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1、推理填空：如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ， $E D ∥ B C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $C D ⊥ A B$ ， $F G ⊥ A B$ （已知），
∴ $∠ C D B = ∠ F G B = 90 °$ ，
∴ $C D ∥ F G$ （①                              ），
∴②                $= ∠ 3$ （③                              ），
又∵ $D E ∥ B C$ （已知），
∴④                $= ∠ 3$ （⑤                              ），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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2、如图，在边长均为 $1$ 个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系 $x O y$ ，按要求解答下列问题：

(1)、写出 $△ A B C$ 三个顶点的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 向右平移 $6$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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3、解方程

(1)、 $x^{2} - 25 = 56$ ；

(2)、 ${(x + 2)}^{3} = 64$ ．

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4、计算：

(1)、 $- 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$ ；

(2)、 $2 (\sqrt{5} - 2) + \sqrt{25} - \sqrt[3]{27}$ ．

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5、如果 $\sqrt{a - 1} + |b + 2| = 0$ ，那么 ${(a + b)}^{2025}$ 的值为．

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6、在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(3, 2)$ ， $A B ∥ x$ 轴，且 $A B = 4$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(7, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(7, 2)$ 或 $(- 1, 2)$ D、 $(3, 6)$ 或 $(3, - 2)$

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7、已知直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 在同一平面内，若 $a ⊥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a$ 与 $c$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、无法确定

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8、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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9、在平面直角坐标系中，将点 $A (1, - 2)$ 向左平移 $3$ 个单位长度，再向上平移 $2$ 个单位长度后得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(4, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(4, - 4)$ D、 $(- 2, - 4)$

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10、若 $\sqrt[3]{x} = 2$ ，则x的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11、下列命题是真命题的是（）

A、相等的角是对顶角 B、同位角相等 C、同旁内角互补 D、平行于同一直线的两直线平行

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12、如图：直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点O， $O E$ 平分 $∠ A O D$ ，若 $∠ A O C = 50 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $115 °$ C、 $130 °$ D、 $155 °$

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13、点 $P (- 2, - 3)$ 所在的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 上一点（不与点 $A, B$ 重合），点 $G$ 在 $B D$ 上，且 $C G = E G$ ，连接 $A G$ ．

(1)、判断 $A G$ 与 $E G$ 的数量关系并证明；

(2)、求 $∠ G C E$ 的大小；

(3)、作点 $C$ 关于直线 $E G$ 的对称点 $P$ ，连接 $A P$ ．请补全图形，并直接用等式写出 $A D, A P, A E$ 之间的数量关系．

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15、阅读下述材料：
【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{1} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6}) (\sqrt{7} + \sqrt{6})}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小可以先将它们分子有理化如下： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ，
因为： $\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ，所以 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．
【材料2】求 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$ 的最大值．具体方法如下：
解：由 $x + 2 \geq 0$ ， $x - 2 \geq 0$ ，可解得： $x \geq 2$ ，而且 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2} = \frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$
故当 $x = 2$ 时，分母 $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$ 有最小值2，所以y的最大值是2．
请根据上述材料中的描述，解决下列问题：

(1)、比较大小： $\sqrt{15} - \sqrt{13}$ ______ $\sqrt{13} - \sqrt{11}$ ；（用“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”填空）；

(2)、填空： $y = \sqrt{1 + x} - \sqrt{x}$ ，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______；

(3)、若 $\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ ，求 $\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}$ 的值．

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16、
如图，某品牌自行车每节链条的长度为 $2.5 cm$ ，交叉重叠部分的圆的直径为 $0.8 cm$ ．设链条长度为 $y cm$ ，链条节数为 $x$ ．
链条节数 $x /$ 节
$2$
$3$
$4$
$\dots$
链条长度 $y / cm$
$4.2$
$m$
$n$
$\dots$
（1）观察图形，根据条件可求得表格中： $m =$ ______， $n =$ ______；
（2）根据条件，可求得 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为____________；
（3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由 $46$ 节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？

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17、已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 $A C = 80 cm$ ， $B C = 60 cm$ ，两轮轮轴的距离 $A B = 100 cm$ （购物车车轮半径忽略不计）， $D G$ 、 $E H$ 均与地面平行．

(1)、猜想两支架 $A C$ 与 $B C$ 的位置关系并说明理由；

(2)、若 $F G$ 的长度为 $80 cm$ ， $∠ E H G = 60 °$ ，求购物车把手 $F$ 到 $A B$ 的距离．

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18、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，且 $A E = C F$ ， $∠ B A C = ∠ D C A$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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19、已知 $y$ 与 $x$ 之间满足 $y = k (x - 3)$ ，且当 $x = 4$ 时， $y = 3$ ．求：

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当 $y = 6$ 时， $x$ 的值．

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20、计算： $(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) + \sqrt{54} - \sqrt{6}$ ．

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链条节数 $x /$ 节	$2$	$3$	$4$	$\dots$
链条长度 $y / cm$	$4.2$	$m$	$n$	$\dots$