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1、观察下列各式：① $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ② $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ③ $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$

(1)、请观察规律，并写出第④个等式：；

(2)、请用含 $n (n \geq 1)$ 的式子写出你猜想的规律：

(3)、请证明(2)中的结论.

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2、如图所示，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点 $D$ 落在BC 边上的点 $F$ 处，已知 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，求BF和EC的长.

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3、如图，四边形ABCD中，BD为对角线， $∠ A B D = 9 0^{°}$ ， $∠ A D B = 3 0^{°}$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{6}$ ， $B C = 3$ ，求证： $A B ∥ C D$ .

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4、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在AD，BC上，且 $∠ A E B = ∠ C F D$ .求证：四边形BFDE 是平行四边形.

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{10}$

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6、古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边长分别为a，b，c，若 $a = 8$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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7、当 $2 < x < 3$ 时，化简： $| x - 3 | + \sqrt{(x - 2)^{2}} =$ .

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，点 $D$ 是AB的中点， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ，则 $C D =$ .

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9、已知 $n = \sqrt{7} - 1$ ，则代数式 $n^{2} + 2 n + 1$ 的值是.

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10、若 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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11、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $∠ B A C = 3 0^{°}$ . $A C = 4$ ，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3 π}$ D、 $2 \sqrt{3 π}$

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12、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 $O$ ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)， $P E ⊥ O A$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ O B$ 于点 $F$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则EF的最小值为 ( )

A、3 B、2 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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13、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边AD 的中点，点 $F$ 在对角线AC 上，且 $A F = \frac{1}{2} A O$ ，连接EF，若 $A C = 8$ ，则EF 的长为( )

A、1 B、2 C、4 D、3

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14、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm 和1cm， $A$ 和 $B$ 是这个台阶的两个相对的端点， $A$ 点上有一只蚂蚁，想到 $B$ 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿着台阶面爬到 $B$ 点，最短线路是( )

A、12 B、13 C、14 D、15

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15、如图，四边形ABCD是菱形， $∠ B C D = 6 0^{°}$ ， $A B = 2$ ，则菱形ABCD的面积是( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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16、如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端 B 的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为( )

A、16m B、17m C、19m D、20m

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17、一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是( )

A、9 B、8 C、7 D、6

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18、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ 的结果为( )

A、 $\sqrt{6}$ B、 $6$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{5}$

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19、下列哪个图形不是凸四边形的是( )

A、 B、 C、 D、

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20、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含30°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°， ∠GEF=30°)的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动.

(1)、【操作发现】如图 1，三角尺的60°角的顶点 G在CD上， ∠1=50°，则∠2度数为°；

(2)、【探索证明】如图 2，小智把三角尺的两个锐角顶点 E，G分别放在AB和CD上， $∠ E F G = 9 0^{\circ},$ 试说明： $∠ A E F + ∠ F G C = 9 0^{\circ};$

(3)、【结论应用】如图 3，小蕙把三角尺的直角顶点 F放在CD上， $3 0^{\circ}$ 角的顶点 E在AB上.若 $∠ C F G = α,$ $∠ B E G = β,$ 请直接写出 $∠ C F G$ 与 $∠ B E G$ 的数量关系：（用含α，β的式子表示).

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