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1、如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C (0, 3)$ ，且 $O A = O C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $D$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $B C$ 和 $B D$ ， $B D$ 交 $A C$ 于点 $M$ ， $B D$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，若 $△ C M N$ 是以 $C N$ 为底的等腰三角形，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2所示，若点 $P$ 是抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴交直线 $A C$ 于 $Q$ 点，请问在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使以 $P$ ， $Q$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点 $A (x, y)$ 是函数图象上任意一点，纵坐标 $y$ 与横坐标 $x$ 的差 $y - x$ 称为点 $A$ 的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点 $A (1, 3)$ 在函数 $y = 2 x + 1$ 图象上，点 $A$ 的“郡值”为 $3 - 1 = 2$ ，函数 $y = 2 x + 1$ 图象上所有点的“郡值”可以表示为 $y - x = 2 x + 1 - x = x + 1$ ，当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $x + 1$ 的最大值为 $6 + 1 = 7$ ，所以函数 $y = 2 x + 1$ 在 $3 \leq x \leq 6$ 时的“最优郡值”为 $7$ ．
根据定义，解答下列问题：

(1)、①点 $B (- 2, 3)$ 的“郡值”为__________；
②函数 $y = \frac{4}{x} + x (- 4 \leq x \leq - 1)$ 的“最优郡值”为__________；

(2)、线段 $M N : y = k x + 1 (- 1 \leq x \leq 2)$ 的“最优郡值”为 $3$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若二次函数 $y = - {(x - h)}^{2} + k$ 图象的顶点在直线 $y = x + 9$ 上，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，二次函数的“最优郡值”为 $7$ ，求 $h$ 的值．

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3、如图，已知直线 $y_{1} = - x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且抛物线经过 $B$ ， $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $- 3 < x < 0$ 时，直接写出 $y_{2}$ 的取值范围；

(3)、在直线 $B C$ 的下方的抛物线上，是否存在点 $N$ ，使 $△ N B C$ 的面积最大？若存在，请求出点 $N$ 的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．

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4、先化简，再求值： $[(3 x - 2 y) (3 x + 2 y) - x (9 x - 2 y)] \div y$ ，其中 $x = 3$ ， $y = - 2$ ．

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5、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为．

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6、某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有人．

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7、如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接 $C F 、 D E$ ，有下列结论：① $△ C E F$ 与 $△ D E F$ 的面积相等；② $E F ∥ C D$ ；③ $△ D C E ≌ △ C D F$ ；④ $A C = B D$ ；⑤ $△ C E F$ 的面积等于 $\frac{k}{2}$ ，其中正确的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了 $300$ 个充电桩，第三个月新建了 $432$ 个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 $x$ ，根据题意，列出方程为（）

A、 $300 (1 + 2 x) = 432$ B、 $300 (1 + x^{2}) = 432$ C、 $300 {(1 + x)}^{2} = 432$ D、 $300 {(1 - x)}^{2} = 432$

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9、阅读下面材料：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)、【概念理解】：如图①，若AD＝1，AD＝DB＝DC， $B C = \sqrt{2}$ ，则四边形ABCD （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；

(2)、【性质应用】：如图①，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD＝4，AB＝3时，BC²＝；

(3)、【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，∠ADE＝90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明AC与BE的数量关系；

(4)、【拓展提高】：如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD＝1，AB＝2，∠BAD＝45°，求AC的长．

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10、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（4，3），C（2，0）．

(1)、在平面直角坐标系中画出△ABC；

(2)、请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；并写出△A₁B₁C₁各顶点坐标；

(3)、已知P为x轴上一点，若△ACP的面积为4，请直接写出所有符合题意的点P的坐标．

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11、如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是（﹣4，2），行政楼的位置是（3，﹣3）．

(1)、根据题意，画出相应的平面直角坐标系；

(2)、分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置；

(3)、若学校宿舍楼的位置是（﹣5，4），音乐楼的位置是（﹣4，﹣4），在图中标出它们的位置．

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12、已知2a+1的平方根是±3，a+b﹣5的立方根是1，c是 $\sqrt{29}$ 的整数部分．

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求a+3b+c的算术平方根．

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{32}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 2)^{2}$ ；

(3)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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14、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，过点A作AE⊥AD，且AD＝AE，连接BE，DE．则DE的长度为．

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15、一个正数a的平方根是2x﹣8和5x+15，那么x的值为．

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16、点（﹣5，3）到x轴上的距离是．

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17、数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（　　）

A、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{2}$ B、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、a²﹣b² D、a²+b²

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18、如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$

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19、如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标为（　　）

A、（2，﹣2） B、（2，1） C、（1，2） D、（2，2）

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20、已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A、a²＝b²﹣c² B、a＝6，b＝8，c＝10 C、∠A＝∠B+∠C D、∠A：∠B：∠C＝5：12：13

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