相关试卷

1、对于五个整式， $A$ ： $2 x^{2}$ ； $B$ ： $x + 1$ ； $C$ ： $- 2 x$ ； $D$ ： $y^{2}$ ； $E$ ： $2 x - y$ 有以下几个结论： $①$ 若 $y$ 为正整数，则多项式 $B \cdot C + A + D + E$ 的值一定是正数； $②$ 存在实数 $x$ ， $y$ ，使得 $A + D + 2 E$ 的值为 $- 3$ ； $③$ 若关于 $x$ 的多项式 $M = 3 (A - B) + m \cdot B \cdot C (m$ 为常数 $)$ 不含 $x$ 的一次项，则该多项式 $M$ 的值一定不小于 $- 3$ ； $④$ 若 $2 A - D = E (4 B + C)$ ，则 $y = 4 .$ 上述结论中，正确的个数是（　　）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2、若 $P = a - 2 ， Q = a^{2} + 3 a$ ( $a$ 为实数)，则 $P ， Q$ 的大小关系为 $P$ Q． (填“>” “ $<$ ”或 $“ = ”)$

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3、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
$a^{2} + 2 a - 4 = a^{2} + 2 a + 1 - 1 - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5$
∵ ${(a + 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a^{2} + 2 a - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5 \geq - 5$ ，
因此，代数式 $a^{2} + 2 a - 4$ 有最小值 $- 5$ ，
根据以上材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $a^{2} - 2 a + 2$ 的最小值为；

(2)、试比较 $a^{2} + b^{2} + 11$ 与 $6 a - 2 b$ 的大小关系，并说明理由；

(3)、如图，在直角坐标系中，点 $A (0, \frac{1}{2} a^{2} + a)$ 和点 $B (0, - 2 a - \frac{13}{2})$ 在 $y$ 轴上，点 $M$ 在 $x$ 轴负半轴上， $S_{Δ A B M} = 2$ ，当线段 $O M$ 最长时，求点 $M$ 的坐标．

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4、上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$ ．
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0．
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ．
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值（填“大”或“小”），这个值是；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 5 = 0$ ，求 $y + x$ 的最小值．

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5、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价 $x$ 元，则可列方程为.

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6、某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 1380000$ B、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 138$ C、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 138$ D、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 1380000$

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7、某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为 $800 k g$ ，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到 $1352 k g$ ．

(1)、若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．

(2)、已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 $0.1$ 万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？

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8、温州市2022年 $G D P$ （国内生产总值）约为8030亿元，2024年 $G D P$ 约为9719亿元．设这两年温州市的 $G D P$ 平均增长率为 $x$ ，则可列出方程（　　）

A、 $8030 {(1 + x)}^{2} = 9719$ B、 $8030 x^{2} = 9719$ C、 $8030 (1 + x^{2}) = 9719$ D、 $8030 (1 + 2 x) = 9719$

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9、根据以下素材，完成探索任务．

探索果园土地规划和销售利润问题
素材1	某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，图1是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 $2 x$ 米，左右两条纵向道路的宽度都为 $x$ 米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度 $2 x$ 不超过24米，且不小于10米．
素材2	该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1	解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．	（1）请直接写出纵向道路宽度 $x$ 的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2	解决果园种植的预期利润问题．（净利润 $=$ 草莓销售的总利润 $-$ 路面造价费用 $-$ 果园承包费用 $-$ 新苗购置费用 $-$ 其余费用）	（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．

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10、为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

(1)、求豆沙粽和肉粽的单价；

(2)、超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值

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11、为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 $x$ ，根据题意，可列方程（　　）

A、 $200 (1 + 2 x) = 600$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 600$ C、 $600 {(1 + x)}^{2} = 200$ D、 $200 {(1 + x)}^{2} = 600$

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12、如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙 $（ M N)$ ，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为 $x m$ 。

