相关试卷

1、综合与探究
【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”．
【示例】如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD， ∠C=∠D=90°，则四边形ABCD 是“邻等双直四边形”．

(1)、【概念辨析】
用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是(填序号)；

(2)、【问题解决】
如图1，在“邻等双直四边形” ABCD中， AB=AD， ∠C=∠D=90°，连接BD．
求证： BD平分∠ABC；

(3)、如图2，已知， ∠A=∠B =90°，在射线BE上作出点C，使得四边形ABCD 是“邻等双直四边形”，且对角线 BD是其一内角的角平分线；
(要求：尽规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(4)、【联系拓广】
如图3，在△ABC中，AB=AC， ∠A=90°，点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD，将线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE，连接BD， CD， CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A C D}}$ 的值．

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2、若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”．

例如： $3 = 2^{2} - 1^{2},$ 因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究：

【初步感知】寻找“智慧数”

小深的枚举法

$0 = 1^{2} - 1^{2};$

$1 = 1^{2} - 0^{2};$

$3 = 2^{2} - 1^{2};$

$4 = 2^{2} - 0^{2};$

$5 = 3^{2} - 2^{2};$

$7 = 4^{2} - 3^{2};$

$8 = 3^{2} - 1^{2};$

…

小圳的代数推理法

通过观察发现O，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明：

设k是自然数，则

$(k + 1)^{2} - (k - 1)^{2}$

$= [(k + 1) + (k - 1)] [(k + 1) - (k - 1)]$

=2k×2

= 4k

4k表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”．

(1)、下列自然数中，是“智慧数”(填序号)；

①9 ②10 ③12 ④14

(2)、【猜想验证】

小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想．

(3)、【迁移应用】

某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台(如阴影所示)，剩下L型区域作为观展走廊．如图1，现社团采购了一块长为(x+7)米，宽为(x-3)米的地胶(其中x>3，x为自然数)，通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗?请说明理由，并求出舞台的边长．

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3、综合与实践

如何安排工程队的施工任务
素材1	龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务．
素材2	乙工程队每天的工作效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天．
素材3	改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元．
问题解决
任务1	分析效率	甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米?
任务2	分析任务量	最多可安排乙工程队工作多少天?

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4、如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线 BD上，连接AE， AF，CE， CF．

(1)、请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形AFCE是平行四边形，并写出证明过程；
①AE∥CF
②DF=BE
③∠BAF=∠DAE

(2)、若AB=4， BD=6， BD⊥CD，求对角线AC的长．

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5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).

(1)、将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的ΔA₁B₁C₁ ，请画出平移后的△A₁B₁C₁；

(2)、将线段 BC绕着点c顺时针旋转90°得到线段 B'C ，则点B'的坐标是．

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6、先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 1} + 1) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x + 1},$ 其中x=-3．

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7、解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 7 < 3 (x - 1) \\ \frac{4}{3} x + 3 \geq 1 - \frac{2}{3} x \end{matrix}$

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8、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠D=90°， BC的垂直平分线分别交AD， BC于点E和点 F，若AD=5， CD=2AB=4，则AE的长为．

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9、如图，一次函数y= ax+b和y= kx的图象交于点 P(2，3)，则关于x的不等
式 ax+b>kx的解集为．

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10、如图， ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角，则∠1+∠2+∠3= ．

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11、若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为零，则x= ．

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12、将一副直角三角板如图放置， ∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC，作∠ABD的平分线交AD于点E，若 $A C = 3 \sqrt{2},$ 则DE的长为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为x万元，由题意可列方程( )

A、 $\frac{12}{x} = \frac{20}{x + 0.2}$ B、 $\frac{20}{x} = \frac{12}{x + 0.2}$ C、 $\frac{12}{x} = \frac{20}{x - 0.2}$ D、 $\frac{20}{x} = \frac{12}{x - 0.2}$

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14、如图，长和宽分别为x、y的长方形的周长为10，面积为6，则 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值为( )

A、15 B、30 C、60 D、120

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15、正八边形受力均匀、结构稳固，还兼具良好的对称美感，常被用于数码产品外观设计．如图，某品牌手机后置镜头外沿设计为正八边形，则该正八边形的内角和是( )

A、900° B、1080° C、1260° D、1440°

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16、如图，已知屋顶的主桁架△ABC 是等腰三角形，AB=AC， ∠A=70°，点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD=BE，则∠E 的度数是( )

A、22.5° B、25° C、27.5° D、35°

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17、如图是一把三角结构的实木餐椅，其侧面椅腿可抽象成△ABC，点D，点E分别为边AB，AC的中点，若椅腿张开的水平距离BC=80cm，则椅腿横梁DE的长为( )

A、30cm B、40cm C、50cm D、60cm

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18、如图，天平左边的苹果质量为x克，右边的砝码质量为 200克，则x的取值范围可表示为( )

A、x<200 B、x≤200 C、x>200 D、x≥200

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19、未来将是一个可以预见的AI时代，以下是四个人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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20、【综合探究】
【学习新知】定义：过三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则称这个三角形为“双等腰三角形”，这条直线称为该三角形的“双等腰分割线”.如图1，直线CD将△ABC分割成两个三角形△ADC和△BCD 都是等腰三角形(AD=CD，BC=CD)，所以△ABC是“双等腰三角形”，直线 CD是△ABC的“双等腰分割线”.

(1)、【理解应用】
学习了上面新定义后，小明说等边三角形是“双等腰三角形”，小华说等腰直角三角形是“双等腰三角形”；下列说法正确的是（）

A、小明的说法正确 B、小华的说法正确 C、小明和小华的说法都正确 D、小明和小华的说法都不正确．

(2)、【问题解决】
老师提问：直角三角形是不是“双等腰三角形”?
小芳同学是这样思考的：如图2，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，作 AB边的垂直平分线交斜边BC于点D，交AB于E，连AD，……所以，Rt△ABC是“双等腰三角形”，AD 是△ABC的“双等腰分割线”.
①小芳的结论正确吗?请说明理由.
②若AB=4，AC=3，BC=5，由上面的推理可知，△ACD的周长等于 ▲ .

(3)、【拓展提升】
已知，△ABC中，∠B=30°，若△ABC是“双等腰三角形”，且CD是△ABC的“双等腰分割线”.
请直接写出∠A 的度数.

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