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1、现有一张矩形纸片ABCD，其中. ， 点E 是 BC 的中点，将纸片沿着直线AE 折叠，点 B 落在四边形ABCD 内，记为点 F，则线段 FC 的长为.
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2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连接AB.将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点 A 落在x 轴上的点A'处，折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C，则直线 BC 的解析式为.
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3、取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：把矩形ABCD 对折，设折痕为MN，如图①.
第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点B 在MN 上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图②.
第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图③.
利用展开图④探究：
(1)、△AEF 是什么三角形?证明你的结论.(2)、对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由. -
4、问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD 的中点，连接EF，BF，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明.
(1)、独立思考：请解答老师提出的问题.(2)、实践探究：希望小组受此问题的启发，将 沿着BF(F 为CD 的中点)所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为C'，连接DC'并延长交AB 于点G，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明. -
5、如图是一张矩形纸片ABCD，点M 是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF=
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6、将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于点 E，交BC 于点F，边 AB 折叠后与BC 交于点G.
(1)、如果M为CD 边的中点，求证：DE ：DM：EM=3：4：5.(2)、如果M 为CD边上的任意一点，设AB=2a，问：△CMG 的周长是否与点 M 的位置有关?若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x的代数式表示；若无关，请说明理由. -
7、把正方形纸片的一边二等分、四等分有理论上的精确折法，而将一边三等分却不易，这一折法是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.
其折法如下：
第一步：沿EF 折叠正方形纸片ABCD，使折叠后左右两边重合；
第二步：重新展开纸片，沿MN 折叠，使点 D 与点E 重合，点C 落在点 P 位置，EP 与BC 的交点即为BC 边上的三等分点.
下面给出证明.
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8、如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB 上取一点M，在CD 上取一点N，将纸片沿 MN 折叠，使MB 与DN 交于点K，得到△MNK.
(1)、若∠1=70°，求∠MKN 的度数.(2)、△MNK 的面积能否小于 ?若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由.(3)、如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值. -
9、如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD上的一点 H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形.
②EC平分∠DCH.
③线段 BF 的取值范围是3≤BF≤4.
④当点 H 与点A 重合时，
以上结论中，正确的序号是.
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10、
(1)、操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE.分别取 BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现：线段GM 与GN 的数量关系是；位置关系是.
(2)、类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB>AC，其他条件不变.小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.
(3)、深入探究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变.试判断△GMN 的形状，并给予证明.
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11、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC、等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF 的中点，连接MB，ME.
(1)、如图①，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)、如图①，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长.(3)、如图②，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME. -
12、如图，已知AD，BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于.
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13、如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为.
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14、在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D 是AB 的中点. E 为直线AC 上一动点，连接DE，过点D 作DF⊥DE，交直线 BC 于点 F，连接EF.
(1)、如图①，当E 是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF 的长(用含a，b的式子表示).(2)、当点 E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图②，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明. -
15、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别过点B，C 作∠BAC 平分线的垂线，垂足分别为点 D，E，BC的中点为M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误的是( ).
A、CD=2ME B、ME∥AB C、B D、=CD D. ME=MD -
16、如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD 和DA 的中点，连接EF，FG，GH和 HE.若EH=2EF，则下列结论正确的是( ).
A、 B、AB=2EF C、 D、 -
17、如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H 分别为EC，FD 的中点，连接GH，则GH 的长度为.
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18、如图，四边形ABCD中， 点 M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点 M 不与点B 重合)，点E，F分别为DM，MN 的中点，则EF 长度的最大值为.
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19、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC 的中点，EF⊥AC 于点F，G为EF的中点，连接 DG，则 DG 的长为.
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20、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图①、图②、图③中，AF，BE 是△ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC=a，AC=b，AB=c.
(1)、特例探索如图 ①，当∠ABE = 45°，c = 2 时，a = ， b =；如图②，当∠ABE=30°，c=4时，a= ， b=.
(2)、归纳证明请你观察(1)中的计算结果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图③证明你发现的关系式.
(3)、拓展应用如图④，在▱ABCD 中，点 E，F，G 分别是AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD=2 ， AB=3.求 AF 的长.