相关试卷

1、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、计算 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ．

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2、计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \sqrt{27}$

(2)、 ${(\sqrt{5} + 2)}^{2} - {(\sqrt{5} - 2)}^{2}$

(3)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$

(4)、 $|\sqrt{3} - 2| + {(π - 3)}^{0} + 2^{- 2}$

(5)、 $(\sqrt{6} + \sqrt{\frac{2}{3}}) \times \sqrt{6}$

(6)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$

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3、一个正数的两个不同的平方根分别是 $2 a - 3$ 与 $5 - a$ ， $2 b + 4$ 的立方根是 $- 2$ ．求 $2 a - b$ 的平方根．

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4、算术平方根有如下运算： $\sqrt{a^{2}} = \{\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$ ， ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ （ $a \geq 0$ ），故化简： $\sqrt{a^{2}} + {(\sqrt{b})}^{2}$ 可得 $a + b$ 或 $- a + b$ 两种不同结果．化简： $\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + {(\sqrt{x - 1})}^{2} + \sqrt{{(x - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 8)}^{2}}$ ，会有几种不同的结果（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用 $(0, 0)$ 表示，“相”的位置用 $(5, 1)$ 表示，那么“卒”的位置可表示为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(2, 1)$

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6、
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”
【问题探究】
（1）如图①，已知 $Rt △ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是以 $A C$ 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）
【问题解决】
（2）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A D \neq C D$ ， $∠ A B C = 70 °$ ， $∠ A D C = 145 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．求证： $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图③，已知 $F H$ 是四边形 $E F G H$ 的“相似对角线”， $∠ E F H = ∠ H F G = 60 °$ ，连接 $E G$ ，若 $△ E F G$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $F H$ 的长．

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7、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 是“倍根方程”

(1)、通过计算，判断 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是否是“倍根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ 是“倍根方程”，求 $k$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出 $m$ 、 $n$ 的值．

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8、中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套.9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套．

(1)、若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率；

(2)、为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？

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9、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B < A D$ ．

(1)、请利用尺规作图作 $∠ B C D$ 的角平分线 $C M$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，在 $C B$ 上截取 $C F = C D$ ，连接 $E F$ ；（要求保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $C D E F$ 是菱形．

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10、计算： ${(π - 2026)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt{25}$ ．

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11、如图，线段 $A B = 2$ ，点 $C$ 与点 $D$ 均为线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D =$

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12、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ ．

(1)、 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值为__________．

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为90，求各边的长．

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13、用适当的方法解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$ ；

(2)、 $y^{2} - 2 y = 5$ ；

(3)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{9}{4} = 0$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2} = 0$ ．

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14、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，直线 $E F ⊥ A B$ 交两对边于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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16、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于半径为1的 $⊙ O$ ，线段 $A B$ 及直线l，给出如下定义：若线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的对称线段 $A^{'} B^{'}$ 是 $⊙ O$ 的弦，则称线段 $A B$ 为 $⊙ O$ 关于直线 $l$ 的引入弦．

(1)、如图1，点 $A_{1} (- 2, 1)$ ， $B_{1} (0, 3)$ ， $A_{2} (1, 2)$ ， $B_{2} (3, 2)$ ， $A_{3} (2, - 1)$ ， $B_{3} (2, - 2)$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 中，是 $⊙ O$ 关于某条直线的引入弦的为__________．

(2)、如图2，点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ，点C在直线 $y = x + 2$ 上，若线段 $A B$ ， $A C$ 和 $B C$ 中，至少有一条线段是 $⊙ O$ 的引入弦，直接写出点 $C$ 的纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围．

(3)、如图3，线段 $M N$ 是 $⊙ O$ 关于直线 $y = - x + b$ 的引入弦，且 $M N = 1$ ．以点 $E (1, 1)$ ， $F (1, 2)$ ， $G (2, 2)$ ， $H (2, 1)$ 为顶点的正方形 $E F G H$ 与线段 $M N$ 有公共点，请直接写出b的取值范围．

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18、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $B M < A M$ ，点 $M$ 关于 $B C$ 所在直线的对称点是 $N$ ，连接 $C M$ ， $C N$ ，在 $A C$ 上取一点 $E$ 使得 $N E = N C$ ， $N E$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ M P N$ 的度数；

(3)、用等式表示 $B M$ 与 $A E$ 的数量关系并证明．

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19、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 与弦 $A B$ 交于点E， $E A = E B$ ，过点 $A$ 作射线 $A F$ 使得 $∠ C A F = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

(2)、延长 $C D$ 交射线 $A F$ 的反向延长线于点 $K$ ，若 $E D = 1$ ， $D K = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 1)$ 和 $B (0, - 1)$ ．

(1)、求该函数的表达式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = a x + 1 (a \neq 0)$ 的值小于函数 $y = k x + b$ 的值且大于0，直接写出 $a$ 的取值范围．

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