相关试卷

1、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，已知 $C D = 4$ ， $E B = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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2、已知 $m 、 n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为．

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3、将抛物线 $y = 3 x^{2} - 1$ 向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为．

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4、在平面直角坐标系中，点 $M (1, - 2)$ 与点 $N$ 关于原点对称，则点 $N$ 的坐标为．

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5、如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转 $2024$ 次得到正方形 $O A_{2024} B_{2024} C_{2024}$ ，如果点A的坐标为 $(1, 0)$ ，那么点 $B_{2024}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(0, \sqrt{2})$ C、 $(1, 1)$ D、 $(- 1, - 1)$

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6、如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分．图象过点 $A (- 3, 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，给出四个结论，其中正确结论是（）

A、 $b^{2} < 4 a c$ B、 $2 a + b = 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、若点 $B (- \frac{5}{2}, y_{1})$ ， $C (- \frac{1}{2}, y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$

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7、如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ，点 $A$ 和点 $B$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A O B = 90 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π - 2$ B、 $π - \sqrt{3}$ C、 $π$ D、 $2$

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8、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ， $C$ ， $D$ 是圆周上的点，且 $∠ C D B = 30 °$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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9、下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x - \frac{1}{x} = 0$ B、 $7 x^{2} + y - 1 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ D、 $x y + 1 = 0$

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10、下列所描述的事件，是不可能事件的是（）

A、下周一下雨 B、买彩票中奖 C、太阳西升东落 D、掷硬币，国徽面朝上

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11、下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3 B C = 12$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $A B = 3 A D$ ， $A C = 3 A E$ ，连接 $D E$ ．将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、【问题发现】当 $α = 0 °$ 时， $\frac{B D}{C E} =$ ______；当 $α = 180 °$ 时， $\frac{B D}{C E} =$ ______；

(2)、【拓展探究】试判断：当 $0 ° < α < 180 °$ 时， $\frac{B D}{C E}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

(3)、【问题解决】当 $△ A D E$ 旋转至 $B$ ， $D$ ， $E$ 三点共线时，直接写出线段 $C E$ 的长．

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13、综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式 $x^{2} - 8 x + 19$ 的最小值．
解：原式 $= (x^{2} - 8 x + 16) + 3 = {(x - 4)}^{2} + 3$ ．
$∵ {(x - 4)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(x - 4)}^{2} + 3 \geq 3$ ，
$∴ x^{2} - 8 x + 19$ 的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式 $p^{2} - 10 p + 24$ 的最小值．
【问题迁移】
（2）若 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 12 b = - 40$ ，求 $a$ ， $b$ ．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E F$ 的三边长．根据勾股定理，可得 $A E = \sqrt{c^{2} + c^{2}} = \sqrt{2} c$ ，我们把关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ ，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式 $p^{2} - 10 p + 24$ 的最小值是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且 $c^{2} = 8 - 2 a b$ ，试求四边形 $A C D E$ 的周长．

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14、【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把 $n = \frac{\sin α}{\sin β}$ 称为光线从空气射入水中的折射率（其中 $α$ 代表入射角， $β$ 代表折射角）．
【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔 $M N$ 发射激光，图3是实验的示意图，矩形 $A B F E$ 为水槽的截面图，水槽未注水时， $P$ 点发出的一束激光正好在水槽底端 $B$ 处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到 $C$ 点，点 $A$ ， $C$ ， $B$ 在同一直线上，测得 $B F = 24 cm$ ， $D F = 32 cm$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $B C = 14 cm$ ，求光线从空气射入水中的折射率 $n$ ．

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15、学校组织七、八年级学生参加了体能测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成缋 $x$ （单位：分）进行统计：
七年级 90，94，79，84，71，76，90，83，86，87
八年级 75，76，90，87，78，93，88，87，87，79
整理如表，根据以上信息，回答下列问题：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
$b$
44.4
八年级
84
$a$
87
36.6

(1)、直接写出表中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是哪个年级的学生？请说明理由；

(3)、学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．

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16、如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点 $O$ 为位似中心，在第一象限内将 $△ O A B$ 放大到原来的2倍后得到 $△ O A^{'} B^{'}$ ，其中 $A 、 B$ 在图中格点上，点 $A 、 B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ．

(1)、在第一象限内画出 $△ O A^{'} B^{'}$ ；

(2)、求 $△ O A^{'} B^{'}$ 的面积．

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17、计算： $|\sqrt{3} - 2| + 2 \cos 30 °$ ．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 cm$ ， $A C = 8 cm$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发沿 $B A$ 方向向终点 $A$ 以 $1 cm / s$ 的速度移动；同时，点 $Q$ 从 $A$ 出发沿 $A C$ 方向向终点 $C$ 以 $2 cm / s$ 的速度移动．设运动时间为 $t (s)$ ，当 $t =$ 时， $△ A B C$ 与 $△ A P Q$ 相似．

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19、如图，已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上， $A B ∥ y$ 轴交 $x$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴上，若 $△ A B C$ 的面积为3，则 $k$ 的值为．

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20、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 的一个根为 $- 2$ ，则另一个根为．

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年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	84	85	$b$	44.4
八年级	84	$a$	87	36.6