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相关试卷

1、下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x - 3}$ B、y=2x-3 C、 $y = \sqrt{x - 3}$ D、 $y = x^{2} - 3$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O (0, 0), A (- 2, - 1), B (3, - 1), C (3, 3), D (- 2, 3)$ ，若点 $P$ 关于某直线 $l$ 的对称点落在长方形 $A B C D$ 内（不包含边界），则称点 $P$ 是长方形 $A B C D$ 的“ $l$ 封闭点”．

(1)、若点 $P (1, 2)$ 是长方形 $A B C D$ 的“ $l$ 封闭点”，则 $l$ 可以是__________．（填序号）
① $x$ 轴；② $y$ 轴；③一、三象限角平分线；④长方形 $A B C D$ 的对称轴．

(2)、若点 $Q (a, b)$ 是长方形 $A B C D$ 的“ $y$ 轴封闭点”，求点 $Q$ 横坐标 $a$ 的取值范围；

(3)、点 $H (m, m)$ 是直线 $l$ 上的动点，点 $M (0, - 9)$ ，点 $N (c, d)$ 是线段 $M C$ 上的一点，若点 $N$ 是长方形 $A B C D$ 的“直线 $l$ 封闭点”，求点 $N$ 的纵坐标 $d$ 的取值范围．

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3、阅读与思考

下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务．

×年×月×日星期日晴

巧用中线构造全等

数学问题：

数学课上，老师提出了如下问题：

如图1，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线， $A B = 2$ ， $B D = 1$ ，若 $B C$ 的长度为奇数，求 $B C$ 边的长度．

解决问题：

我通过小组交流，得到了如下解决方法：

如图2，延长 $B D$ 至点 $E$ ，使 $D E = B D$ ，连接 $A E$ ．

因为 $B D$ 是 $A C$ 边上的中线，所以 $C D = A D$ ．

在 $△ C D B$ 和 $△ A D E$ 中，

因为 $C D = A D$ ， $∠ C D B = ∠ A D E$ ， $D B = D E$ ，

所以 $△ C D B ≌ △ A D E$ ．所以 $B C = A E$ ．

解后反思：

题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化．

任务：

(1)、小亮判断

△ C D B ≌ △ A D E

的依据是_________；

(2)、请你根据小亮的思路求出

B C

边的长度：_________（写出一个即可）；

(3)、迁移应用：如图3，

A D

是

△ A B C

的中线，在

A B

边上取一点

E

，连接

C E

交

A D

于点

F

，若

A B = C F

，

∠ A C E = 16^{\circ}

，

∠ C A D = 30^{\circ}

，则

∠ A E F

的度数为_________°．

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4、请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务．

多项式除以多项式

我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知 $(x + 2) (2 x + 1) = \underline{①}$ ，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得 $(2 x^{2} + 5 x + 2) \div (2 x + 1) = \underline{②}$ ，这就是多项式除以多项式．

两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．

例如 $(x^{2} + 9 x + 20) \div (x + 4)$ ，可仿照 $2835 \div 27$ 用竖式计算（如图）．

因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．

(1)、任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________．

(2)、任务二：仿照例子的做法计算：

① $(x^{2} + 2 x + 1) \div (x + 1) =$ __________；

② $(2 x^{2} + 3 x + 1) \div (x + 1) =$ __________．

(3)、任务三：若

(2 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - m) \div (2 x + 6)

的商为整式，求

m

的值和商式（请列出竖式并回答）．

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5、已知：如图，点 $C$ 在 $∠ M O N$ 的边 $O M$ 上．
求作：射线 $C D$ ，使 $C D ∥ O N$ ，且点 $D$ 在 $∠ M O N$ 的角平分线上．
作法：①以点 $O$ 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交射线 $O M$ ， $O N$ 于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，交于点 $Q$ ；
③画射线 $O Q$ ；
④以点 $C$ 为圆心， $C O$ 长为半径画弧，交射线 $O Q$ 于点 $D$ ；
⑤画射线 $C D$ ．射线 $C D$ 就是所求作的射线．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
$∵ O D$ 平分 $∠ M O N$ ，
$∴ ∠ M O D =$ _______．
$∵ O C = C D$ ，
$∴ ∠ M O D =$ _______．（__________）（填推理的依据）．
$∴ ∠ N O D = ∠ C D O$ ．
$∴$ $C D ∥ O N$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ．求证： $D E = D F$ ．

