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1、【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：（1）用配方法因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ．
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$
$= {(a + 3)}^{2} - 1$
$= (a + 3 - 1) (a + 3 + 1)$
$= (a + 2) (a + 4)$
（2）求 $x^{2} + 6 x + 11$ 的最小值．
解：原式 $= x^{2} + 6 x + 9 + 2$
$= {(x + 3)}^{2} + 2$ ．
$∵ {(x + 3)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(x + 3)}^{2} + 2 \geq 2$ ，
即 $x^{2} + 6 x + 11$ 的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、若 $4 x^{2} - a x + 9$ 是一个完全平方式，则 $a$ 值为_____．

(2)、因式分解： $a^{2} - 12 a + 32$ ．

(3)、求 $4 x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值．

(4)、用配方法因式分解： $x^{4} + 4$

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2、图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

(1)、在图①中，作一个 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 是轴对称图形；

(2)、在图②中，作一个 $△ B C E$ ，使 $△ B C E$ 与 $△ A B C$ 成轴对称；

(3)、在图③中，作 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高 $B H$ ．

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3、为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购买甲种奖品与用200元购买乙种奖品的数量相同．求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件．

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4、先化简，再求值： $(\frac{2 x + 5}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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5、计算： $(x + 3) (x - 3) + {(x + 2)}^{2} - 2 x (x + 1)$ ．

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6、如图，三角形 $A B C$ 中 $D$ ， $E$ 为 $A B$ ， $A C$ 上的两点，若 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 280 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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7、如图，将等边三角形 $A P Q$ 的边 $P Q$ 向两边延长，使 $P B = Q C = P Q$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为．

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8、世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为 $H 39$ 的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，数据0.00003用科学记数法表示为．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 72 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $D E ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $∠ C D E =$ （）

A、 $18 °$ B、 $30 °$ C、 $36 °$ D、 $72 °$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B ， B C$ 于点D，E，连接 $A E$ ．若 $A E = 5 ， E C = 3$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11、若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、2或 $- 2$ D、0

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12、计算 ${(a^{4})}^{4} =$ （）

A、 $a^{4}$ B、 $a^{8}$ C、 $a^{6}$ D、 $a^{16}$

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13、节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $A = m + n$ ， $B = m^{2} - n^{2}$ ， $C = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ .

(1)、若 $\frac{A}{B} = \frac{1}{6}$ ，求 C 的值；

(2)、若 $A = C = 5$ ，求 mn的值；

(3)、在 (1) 的条件下，且 $\frac{2 B - C}{B}$ 为整数，求整数 $m$ 的值.

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15、如果一个正整数 n 的倒数可以分解成两个正整数 a，b (a，b 均不为 n) 倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为 n 的 “最大倒分解”，这个最大的差记为： $F (n) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ，例：12 的倒分解为 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，因为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} > \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，所以最大倒分解为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，所以 $F (12) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

(1)、填空：写出 8 的一种倒分解：；

(2)、计算 F(36) 的值；

(3)、若 $3 m + 6$ 的最大倒分解为 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{m + 2}$ ，且 $F (3 m + 6) = \frac{1}{6}$ ，求 m 的值.

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16、

(1)、找一组不为0的数a，b，c，d，使得 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立. 由这组数值计算下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系.
① $\frac{a + b}{b}$ 和 $\frac{c + d}{d}$ ；
② $\frac{a + b}{a - b}$ 和 $\frac{c + d}{c - d} (a \neq b, c \neq d)$ .

(2)、对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立，(1)中各组两个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

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17、阅读材料题：
已知： $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，求分式 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c}$ 的值.
解：设 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k$ ；
所以 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c} = \frac{6 k + 12 k - 5 k}{3 k - 4 k + 10 k} = \frac{13 k}{9 k} = \frac{13}{9}$ .

(1)、上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由 $\frac{13 k}{9 k}$ 求得结果 $\frac{13}{9}$ 运用了的基本性质；

(2)、参照上述材料解题：
已知： $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$ 。求分式 $\frac{x + 2 y - 7}{x - 2 y + 3 z}$ 的值.

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18、在解答题目“已知x=2024，求 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} \div \frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{3}} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2}$ 的值”时，小明误将x=2024看成了x=2025，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？

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19、若 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ ，则代数式 $(a + \frac{4 a + 4}{a}) \frac{a^{2}}{a + 2}$ 的值为．

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20、按一定规律排列的式子： $- \frac{3 b}{a} ， \frac{8 b}{a^{3}} ， - \frac{15 b}{a^{5}} ， \frac{24 b}{a^{7}}$ ， ······第n个式子是.

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