt{3}$ 是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{3}$ 的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分，这个方法是因为 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分．
再比如，我们要估算一个体积为 $10 {cm}^{3}$ 的正方体魔方的棱长：
∵ $8 < 10 < 27$ ，即 $2 < \sqrt[3]{10} < 3$ ，
∴ $\sqrt[3]{10}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt[3]{10} - 2$ ．
根据上面问题的思路与方法，解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{10}$ 的整数部分是____，小数部分是___， $\sqrt[3]{28}$ 的整数部分是___；

(2)、【类比应用】如果 $\sqrt{6}$ 的小数部分为 $a, \sqrt[3]{17}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{6}$ 的平方根；

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7、如图，在一块长为 $11 m$ ，宽为 $8 m$ 的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移 $1 m$ 就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 $m^{2}$ ．

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8、如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 $\sqrt{2}$ 表示在数轴上点 $A_{1}$ 处，记 $A_{1}$ 右侧最近的整数点为 $B_{1}$ ，以点 $B_{1}$ 为圆心， $A_{1} B_{1}$ 为半径画半圆，交数轴于点 $A_{2}$ ，记 $A_{2}$ 右侧最近的整数点为 $B_{2}$ ，则 $A_{1} B_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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9、在下列各数中，是无理数的为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $3.141$

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10、
定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
特例感知：
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为 $60 °$ 的菱形．
性质探究：
（2）如图1， $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D = 2 θ$ ， $∠ B D O = θ$ ．
①求证：无论 $θ$ 取何值，四边形 $O B D C$ 一定为“勾股四边形”，
②若四边形 $A B D O$ 也为“勾股四边形”，且 $B D$ ， $O D$ 为勾股边，求 $θ$ 的值．
拓展应用：
（3）如图2， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 是等边三角形 $(A B > B D)$ ，连接 $A D$ ，当四边形 $A B E D$ 是以 $A B$ ， $A D$ 为勾股边的勾股四边形时，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $A D = 8$ ，求 $B E$ 的长．

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11、
【项目主题】
某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题．
【实验操作】
如图1，第一小组在线段 $A B$ 的垂直平分线 $C D$ 与轮廓线的最高点的交点 $C$ 处通过测量获得以下数据（单位：米）：
小组
线段1
线段2
线段3
第一小组
$C D = 4$
$A C = 8$
$B C = 8$
（1）任务 $1$ ：请根据第一小组的数据求 $∠ A C B$ 的度数．
【建立模型】
如图2，第二小组在轮廓线 $B C$ 段上选取 $E$ 点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），在河边 $A$ 和 $B$ 处分别测量 $E$ 点的仰角，测量获得以下数据：
小组
$A$ 测 $E$ 仰角
$B$ 测 $E$ 仰角
第二小组
$∠ α = 13 °$
$∠ β = 32 °$
（2）任务 $2$ ：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由．
如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式．
【解决问题】
（3）任务 $3$ ：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒 $T$ 型的限高杆（如图 $3$ 中虚线部分），若横杆 $G H$ 长度和竖杆长度 $C Q$ 之比为 $12 : 1$ ，那么此时横向限高杆 $G H$ 离水面 $A B$ 的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
（4）任务 $4$ ：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点 $D$ 处 $8$ 米的地面 $M$ 、 $N$ 处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图4所示，光线交汇点 $P$ 在点 $C$ 的正上方，求光线 $P N$ 与拱桥之间的距离．

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12、【阅读材料】
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图， $A$ ， $C$ 为墙壁上的固定点，摇臂 $C B$ 绕点 $C$ 旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚 $A B$ 可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 $C A = C B = C D = 1.5$ 米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 $α$ 的正切值．
时刻/时
12
13
14
15
角 $α$ 的正切值
5
2.5
1.25
$m$
【问题解决】

(1)、当 $∠ A C B = 90 °$ 时．
①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角 $D$ 处，求此时刻角 $α$ 的正切值 $m$ ．
②如图3，这天13时在点 $E$ 位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离 $D E$ ．

(2)、如图4，旋转摇臂 $C B$ ，使得点 $B$ 与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁 $C D$ 的最远距离应该小于多少米？

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13、覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省粤西地区的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用 $x$ （单位：cm）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图．
组别
$x$ /cm
A
$15 \leq x < 16$
B
$16 \leq x < 17$
C
$17 \leq x < 18$
D
$18 \leq x < 19$
E
$19 \leq x < 20$
根据所给信息，解答下列问题．

(1)、在甲品种扇形统计图中，D组对应的扇形的圆心角为多少度？

(2)、从乙品种芒果测量结果的D组数据中随机抽取8个数据，具体为：18.1，18.3，18.5，18.5，18.8，18.8，18.8，18.9．
这8个数据的众数是____________．
张明同学断定此数据为乙品种芒果D组测量数据的众数，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由．

(3)、结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定D组和C组的芒果为优级产品，B组和E组为基本合格产品，A组为次果．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由．

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14、每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元．

(1)、分别求七巧板和数独棋的单价．

(2)、若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？

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15、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 交 $B C$ 的中点于D， $D E ⊥ A C$ ．求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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16、对于解方程 $3 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ ，小刚的做法如下：
解：等号右边因式分解，得 $3 {(x - 2)}^{2} = (x + 2) (x - 2)$ ， ……步骤①
等号两边同时除以 $(x - 2)$ ，得 $3 (x - 2) = (x + 2)$ ， ……步骤②
去括号，得 $3 x - 6 = x + 2$ ， ……步骤③
移项、合并同类项，得 $2 x = 8$ ， ……步骤④
系数化为 $1$ ．得 $x = 4$ ． ………步骤⑤

(1)、已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）．

(2)、请给出正确的解答过程．

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17、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有实数根，则实数m的取值范围为．

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18、如图，在 $Rt △ B A D$ 中，延长斜边 $B D$ 到点C，使 $D C = \frac{1}{2} B D$ ，连接 $A C$ ．若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $\tan ∠ C A D$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $x (6 + x) = 8$ B、 $6 {(1 + x)}^{2} = 8$ C、 $x (6 - 2 x) = 8$ D、 $x (6 - x) = 8$

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20、如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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