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7、计算：

(1)、 $a \cdot a^{2} \cdot {(- a)}^{3}$ ；

(2)、 $(m + 2 n) (3 n - m)$ ．

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8、如图，两个全等的含 $30 ° 、 60 °$ 的三角板 $A D E$ 和三角板 $A B C$ ，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上， $∠ D A E = ∠ A B C = 30 °$ ，连接 $B D$ ，取 $B D$ 的中点 $M$ ，连接 $M E 、 M C$ ．下列结论：① $A B = A D$ ；② $D E + B C = B D$ ；③ $M E = M C$ ；④ $∠ M E C = 45 °$ ；⑤ $M E = A D$ ，其中正确的．

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9、计算 $4 x \cdot 3 x y^{2} =$ ．

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10、如图，已知 $∠ M O N$ 及其边上一点A，以点A为圆心， $A O$ 长为半径画弧，分别交 $O M$ ， $O N$ 于点B和C，再以点C为圆心， $A C$ 长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（）

A、 $∠ O C B = 90 °$ B、 $O C = 2 B C$ C、 $∠ B A C = 60 °$ D、 $S_{△ A O C} = S_{△ A B C}$

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11、如图，将边长为 $8 cm$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的中点 $E$ 处，点 $A$ 落在 $F$ 处，折痕为 $M N$ ．

(1)、求线段 $C N$ 长；

(2)、连接 $F N$ ，并求 $F N$ 的长．

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12、市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为： $7$ 分、 $8$ 分、 $9$ 分、 $10$ 分（满分为 $10$ 分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表：
甲队成绩统计表
成绩
$7$ 分
$8$ 分
$9$ 分
$10$ 分
人数
$10$
$1$
$2$
$7$
请根据图表信息解答下列问题：

(1)、甲队成绩的中位数为___________，甲队成绩的众数为___________，乙队成绩的中位数为___________，乙队成绩的众数为___________；

(2)、分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好．

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13、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $A (1, 3)$ 且和 $y = 2 x - 3$ 平行，求函数解析式．

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14、如图，已知菱形的两条对角线分别为 $6 cm$ 和 $8 cm$ ，则这个菱形的高 $D E$ 为．

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15、某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是元．

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16、两条直线 $y_{1} = a x - b$ 与 $y_{2} = b x - a$ $(a \neq 0 ， b \neq 0)$ 在同一坐标系中的图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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17、综合与探究

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 4$ ，将边 $B C$ 绕点B逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B D$ ， $E$ 是边 $A C$ 上的点，将线段 $B E$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B F$ ，连接 $D F$ ，则线段 $C E$ 与 $D F$ 的关系为___________．

(2)、若将图1的条件“ $E$ 是边 $A C$ 上的一点”改为“点 $E$ 是 $A C$ 延长线上的任意一点”，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2证明；若不成立，请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，当点 $F$ 恰好落在 $△ A B C$ 的边上时，请直接写出 $E C$ 的长．

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18、（项目学习）学科实践
问题情境：
如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端 $A$ 处恰好弹跳到人梯顶端椅子 $B$ 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点 $A$ 所在铅垂线的水平距离为 $2.5 m$ 时，身体离地面最高 $4.75 m$ ，已知 $O A = 1 m$ ，人梯到起跳点 $A$ 的水平距离为 $4 m$ ．
小试牛刀：
任务一：（1）请以点 $O$ 为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式．
任务二：（2）求人梯 $B C$ 的高．
攻坚克难：
任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于 $2.5 m$ 时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降 $0.5 m$ ．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围．

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19、2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日．我市飞龙商贸城某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套，后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套，设这种纪念品每套售价降低 $x$ 元，平均每天可获利 $y$ 元

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

(2)、当该礼品店每套售价降低3元时，平均每天可获利多少元？

(3)、该礼品店要想平均每天盈利2500元，可能吗？为什么？

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20、随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量 $2022$ 年为 $100$ 架， $2024$ 年达到 $144$ 架．

(1)、求 $2022$ 年底至 $2024$ 年底该公司无人机数量的年平均增长率；

(2)、该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到 $2025$ 年底公司无人机拥有量不超过 $150$ 架，预计 $2025$ 年年底报废的无人机数量是 $2024$ 年无人机拥有量的 $\frac{1}{12}$ ，求 $2024$ 年底至 $2025$ 年该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．

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成绩	$7$ 分	$8$ 分	$9$ 分	$10$ 分
人数	$10$	$1$	$2$	$7$