相关试卷

1、【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足 $a ⊙ b = \frac{b}{\sqrt{a}}$ ．例如： $16 ⊙ 3 = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$ ．
（1）计算： $2 ⊙ 1 =$ ， $a ⊙ a =$ （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足 $4 ⊙ (6 a) - 1 ⊙ (2 b) = 8$ ， $2 ⊙ (2 \sqrt{2} a) + 9 ⊙ (3 b) = 10$ ，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记 $△ A B C$ 的三边长分别为a、b、c， $∠ C A E = ∠ B A F = 90 °$ ， $A C = A E$ ， $A B = A F$ ， $A C$ $∥ E F$ ．若 $a + b = 5$ ， $S_{△ A B F} = \frac{13}{2}$ ，求 $(c ⊙ a) \cdot (c ⊙ b)$ ．

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2、贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．

A种春联
B种春联
进价（元/副）
15
12
售价（元/副）
18
14.5

(1)、该超市购进两种春联各多少副？

(2)、由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？

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3、如图，点D、E分别在 $△ A B C$ 的边 $A B ， A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，点F在线段 $C D$ 上，且 $∠ D E F = ∠ B$ ．

(1)、求证： $∠ D F E = ∠ B D C$ ；

(2)、若 $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $∠ B D C = 2 ∠ B$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 5, 1)$ ， $B (- 4, 4)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于x轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若直线l经过点 $(1, 0)$ 且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点 $C_{2}$ 的坐标；

(3)、 $△ A B C$ 的面积为．

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5、学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A． $90 \leq x \leq 100$ ；B． $80 \leq x < 90$ ；C． $70 \leq x < 80$ ；D． $60 \leq x < 70$ ），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
82
82
中位数
a
c
方差
$278.9$
$134.7$
根据以上数据分析信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ， $m =$ ；

(2)、如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选年级更合适（填“七”或“八”）；

(3)、该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？

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6、（1）计算： $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{45}}{\sqrt{5}} - \sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{3}} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$
（2）解方程组： $\{\begin{array}{l} 3 x - y = 6 \\ x - 3 y = 2 \end{array}$

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 3 \sqrt{6}$ ， D为 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，过点A作 $A E ⊥ A D$ ，取 $A E = A D$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于F．若 $A E = E F$ ，则 $A D =$ ．

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8、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，动点P从点A出发，沿着 $A \to B \to C$ 的路径运动到点C停止，过点P作 $P Q ⊥ A C$ ，垂足为Q．设点P的运动路程为x， $P Q - A Q$ 的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则 $A B$ 的长为．

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9、若一次函数 $y = k x + b$ 的图像与 $y = - \frac{4}{3} x$ 的图像相交于点 $M (3, m)$ ，则关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} k x + b - y = 0 \\ \frac{4}{3} x + y = 0 \end{array}$ 的解是．

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10、小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作 $90$ 分，计算机操作 $70$ 分，创意设计 $80$ 分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按 $50 %$ ， $20 %$ ， $30 %$ 的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为分．

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11、如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为 $(- 2, 1)$ ，表示尾部点B的坐标为 $(3, - 1)$ ，则表示足部点C的坐标为（）．

A、 $(0, - 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(0, - 1)$

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12、下列实数中，是无理数的是（）

A、 $1. \overset{\cdot}{3} \overset{\cdot}{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\sqrt[3]{27}$

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13、综合与实践：
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届， $I C M E - 14$ 于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．
（提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为 ${(011)}_{2}$ ）

(1)、【观察发现】
左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______；

(2)、【解决问题】
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ ，依此类推），然后相加．
例如： ${(011)}_{2} = 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 0 + 2 + 1 = 3$ .（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 $2^{0} = 1$ ）
①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算）
②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）

(3)、【类比迁移】
请用十进制求出 ${(2024)}_{3} + {(2024)}_{4}$ 的结果．

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14、刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．

(1)、已知表盘直径 $B C$ 为 $3 cm$ ， $C D : A B = 2 : 1$ ，若B是 $A C$ 中点，求：手表 $A D$
的全长．

(2)、在某个时刻，分针 $O N$ 指向表盘上的数字“6”（此时 $O N$ 与 $O C$ 重合）.时针为 $O E$ ，琪琪一看现在正好是 $8 : 30$ ，如图③所示．则 $8 : 30$ 时分针和时针的夹角为______度．

(3)、在（2）的条件下，作射线 $O M$ ，使 $∠ E O M = 25 °$ ，则 $∠ B O M$ 的度数为________．

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15、春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元．

(1)、求每个“巳升升”摆件的进价是多少元?

(2)、请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件?

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16、如图、已知直线 $l$ 和点A、B、P．

(1)、请用没有刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①画射线 $P B$ ；
②连接 $A P$ ，在线段 $A P$ 的延长线上作线段 $P C$ ，使 $P C = P A$ ；

(2)、连接 $B C$ ，则 $A C < B C + A B$ 成立的理由是____．

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17、（1）计算： ${(- 1)}^{2021} + |2 - (- 3)| + 3 \div (- 1)$ ；
（2）解方程： $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} - 2$ ．

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18、如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为 $- 4$ ，点B是 $A C$ 的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒 $(t > 0)$ ，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．

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19、如果方程 $(m - 1) x^{2 |m| - 1} + 2 = 0$ 是一个关于 $x$ 的一元一次方程，那么 $m$ 的值是．

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20、在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，用数学知识解释为．

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	A种春联	B种春联
进价（元/副）	15	12
售价（元/副）	18	14.5

年级	七年级	八年级
平均数	82	82
中位数	a	c
方差	$278.9$	$134.7$