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1、如图， $∠ A = ∠ B = 90^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，且 $A D = 4$ ， $D E = 5$ ， $C F = 6$ ，则 $A B$ 的长为 $($ $)$ ．

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $5$

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2、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $D C$ 、 $B C$ 边上的点， $∠ E A F = 45^{\circ}$ ，连接 $E F$ ，设 $D E = a$ ， $E F = b$ ， $F B = c$ ，则把关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 叫做正方形 $A B C D$ 的关联方程，正方形 $A B C D$ 叫做方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 的关联四边形，探究方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 是否存在常数根，先把 $▵ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $▵ A B G$ ，此时 $△ A D E ≌ △ A B G$ ，再证明 $▵ A E F ≌ ▵ A G F$ ，此时 $G F = E F = D E + B F .$ 即 $a + c = b$ ，故 $a - b + c = 0$ ，则知方程： $a x^{2} - b x + c = 0$ 的常数根为 $x = 1$ ，若正方形 $A B C D$ 的关联方程是 $2 x^{2} - b x + 3 = 0$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为 $($ $)$ ．

A、 $30$ B、 $32$ C、 $34$ D、 $36$

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3、如图，正方形 $A B C D$ 边长为 $1$ ，在对角线 $A C$ 上取点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，过 $E$ 点作 $E F ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 点在 $B C$ 上，且 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $B E = 2$ ， $A C = 8$ ，则 $▵ A E C$ 面积为( )

A、 $8$ B、 $10$ C、 $15$ D、 $20$

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5、如图， $A B / / C D / / E F$ ，若 $A C = 2$ ， $C E = 3$ ， $D F = 4$ ，则 $B D$ 的长为( )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $3$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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6、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，且 $A B = 5$ ， $B D = 6$ ，则 $A C$ 的长为( )

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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7、从 $△ A B C$ 一顶点 $B$ 引出一条经过对边中点 $D$ 的射线 $B D$ ，并将此射线 $B D$ 作为对称轴将一侧的 $△ A B D$ 翻折得到 $△ E B D$ .连接 $A E$ 、 $C E$ ，则根据等腰三角形和三角形内角和可知 $∠ A E C = 90 °$ 、即 $A E ⊥ C E$ ，这样的射线称为内对称射线.

(1)、【应用】如图，平行四边形 $A B C D$ 中，当 $∠ A B D = 90 °$ 时，另有 $A B = 6$ ， $B D = 8$ ，点 $E$ 是 $A D$ 中点，射线 $B E$ 为内对称射线，将 $△ A B E$ 沿射线 $B E$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $F$ 处，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为；

(2)、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 为 $A D$ 边上一点(不与端点重合)，连接 $B E$ ， $F$ 为 $B E$ 上中点，射线 $A F$ 为内对称射线，将 $△ A B F$ 沿射线 $A F$ 翻折得到 $△ G A F$ ，当点 $E$ 在 $A D$ 上移动时，探究发现，当点 $G$ 落在 $B D$ 上时，则求 $A E$ 的长；

(3)、如图，菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为射线 $A D$ (不与 $A$ 点重合)上一动点，连接 $B E$ ，点 $F$ 为 $B E$ 中点，射线 $A F$ 为内对称射线，将 $△ A B F$ 沿射线 $A F$ 翻折得到 $△ G A F$ ，连接 $G E$ .又已知 $A B = 6$ ， $∠ C = 60 °$ ，若 $∠ B E G = 60 °$ ，则求 $A E$ 的长.

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8、在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程.如图，欧几里得的《几何原本》中这样记载，形如 $x^{2} + a x = b^{2} (a > 0, b > 0)$ 的方程的图解法：以 $\frac{a}{2}$ 和b为两直角边作 $R t △ A B C$ ，再在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则 $A D$ 的长就是所求方程的正根.
在 $R t △ A B C$ 中， $B C = \frac{a}{2}, A C = b$ ，则 $A B = \sqrt{B C^{2} + A C^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2}$ ，
$∴ A D = A B - B D = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2}$ 当 $x = A D$ 时，即 $x = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2}$ ，
代入 $x^{2} + a x$ 中，则有 $x^{2} + a x = x (x + a) = (\frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2}) (\frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} + \frac{a}{2}) = \frac{a^{2} + 4 b^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = b^{2}$ ，
故 $x^{2} + a x = b^{2}$ 得到验证. $∴ A D$ 的长就是所求方程的正根.

