相关试卷

1、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、计算 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ．

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2、计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \sqrt{27}$

(2)、 ${(\sqrt{5} + 2)}^{2} - {(\sqrt{5} - 2)}^{2}$

(3)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$

(4)、 $|\sqrt{3} - 2| + {(π - 3)}^{0} + 2^{- 2}$

(5)、 $(\sqrt{6} + \sqrt{\frac{2}{3}}) \times \sqrt{6}$

(6)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$

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3、一个正数的两个不同的平方根分别是 $2 a - 3$ 与 $5 - a$ ， $2 b + 4$ 的立方根是 $- 2$ ．求 $2 a - b$ 的平方根．

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4、算术平方根有如下运算： $\sqrt{a^{2}} = \{\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$ ， ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ （ $a \geq 0$ ），故化简： $\sqrt{a^{2}} + {(\sqrt{b})}^{2}$ 可得 $a + b$ 或 $- a + b$ 两种不同结果．化简： $\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + {(\sqrt{x - 1})}^{2} + \sqrt{{(x - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 8)}^{2}}$ ，会有几种不同的结果（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用 $(0, 0)$ 表示，“相”的位置用 $(5, 1)$ 表示，那么“卒”的位置可表示为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(2, 1)$

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6、
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”
【问题探究】
（1）如图①，已知 $Rt △ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是以 $A C$ 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）
【问题解决】
（2）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A D \neq C D$ ， $∠ A B C = 70 °$ ， $∠ A D C = 145 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．求证： $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图③，已知 $F H$ 是四边形 $E F G H$ 的“相似对角线”， $∠ E F H = ∠ H F G = 60 °$ ，连接 $E G$ ，若 $△ E F G$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $F H$ 的长．

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7、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 是“倍根方程”

(1)、通过计算，判断 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是否是“倍根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ 是“倍根方程”，求 $k$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出 $m$ 、 $n$ 的值．

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8、中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套.9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套．

(1)、若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率；

(2)、为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？

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9、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B < A D$ ．

(1)、请利用尺规作图作 $∠ B C D$ 的角平分线 $C M$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，在 $C B$ 上截取 $C F = C D$ ，连接 $E F$ ；（要求保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $C D E F$ 是菱形．

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10、计算： ${(π - 2026)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt{25}$ ．

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11、如图，线段 $A B = 2$ ，点 $C$ 与点 $D$ 均为线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D =$

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12、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ ．

(1)、 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值为__________．

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为90，求各边的长．

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13、用适当的方法解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$ ；

(2)、 $y^{2} - 2 y = 5$ ；

(3)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{9}{4} = 0$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2} = 0$ ．

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14、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，直线 $E F ⊥ A B$ 交两对边于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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16、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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17、【问题】：有一张平行四边形纸片 $A B C D$ ， $A D = 2 A B$ ， $A B = a$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，请在纸片上找一点P，使得 $∠ A P B = 45 °$ ．
【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以 $A B$ 为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即 $\overset{⌢}{M N}$ 上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1 $) ∠ A O B =$ _______°； $\overset{⌢}{M N}$ 所在的圆的半径长为_______ $($ 用含a的代数式表示）．
【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片 $A B C D$ 上有一点P，且 $∠ A P B = 30 °$ ．
（2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）在（2）条件下连接 $C P$ ，求线段 $C P$ 的最小值（用含a的代数式表示）．
【应用】：（4）如图3，四边形 $A B C D$ 是一块平行四边形空地，经测量 $A B = 100 \sqrt{3} m$ ， $A D = 200 \sqrt{3} m$ ， $∠ D A B = 60 °$ ．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形 $A B C D$ 内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为 $A Q$ ， $B Q$ ， $C Q$ ， $D Q$ ，且 $∠ D C Q = ∠ C B Q$ ．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中 $△ A D Q$ 区域种植牡丹．为节约成本，要求 $△ A D Q$ 面积尽可能的小，则 $△ A D Q$ 面积的最小值为_______．

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18、已知：如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 5 cm$ ， $B C = 7 cm$ ，点P从点A开始沿 $A B$ 边向点B以 $1 cm / s$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $B C$ 边向点C以 $2 cm / s$ 的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动．

(1)、_______秒后， $P Q$ 的长度等于 $2 \sqrt{10} cm$ ；

(2)、几秒后，四边形 $A P Q C$ 的面积等于 $\frac{27}{2} {cm}^{2}$ ？

(3)、在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心， $A P$ 为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．

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19、如图，四边形 $O A B C$ 是平行四边形，以O为圆心， $O A$ 为半径的圆交 $A B$ 于D，延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于E，连接 $C D$ ， $C E$ ，若 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = 4 ， O C = 5$ ，则 $△ D B C$ 的面积＝______．

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20、平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．

(1)、设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶；

(2)、在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？

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