(1)、如图1，用含 $x$ 的代数式表示BC的长。

(2)、如图1，当长方形花园ABCD的面积为 $400 m^{2}$ 时，求 $x$ 的值。

(3)、如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND ，构成长方形ABCD ，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为 $500 m^{2}$ 吗？如果能，求出 $x$ 的值；如果不能，请说明理由。

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．如果 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动．设运动时间为 $t s$ ．

(1)、填空： $B Q =$ $c m$ ， $P B =$ $c m$ ；（用含t的代数式表示）

(2)、当t为何值时， $P Q$ 的长度等于 $5 c m$ ？

(3)、是否存在t的值，使得四边形 $A P Q C$ 的面积等于 ${9 c m}^{2}$ ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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14、金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为 $60 c m$ ，宽为 $50 c m$ 的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是 $4200 {c m}^{2}$ ，设纸边的宽为 $x （ c m)$ ，则x满足的方程是（　　)

A、 $（ 60 + x) （ 50 + x) = 4200$ B、 $（ 60 - 2 x) （ 50 - 2 x) = 4200$ C、 $（ 60 + 2 x) （ 50 + 2 x) = 4200$ D、 $（ 60 - x) （ 50 - x) = 4200$

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15、如图1，有一张长 $20 c m$ ，宽 $10 c m$ 的长方形硬纸片，裁去四个角的两个小正方形和两个小长方形（阴影部分）后，恰好折成如图2所示的有盖的长方体纸盒，且它的底面积是 $28 {c m}^{2}$ ．设纸盒的高为 $x c m$ ，则可列出方程为（　　）
图1 图2

A、 $(10 - 2 x) (20 - 2 x) = 28$ B、 $\frac{20 - 2 x}{2} \times (10 - 2 x) = 28$ C、 $(10 - x) (20 - x) = 28$ D、 $\frac{(20 - x) (10 - 2 x)}{2} = 28$

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16、如图，在一块长 $28 m$ 、宽 $10 m$ 的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是 $243 m^{2}$ ，设小路的宽度为 $x m$ ，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A、 $28 \times 10 - 28 x - 10 x = 243$ B、 $2 (28 - x + 10 - x) = 243$ C、 $(28 - x) (10 - x) + x^{2} = 243$ D、 $(28 - x) (10 - x) = 243$

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17、如图，学校为美化环境，准备用总长为 $29 m$ 的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃 $A B C D$ ，其中墙长 $19 m$ ，花圃三边外围用篱笆围起，并在边 $B C$ 上留一个 $1 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、若花圃的面积为 $100 m^{2}$ ，求花圃的一边 $A B$ 的长；

(2)、花圃的面积能达到 $120 m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．

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18、根据以下素材，探索完成任务

如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1	如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2	如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为 $a$ （ $c m$ ）（ $a < 50$ ）的长方形纸板．

素材3	小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
	将纸板①裁去角上4个长宽之比为 $1 : 2$ 的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）．	将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1	（1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽 $a$ 为 ▲ $c m$ （ $a < 50$ ）
利用目标1计算所得的数据 $a$ ，进行进一步探究．
目标2	（2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是 $832 c m^{2}$ 时储物盒的体积为多少？
目标3	（3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？

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19、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 （ b \neq 0)$ 与 $x^{2} + c x + d = 0$ 都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且 $a b = c d$ ，则称它们互为“同根轮换方程”．如 $x^{2} - x - 6 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 互为“同根轮换方程”．

(1)、方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x + 6 = 0$ 互为“同根轮换方程”吗？

(2)、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 与 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 互为“同根轮换方程”，求 $m$ 的值；

(3)、已知方程①： $x^{2} + a x + b = 0$ 和方程②： $x^{2} + 2 a x + \frac{1}{2} b = 0$ ， $p$ 、 $q$ 分别是方程①和方程②的实数根，且 $p \neq q, b \neq 0$ ．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含 $a$ 的代数式分别表示 $p$ 和 $q$ ；如果不能，请说明理由．

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20、如图，已知AG $∥$ CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点（点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为.

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	豆沙粽数量	肉粽数量	付款金额
小欢妈妈	20	30	270
小乐妈妈	30	20	230