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1、广州新机场于 $3$ 月 $25$ 日开工，总投资 $418$ 亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“ $418$ 亿”用科学记数法可以表示为（）

A、 $0.418 \times 10^{11}$ B、 $4.18 \times 10^{10}$ C、 $4.18 \times 10^{9}$ D、 $418 \times 10^{8}$

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2、下列四个数中，是负整数的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- 3$ D、7

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3、【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若 $a + b = 7$ ， $a b = 4$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
（3）若x满足 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ 的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地 $A B C D$ ， $A C ⊥ B D$ 于点E， $A E = D E$ ， $B E = C E$ ，该校计划在 $△ A E D$ 和 $△ B E C$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米， $A C = 18$ 米，求种草区域的面积和．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $A B ， B C$ 上，已知 $A F ∥ C D$ 且 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证： $E F ∥ A D$ ；

(2)、若 $A F$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ D C B = 82 °$ ， $∠ 3 = 76 °$ ，求 $∠ E F B$ 的度数．

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5、若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $m = n$ ．

(1)、如果 $2 \times 8^{x} \times 16^{2} = 2^{15}$ ，求x的值；

(2)、已知x满足 $2^{2 x + 3} - 2^{2 x + 1} = 48$ ，求x的值．

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6、【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

(1)、如图1， $A B ∥ C D$ ， $P$ 是 $A B$ 、 $C D$ 之间的一点，连接 $B P$ 、 $D P$ ，试说明： $∠ B + ∠ D = ∠ B P D$ ；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过 $P$ 作 $P M ∥ A B$ ．
∵ $P M ∥ A B$ ．（辅助线的作法）
∴ $∠ B = ∠ B P M$ ．（__________________）
∵ $A B ∥ C D$ ．（已知）
∴ $P M ∥ C D$ ．（__________________）
∴ $∠ D = ∠ D P M$ ．（__________________）
∵ $∠ B P M + ∠ D P M = ∠ B P D$ ．（角的和差定义）
∴ $∠ B +$ ______ $= ∠ B P D$ ．（等量代换）

(2)、如图2，若 $A B ∥ C D$ ， $∠ B E P = 150 °$ ， $∠ P F D = 128 °$ ，则 $∠ E P F =$ ______°；

(3)、如图3， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 在 $A B$ 的上方，问 $∠ P E A$ ， $∠ P F C$ ， $∠ E P F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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7、先化简，再求值： $[(2 x + y) (2 x - y) + {(x - y)}^{2}] \div x$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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8、九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9、下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（）

A、 $(x + y) (x - y)$ B、 $(- x + 2 y) (x + 2 y)$ C、 $(a - b) (- a + b)$ D、 $(- 2 m + n) (- 2 m - n)$

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10、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $B C = C D$ ，过点C作 $C E ⊥ A B$ 于点E， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点H，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点G．

(1)、求证： $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点D为 $A H$ 的中点，求证： $A D = B E$ ；

(3)、若 $\cos ∠ D B A = \frac{4}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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11、先化简： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{x + 1})$ ，并从 $- 1$ ， 0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．

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12、如图，点B坐标为 $(0, 4)$ ，点A为x正半轴上一动点， $B C ⊥ A B$ ，且 $△ A B C$ 面积为20，则 $O C$ 最大值为．

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13、如图，点A，B分别在 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴，点 $P$ 在 $x$ 轴上，若 $△ P A B$ 的面积为7，则 $k =$ ．

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14、如图为人行天桥的示意图，若高 $B C$ 长为 $10$ 米，斜道 $A C$ 长为 $30$ 米，则 $\tan A$ 的值为．

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15、若代数式 $\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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16、据统计，2026年2月1日至20日，港珠澳大桥日均车流量约17800次，数据17800用科学记数法表示为．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为 $E F$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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18、我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式．如图1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理．勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一．

(1)、如图2，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 通过拼接，正好可以构造正方形 $A H F K$ ．
①若正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 的边长分别是4，3，则 $△ A B H$ 的周长是________；
②若正方形 $A B C D$ ，正方形 $C E F G$ 和正方形 $A H F K$ 的边长分别是a，b，c，求证： $a + b \leq \sqrt{2} c$ ．

(2)、如图3，以 $Rt △ A B C$ 的三边为边分别向外作正方形 $A C D E$ ，正方形 $B C G F$ ，正方形 $A B H K$ ．连接 $D G ， F H$ ．观察图形中的面积关系，容易看出 $S_{△ A B C} = S_{△ C D G}$ ，猜测 $S_{△ A B C}$ 与 $S_{△ B F H}$ 是否相等？并说明理由．

(3)、如图4，在直线l上方有正方形 $A B C D$ ，正方形 $A E F G$ ，正方形 $C H M N$ ，正方形 $D G J K$ ，正方形 $D N P Q$ ，求证： $S_{正方形 D G J K} + S_{正方形 D N P Q} = 5 S_{正方形 A B C D}$ ．

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19、我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如 $A 4$ 纸张的长与宽是 $297 mm$ ， $210 mm$ ，长与宽的比值接近 $\sqrt{2}$ ．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例．
已知长方形 $A B C D$ 的长与宽分别是 $2 cm$ ， $\sqrt{2} cm$ ．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 对折，打开后得到的长方形 $A B F E$ 仍为“长与宽的比值为 $\sqrt{2}$ ”的长方形．

(1)、若按图2所示的方式折叠长方形 $A B C D$ ，先沿 $A G$ 对折，使点B落在 $A D$ 上，对应点是点H．再沿 $G M$ 对折，使点C落在 $H G$ 上，对应点是点N．
①长方形 $H D M N$ ________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为 $\sqrt{2}$ ”的长方形；
②边长 $D M =$ ________ $cm$ ，边长 $D H =$ ________ $cm$ ．

(2)、若按图3所示的方式折叠长方形 $A B C D$ ，先沿 $B P$ 对折，使得点C落在 $A D$ 上，对应点是点Q．再沿 $B S$ 对折，使得点A落在 $B Q$ 上，对应点是点T．
①求 $∠ P B Q$ 的度数；
②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接 $R T$ ，求证：四边形 $Q R T S$ 是平行四边形．

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20、如图，过菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的中点O作两条互相垂直的直线，分别交 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 于E，F，G，H四点，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ．

(1)、判断四边形 $E F G H$ 的形状，并说明理由．

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $A E = A H$ ，求四边形 $E F G H$ 的面积．

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