相关试卷

1、阅读材料，并解决问题：

(1)、【思维指引】如图1，等边三角形 $A B C$ 内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 $∠ A P B$ 的度数．
解决此题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A逆时针旋转 $60 °$ 到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，连接 $P^{'} P$ ，借助旋转的性质可以推导出 $△ P A P^{'}$ 是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ________；

(2)、【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， E，F为边 $B C$ 上两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，请判断 $E F^{2}$ ， $B E^{2}$ ， $F C^{2}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、【方法推广】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 7$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，请你求出 $P A + P B + \sqrt{2} P C$ 的最小值．

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2、定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”．
例如：已知方程 $3 x - 6 = 0$ 和不等式 $x - 1 > 0$ ，对于未知数 $x$ ，当 $x = 2$ 时，使得 $3 \times 2 - 6 = 0$ ， $x - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$ 同时成立，则称 $x = 2$ 是方程 $3 x - 6 = 0$ 与不等式 $x - 1 > 0$ 的“和谐解”．

(1)、 $x = 3$ 是否是方程 $3 x - 9 = 0$ 与不等式 $3 (x - 2) < 6$ 的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”）

(2)、 $x = 2$ 是方程 $4 x - 5 = 3$ 与不等式（组）① $\frac{x + 1}{2} > 2$ ， ② $x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ ， ③ $\{\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 中________的“和谐解”；（只填序号）

(3)、如果 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $3 x - a = 0$ 与关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x - 2}{4} < 1 \\ 2 - 3 (x - a) \leq b \end{matrix}$ 的“和谐解”，那么 $a =$ ________， $b$ 的取值范围是________；

(4)、如果 $x = n$ 是关于 $x$ 的方程 $x + 2 m = 3$ 与关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 n + m - x > \frac{1}{2} \\ m - n + x > - 2 \end{matrix}$ 的“和谐解”，求出 $n$ 的取值范围．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $D M$ ， $E N$ 分别垂直平分 $A C$ 和 $B C$ ，交 $A B$ 于M，N两点．

(1)、若 $△ C M N$ 的周长为 $20 cm$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、若 $∠ A C B = 106 °$ ，求 $∠ M C N$ 的度数．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，且 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称，点A的坐标为 $(- 3, 4)$ ．

(1)、点 $B_{1}$ 的坐标为________，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点，将 $△ A B C$ 平移后点P的对应点是 $P^{'} (a - 2, b - 4)$ ，请画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．

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5、在对“ ${(3 a + 2 b)}^{2} - {(2 a + 3 b)}^{2}$ ”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小深：
原式 $= 9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (4 a^{2} + 12 a b + 9 b^{2})$ 第一步
$= 5 a^{2} - 5 b^{2}$ 第二步
$= 5 (a + b) (a - b)$ ．第三步
小圳：
原式 $= (3 a + 2 b + 2 a + 3 b) (3 a + 2 b - 2 a + 3 b)$ 第一步
$= (5 a + 5 b) (a + 5 b)$ 第二步
$= 5 (a + b) (a + 5 b)$ ．第三步
任务：

(1)、________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误．

(2)、按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．

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6、解不等式组 $\{\begin{cases} 2 x - 1 > x - 3 \\ \frac{2 x - 3}{3} \leq \frac{x - 1}{2} \end{cases}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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7、如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为6，D为边 $A C$ 的中点，P是线段 $B D$ 上一动点，当 $P B + 2 A P$ 的值最小时， $P B$ 的长为．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，根据尺规作图的痕迹， $B D =$ ．

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9、若关于x的不等式组 $\{\begin{cases} x + 3 < 2 x - 1 \\ x - a \leq 4 \end{cases}$ 无解，则a的取值范围是．

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10、若点 $A (2027, - 2026)$ 与点 $B (m, n)$ 关于原点O成中心对称，则 $m + n =$ ．

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11、将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在 $B C$ 上， $A B$ 与 $E F$ 交于点G． $∠ C = ∠ E F B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $∠ E = 45 °$ ，现将图中的 $△ A B C$ 绕点F按每秒 $9 °$ 的速度沿逆时针方向旋转 $180 °$ ，在旋转的过程中，当 $A C$ 的对应边 $A^{'} C^{'}$ 所在直线与 $D E$ 垂直时，旋转时间为（）

A、15秒 B、 $\frac{25}{3}$ 秒 C、10秒 D、5秒

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12、如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x - b_{1}$ 与 $y_{2} = k_{2} x - b_{2}$ 的图象交于点 $A (2, 6)$ ，则不等式 $(k_{1} - k_{2}) x \leq b_{1} - b_{2}$ 的解集为（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x \leq 2$ C、 $0 \leq x \leq 2$ D、 $x \leq 6$

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13、下列说法中，错误的是（）

A、等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B、“对顶角相等”的逆命题是假命题 C、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 $60 °$ ”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 $60 °$ D、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等

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14、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ A C$ 于点F．若 $S_{△ A B C} = 16.8$ ， $D E = 2.8$ ， $A C = 5$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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15、如图，将 $△ A B C$ 平移一定的距离得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $A B ∥ A^{'} B^{'}$ B、 $B B^{'} ∥ C C^{'}$ C、 $∠ A B C = ∠ A^{'} C^{'} B^{'}$ D、 $A C = A^{'} C^{'}$

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16、若 $x > y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 2026 < y + 2026$ B、 $x - 2026 < y - 2026$ C、 $2026 x < 2026 y$ D、 $- \frac{x}{2026} < - \frac{y}{2026}$

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17、下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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