相关试卷

1、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = 2$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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2、阅读与思考
活动密码中的数学
密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“ $L d p d v w x g h q w$ ”，如果给一把破译它的“钥匙” $x - 3$ ，联想英语字母表中字母的顺序： $a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z$ ，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到 $x - 3$ 可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 $L d p d v w x g h q w \to I a m a s t u d e n t$ ．
这样就能把密文“ $L d p d v w x g h q w$ ”破译成明文“ $I a m a s t u d e n t$ ”，从而解读出密文的意思了．
请你研究以下问题：

(1)、基础破译题
已知破译“钥匙”为“ $x - 3$ ”，请将密文“ $N f g h j$ ”破译成明文．

(2)、反向编码题
已知编码“钥匙”为“ $x + 1$ ”，请将明文“ $g o o d$ ”编码成密文．

(3)、钥匙推理题
现有明文“ $m a t h$ ”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“ $p d w k$ ”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”（格式示例： $x - 3$ ）．

(4)、拓展延伸
规定字母对应英语字母表中的位置（ $a = 1 ， b = 2 ， \dots ， z = 26$ ），编码“钥匙”为“字母对应数字 $+ 5$ ，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“ $e a s y$ ”按照此规则编码成密文．

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3、先化简，再求值： $- 3 a^{2} b - (5 a b^{2} - a^{2} b) + 2 (2 a b^{2} - a^{2} b)$ ，其中 $a = - 2$ ， $b = \frac{1}{3}$ ．

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4、计算

(1)、 $(- \frac{3}{4} - \frac{5}{9} + \frac{7}{12}) \times (- 36)$ ；

(2)、 $- 1^{2} + {(- 4)}^{3} \div 8 + |3 - 11| \times \frac{3}{5}$ ．

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5、若 $| a | = 3$ ， $| b | = 5$ ，且 $a > b$ ，则 $a + b =$ ．

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6、我们定义一种新运算，规定 $x ☆ y = x (y \div 3) + y - 2 x$ ，例如： $5 ☆ 9 = 5 \times (9 \div 3) + 9 - 2 \times 5 = 14$ ，则 $1 ☆ (- 6)$ 的值为（）

A、10 B、6 C、 $- 10$ D、 $- 6$

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7、元旦是公历新一年的第一天，“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛顼帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春．”为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少15元”．若某商品的原价为x元 $(x > 200)$ ，则购买该商品实际付款的金额是（）

A、 $(80 % x - 15)$ 元 B、 $80 % (x - 15)$ 元 C、 $(20 % x - 15)$ 元 D、 $20 % (x - 15)$ 元

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8、下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（）

A、正方形的周长 C 与边长 $a$ ． B、汽车匀速行驶时，路程 $s$ 与行驶时间 $t$ ． C、某村的总耕地面积固定，人均耕地面积 $y$ 与该村总人数 $x$ ． D、圆的面积 $S$ 与半径 $r$ ．

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9、计算： $2 a - 2 (2 a - 1) =$ （）

A、 $2 a + 2$ B、 $- 2 a + 2$ C、 $2 a - 2$ D、 $- 2 a - 2$

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10、项目化学习
项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（ $23 ℃$ ）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：
①取一桶桶装水，打开置于空气中；
②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
③数据分析，形成结论．
试验数据：
试验天数 $x$ /天
0
1
2
3
4
…
菌落总数 $y$ / $cfu \cdot {mL}^{- 1}$
15
20
25
30
35
…
问题解决：

(1)、如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数 $x$ （天），纵轴表示菌落总数 $y$ （ $cfu \cdot {mL}^{- 1}$ ），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线；

(2)、观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（ $y$ ）与试验天数（ $x$ ）之间的函数关系式；

(3)、根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过 $50 cfu \cdot {mL}^{- 1}$ 时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？

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11、包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意 $DIY$ 小组的同学将一个 $10 cm \times 30 cm \times 40 cm$ 的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为（）

A、 $70 cm$ B、 $60 cm$ C、 $50 cm$ D、 $40 cm$

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12、综合与实践
问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 的直线 $l$ 交边 $A B$ ， $C D$ 所在的直线于点 $M$ ， $N$ ．已知 $∠ B =60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ．
猜想验证：
（1）如图1，旋转直线 $l$ ，当 $M C ⊥ C N$ 时，连接 $A N$ ，求证：四边形 $A M C N$ 为矩形．
（2）如图2，当 $M C = C N$ 时，猜想线段 $M B$ ， $C D$ 和 $A N$ 的数量关系，并说明理由．
深入探究：
（3）当点 $M$ ， $N$ 在 $A B$ ， $C D$ 延长线上时， $l$ 交 $A D$ ， $B C$ 于点 $P$ ， $Q$ ，连接 $A Q$ ， $C P$ ，此时四边形 $A Q C P$ 为正方形．请直接写出 $P D$ 的长度．

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13、阅读下列材料，完成相应的任务：

几何法探究配方法解方程

西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽．

设小路宽为 $x m$ ，根据题意可列方程：

$x^{2} + 2 \times 11 x = 48$ ，

解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”，

整体看大正方形面积既可以表示为 $x^{2} + 22 x + 11^{2}$ ，也可以表示为 ${(x + 11)}^{2}$ ，

根据构造的图形，可将方程变形为 ${(x + 11)}^{2} = 169$ ，

利用平方根的定义求解即可．

将方程 $x^{2} + 22 x = 48$ 抽象为 $x^{2} + p x = q$ ，

求解过程如下： $x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = q + {(\frac{p}{2})}^{2}$ ，

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = \dots \dots$

任务：

(1)、将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解．

(2)、班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为

x

，则长为

(x + 10)

，根据题意列方程得

x (x + 10) = 20

，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方．

①根据构造的图形，可将方程变形为：，利用平方根的定义求解即可．

②将方程 $x (x + 10) = 20$ 抽象为：．

(3)、将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程．

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14、以下各图均是由边长为 $1$ 的小正方形组成的网格，图中的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上．

(1)、如图： $P C : P B =$ ．

(2)、在 $A B$ 上找点 $M$ ，使 $A M : A B = 1 : 3$ ．

(3)、在 $A C$ 上找点 $Q$ 使 $B Q ⊥ A C$ ．

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15、为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套.11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低 $x$ 元．

(1)、填表：（不需化简）
时间
10月
11月
清仓时
单价（元）
80
______
40
销售量（套）
200
______
______

(2)、如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $∠ A E D = 90 °$ ， $∠ E A D = 30 °$ ， $F$ 是 $A D$ 的中点， $E F = 4$ ，求 $B E$ 的长度．

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17、山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班 $20$ 名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？

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18、如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C, A H ⊥ B C$ 于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使 $F H = E H$ .求证：四边形EBFC是菱形.

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19、解下列方程：

(1)、 $3 {(2 x + 1)}^{2} = 108$ ；

(2)、 $x (x - 1) = 2 - 2 x$ ；

(3)、 $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ ．

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20、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B C$ 平移到 $△ A^{'} B^{'} F^{'}$ 位置， $A^{'} B^{'}$ 交 $A C$ 于点 $M$ ， $A^{'} F^{'}$ 交 $A C$ 于点 $N$ ．此时 $M$ 为 $A^{'} B^{'}$ 中点，已知 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $N F^{'} =$ ．

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试验天数 $x$ /天	0	1	2	3	4	…
菌落总数 $y$ / $cfu \cdot {mL}^{- 1}$	15	20	25	30	35	…

时间	10月	11月	清仓时
单价（元）	80	______	40
销售量（套）	200	______	______