相关试卷

1、化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为 $5 c m$ ，液面宽 $A B$ 的长为 $8 c m$ ，则瓶内液体最大深度为 $c m$ ．

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2、若扇形的圆心角为 $60 °$ ，半径为4，则该扇形的弧长为.

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3、二次函数 $y = x^{2} - m x + 3$ 的图象经过 $(1, 0)$ ，则 $m =$ ．

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4、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，等腰三角形 $A B C$ 的底边 $B C$ 、腰 $A C$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ ，其中弦 $E F ⊥ A B$ ．连接 $O D$ ， $D F$ ，设 $∠ A = x$ 度， $∠ F D O = y$ 度，则（）

A、 $x + y = 90$ B、 $2 x + y = 180$ C、 $x + 2 y = 180$ D、 $3 x + 2 y = 180$

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5、某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨 $0.5$ 元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（）元/千克．

A、42 B、40 C、38 D、35

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6、我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $\frac{4}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中的 $x$ ， $y$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$- 3$
$- 2$
0
1
3
4
…
$y$
…
7
0
$- 8$
$- 9$
$- 5$
0
…
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（）

A、图象开口向下 B、顶点坐标为 $(1, - 9)$ C、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(- 2, 0)$ 和 $(2, 0)$

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8、如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $∠ C P E$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $64 °$ D、 $72 °$

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9、点 $P_{1} (- 1, y_{1})$ ， $P_{2} (1, y_{2})$ ， $P_{3} (4, y_{3})$ 均在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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10、将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（）

A、 $y = (x + 2)^{2} - 2$ B、 $y = (x + 2)^{2} + 3$ C、 $y = (x - 2)^{2} - 2$ D、 $y = (x - 1)^{2} + 3$

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11、四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B = 60 °$ ，则 $∠ D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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12、下列函数中，一定为二次函数的是（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 (x + 1) (x - 4)$ C、 $y = a x^{2} + b x + c$ D、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$

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13、已知 $⊙ O$ 的半径为 $7 c m$ ．若点P到圆心O的距离为 $10 c m$ ，则（）

A、点P在 $⊙ O$ 上 B、点P在 $⊙ O$ 内 C、点P在 $⊙ O$ 外 D、无法判断

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14、我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”.
【探索实践】

(1)、【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

(2)、【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”，  ∠BCD=90°， AB=AC，点E， F分别是 BD， AD的中点，连接CE， EF，以CE， EF为邻边作平行四边形 CEFG.
求证：    ∠ABD=∠ACE；

(3)、求证：四边形 CEFG为正方形.

(4)、【任务三】如图2，在矩形ABCD中， AD=2AB，将△ABD沿对角线 BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF=CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”.

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15、如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”)，该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式（ $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b,$ 并将其命名为“弦图不等式”.

(1)、以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形ABCD 的面积可表示为，四个直角三角形的面积和可表示为（用含有a和b的字母表示)；
②如图1，当a<b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
③如图2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
④综上所述，可得到“弦图不等式”.

(2)、若a=x， $b = \frac{4}{x}$ 时，请利用“弦图不等式”，求代数式 $x^{2} + \frac{16}{x^{2}} (x⟩ 0)$ 的最小值，并求出此时x的值；

(3)、为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区.如图3，停放区面积为（ $6.48 m^{2}$ （即长方形 ABCD的面积)，其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少?若一辆APEC纪念款单车长度为1.7m，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内.

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16、第十五届全国运动会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神.我们在电商平台和实体店了解其销售情况.

(1)、统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若每个月的平均增长率相同，求月平均增长率；

(2)、对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元?

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17、尺规作图（不写作法，保留作图痕迹)

(1)、请在图①中，在菱形ABCD作出其内接矩形 EFGH，使得点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.

(2)、请在图②中，在矩形ABCD作出其内接菱形EFGH，要求点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.

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18、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 2 k = 0 .$

(1)、求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两根为x₁ ， x₂ ，且满足. $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 0,$ 求k的值.

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19、解方程组

(1)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

(2)、 $4 {(x + 1)}^{2} = 9 {(x - 2)}^{2}$

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20、如图，在△ABC中， ∠A=60°， BD为AC边上的高， E为BC边的中点，点F在AB边上， ∠EDF=60°，若 $A F = 4, B F = \frac{20}{3},$ 则BC边的长为.

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$x$	…	$- 3$	$- 2$	0	1	3	4	…
$y$	…	7	0	$- 8$	$- 9$	$- 5$	0	…