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1、中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何?其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 $\frac{1}{2}$ 钱，会多出4钱；每人出 $\frac{1}{8}$ 钱，又差了3钱.问人数，进价各是多少?设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )

A、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$

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2、如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为( )

A、(4， 2) B、(4， 6) C、(6， 3) D、(6， 2）

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3、下列计算正确的是( )

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 ${(- a^{2})}^{5} = - a^{7}$ C、 $(a + 1) (a - 1) = a^{2} - 1$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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4、根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约为7920000人，比2024年减少了1620000人.其中 7920000用科学记数法表示为( )

A、 $7.92 \times 1 0^{5}$ B、 $7.92 \times 1 0^{6}$ C、 $79.2 \times 1 0^{5}$ D、 $792 \times 1 0^{4}$

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5、如图， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 为 $A B$ 上方一点， $E$ 在直线 $A B$ 上．

(1)、如图 $1$ ，求证： $∠ P = ∠ P E B - ∠ C$ ；

(2)、如图 $2$ ，点 $F$ 为直线 $C D$ 上一点， $∠ P E B$ 、 $∠ C F P$ 的角平分线所在直线交于点 $Q$ ，求 $∠ P$ 与 $∠ Q$ 的数量关系；

(3)、如图 $3$ ， $N$ 为 $A B$ 、 $C D$ 之间一点，且在 $∠ C P E$ 内部， $∠ E P N = n ∠ C P N$ 、 $∠ D C N = n ∠ P C N$ ，当 $2 ∠ C N P - ∠ P E A = 180 °$ 恒成立时， $n =$ ．

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6、如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ， $∠ 5 = ∠ A$ ，试说明： $B E ∥ C F$ ．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
解： $∵ ∠ 3 = ∠ 4$ （已知），
$∴ A E$ $∥$ （）．
$∴ ∠ E D C = ∠ 5$ （）
$∵ ∠ 5 = ∠ A$ （已知），
$∴ ∠ E D C =$ （）．
$∴ D C ∥ A B$ （）．
∴ $∠ 5 + ∠ A B C = 180 °$ （）
即： $∠ 5 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，
∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）
∴ $∠ 5 + ∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ （）
即： $∠ B C F + ∠ 3 = 180 °$ ，
∴ $B E ∥ C F$ （）

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7、如图，直线 $A B ， C D$ 相交于点 $O$ ， $E O ⊥ A B$ ，垂足为 $O$ ， $∠ A O C : ∠ C O E = 2 : 3$ ，求 $∠ A O D$ ．

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8、已知： $△ A B C$ ．求作：直线 $D E$ ，使 $D$ 为 $B C$ 边上一点， $B D = A B$ 且 $D E ∥ A B$ ．

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9、如图，长方形地块周长为104米，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，当道路宽为2米时，道路的总面积为．

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10、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．

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11、如图，在水平地面 $A B$ 上放一个平面镜 $A C$ ，且 $∠ C A B = 42 °$ ，在 $A B$ 边上有一点 $D$ ，从点 $D$ 处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 $E F$ 恰好与 $A B$ 平行，则 $∠ B D E$ 的度数为（）

A、 $84 °$ B、 $96 °$ C、 $108 °$ D、 $132 °$

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12、画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（）

A、同位角相等，两直线平行 B、内错角相等，两直线平行 C、同旁内角互补，两直线平行 D、两直线平行，同位角相等

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13、如图，将三角形 $A B C$ 沿 $B C$ 方向平移 $1 c m$ 得到对应的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．若 $B^{'} C = 2 c m$ ，则 $B C^{'}$ 的长是（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $5 c m$

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14、⑴在平面内如果直线a⊥b， $b ⊥ c$ ，那么 $a ∥ c$ ；
⑵相等的角是对顶角；
⑶两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
⑷如果直线a⊥b， $c ∥ b$ ，那么 $a ∥ c$ ；
⑸两条直线平行，同旁内角相等；
⑹两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．
以上说法正确的有几个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15、下列图形中，由 $∠ 1 = ∠ 2$ ，能得到 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图， $D A ⊥ A B, C D ⊥ D A, ∠ B = 46 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $154 °$ B、 $144 °$ C、 $134 °$ D、 $124 °$

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17、如图，在一个弯形管道 $A B C D$ 中，测得 $∠ A B C = 70 °$ ， $∠ B C D = 110 °$ 后，就可以知道管道 $A B ∥ C D$ ，其依据的定理是（）

A、同位角相等，两直线平行 B、内错角相等，两直线平行 C、同旁内角互补，两直线平行 D、平行于同一条直线的两直线平行

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18、图中的同位角是（）

A、 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ B、 $∠ 2$ 和 $∠ 4$ C、 $∠ 1$ 和 $∠ 4$ D、 $∠ 2$ 和 $∠ 3$

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19、如图①，已知AD//BC ， ∠B=∠D=120°．

(1)、请问：AB与CD平行吗？为什么？

(2)、若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE ， AF平分∠DAE ，如图②，求∠FAC的度数．

(3)、若点E在直线CD上，且满足∠EAC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．

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20、下列说法中①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线平行，同旁内角互补；④直线外一点到已知直线的垂线段就是点到直线的距离，其中正确的有（）个

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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