(1)、 ① 若 $a = 6, b = 4$ 则图 $1$ 中线段 $A D$ 的长为；
② 利用以上方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x = 36$ ，若构造后的图形满足 $A D = 2 B D$ ，则求出 $m$ 的值；

(2)、如图，利用以上方法解一元二次方程 $x^{2} + 8 x = 9$ 时，过点 $D$ 作矩形 $D E F G$ ，使得点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别落在 $A C$ ， $C B$ ， $B A$ 上，则求出 $\frac{D E}{E F}$ 的值.

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9、坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示.已知 $A B = 48$ 米， $A D - 24$ 米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺地毯防污的面积为675平方米.

(1)、求道路的宽是多少米?

(2)、该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位.当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到12480元?

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10、如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放.小明发现重叠部分(四边形 $A B C D$ )是菱形，并进行如下所示的推理.
如图，过点 $A$ 分别作 $B C$ ， $C D$ 的垂线，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，则 $A E = A F$ .
$∵ A B / / C D, A D / / B C$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形.
$∵ A E = A F$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是菱形.

(1)、小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“ $∵ A E = A F$ ”和“ $∴$ 四边形 $A B C D$ 是菱形”之间作补充，下列说法正确的是·.

A.应补充 $S_{四边形 A B C D} = B C \cdot A E = C D \cdot A F$ ， $∴ B C = C D$ .
B.小明的推理严谨，不必补充
C.应补充： $B D ⊥ A C$
D.应补充： $B D = A C$

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，连接 $E F$ ，求 $E F$ 的长.

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 为矩形的一条对角线.

(1)、请用直尺和圆规完成以下作图：
分别在 $B C$ 、 $A D$ 上取点 $P$ 、 $Q$ ，使 $P A = P C$ ， $Q A = Q C$ ；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)、连接 $A P$ 、 $C Q$ ，当 $A C = 10$ ， $A B = 6$ 时，求四边形 $A P C Q$ 的周长.

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12、如图，在边长为 $1$ 的小正方形组成 $3 \times 5$ 的网格中，有 $E$ ， $F$ ， $C$ ， $G$ 四个格点.连结 $E F E G$ 、 $C F$ ，另有 $E G$ 与 $C F$ 交于点 $O$ .

(1)、求证： $△ E O F ∽ △ C O G$ ；

(2)、求 $\frac{F O}{O C}$ 的值

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13、下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.解方程： $(2 x - 1)^{2} = 3 (2 x - 1)$ .
解：方程两边同除以 $(2 x - 1)$ ，得 $2 x - 1 = 3$ ……·第一步
移项，合并同类项，得 $2 x = 4$ ……第二步系数化为 $1$ ，得 $x = 2$ ……·第三步
回答下列问题：

(1)、小明的解法从第步开始出现错误；

(2)、写出一元二次方程正确的解法.

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14、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ .已知 $A E = 3$ ， $E C = 5$ ，则 $B F$ 的长为·.

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15、某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件150元降到96元，则平均每次降价的百分率是·.

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，若 $∠ C O D = 50 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为·.

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17、已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一个根，则 $k$ 的值为·.

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18、若 $3 x - 4 y = 0$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的值是·.

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19、如图， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，且 $A D = 4$ ， $D E = 5$ ， $C F = 6$ .则 $A B$ 的长为( ).

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $5$

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20、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $D C$ 、 $B C$ 边上的点， $∠ E A F = 45 °$ ，连结 $E F$ ，设 $D E = a$ ， $E F = b$ ， $F B = c$ ，则把关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 叫做正方形ABCD的关联方程，正方形 $A B C D$ 叫做方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 的关联四边形、探究方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 是否存在常数根，他先把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，此时 $△ A D E ≌ △ A B G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，此时 $G F = E F = D E + B F$ .即 $a + c = b$ ，故 $a - b + c = 0$ ，则知方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 的常数根为 $x = 1$ ，若正方形 $A B C D$ 的关联方程是 $2 x^{2} - b x + 3 = 0$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为( ).

A、30 B、32 C、34 D、36

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