相关试卷

1、数学探究课上，老师布置的任务如下：
任务一：自学阅读材料．
我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果 $a - b = a \div b$ ，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为 $(a, b)$ ．
例如： $4 - 2 = 4 \div 2$ ， $\frac{9}{2} - 3 = \frac{9}{2} \div 3$ ，则称数对 $(4, 2)$ ， $(\frac{9}{2}, 3)$ 是“差商等数对”．
任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题：

(1)、下列数对中，是“差商等数对”的是_____．（填序号）
① $(2, 3)$ ；② $(\frac{25}{4}, 5)$

(2)、若 $(m, 6)$ 是“差商等数对”，求出m的值．

(3)、若 $(2 a + b - 1, 3)$ 是“差商等数对”，求 $2 a + b$ 的值．

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2、随着人们对交通安全意识的增强，城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进 $A$ 种头盔 $2$ 个和 $B$ 种头盔 $4$ 个共需 $270$ 元， $A$ 种头盔 $4$ 个和 $B$ 种头盔 $3$ 个共需 $390$ 元．

(1)、 $A$ 、 $B$ 两种头盔的单价各是多少元？

(2)、该店计划正好用 $450$ 元购进 $A$ 、 $B$ 两种头盔共 $9$ 个，销售 $1$ 个 $A$ 种头盔可获利 $35$ 元，销售 $1$ 个 $B$ 种头盔可获利 $15$ 元．假如这些头盔全部售出，则该店共可获利多少元？

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3、在进行有理数计算时，有些题目数据较多时，计算量大，容易出错，这时我们先找基准量，根据基准量重新标记这些数据，然后再列算式计算．
$2023$ 年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，硕果累累．某市农产品已出口到 $33$ 个“一带一路”沿线国家和地区．如图，表格给出了通过两种不同方式记录的该市 $2023$ 年上半年农产品的出口量（单位：吨．其中，方式二以 $m$ 为标准，超出记为“ $+$ ”，不足记为“ $-$ ”）．
月份
1
2
3
4
5
6
农产品出口量方式一
74
134
48
171
180
$b$
农产品出口量方式二
$- 26$
$+ 34$
$a$
$+ 71$
$+ 80$
$- 38$
请根据表中信息解决下列问题：

(1)、 $m =$ ____， $a =$ ____， $b =$ _____；

(2)、以下是该市下半年 $6$ 个月农产品的出口量（以 $m$ 为标准，超出记为“ $+$ ”，不足记为“ $-$ ”） $+ 15$ ， $- 24$ ， $+ 27$ ， $+ 23$ ， $- 25$ ， $- 37$ ；求该市下半年 $6$ 个月农产品的出口总量．

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4、先化简，再求值： $3 (x^{2} y - x y) - (3 x^{2} y - 2 x y)$ ，其中 $x = 2$ ， $y = - 1$ ．

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5、解方程：

(1)、 $3 x - 1 = x + 5$ ；

(2)、 $\frac{3 x + 1}{3} = \frac{9 - x}{6}$ ．

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6、计算：

(1)、 $3 + (- 8)$ ；

(2)、 $- 4 + {(- 3)}^{2} \times \frac{1}{3} + |- 2|$ ．

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7、如图，是由一些火柴棒搭成的图案：摆第1个图案用5根火柴棒；摆第2个图案用9根火柴棒；摆第3个图案用13根火柴棒，按照这样的方式摆下去，摆第2025个图案用的火柴棒根数为．

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8、某校初一（ $1$ ）班共有学生 $45$ 人，其中男生人数比女生人数的 $2$ 倍少 $6$ 人，设女生人数为 $x$ 人，则可列方程为．

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9、已知 $a = - 1$ ，则代数式 $a^{2} - 2 a$ 的值是．

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10、已知∠A＝70°，则∠A的余角是．

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11、远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为 $1 \times 5^{2} + 4 \times 5^{1} + 2 = 47$ ，那么图2表示打卡的天数为（）

A、50 B、98 C、47 D、89

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12、若 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $a x - 5 = 1$ 的解，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $3$ C、 $9$ D、 $11$

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13、如图，把一段弯曲的河道改直可以缩短航程．能正确解释这一现象的数学知识是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、线段中点的定义 D、以上都不对

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14、如图， $C$ ， $D$ 是线段 $A B$ 上的两点，且 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，若 $A B = 13$ ， $C B = 5$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $6.5$ C、 $4$ D、 $5$

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15、买一个篮球需要 $m$ 元，买一个足球需要 $n$ 元，则 $(4 m + 3 n)$ 元表示的实际意义为（）

A、买3个篮球和4个足球需要的钱 B、买4个篮球和3个足球需要的钱 C、买3个篮球比买4个足球多花多少钱 D、买4个篮球比买3个足球多花多少钱

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16、如图，数轴的单位长度是1，若点B表示的数是2，则点A表示的数是（）

A、 $- 3$ B、2 C、 $- 4$ D、 $- 5$

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17、小明家冰箱冷藏室的温度是零上 $6 ℃$ ，记作 $+ 6 ℃$ ，冷冻室的温度是零下 $10 ℃$ ，应记作（）

A、 $+ 4 ℃$ B、 $- 4 ℃$ C、 $+ 10 ℃$ D、 $- 10 ℃$

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18、定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”．如图1，在四边形中，对角线BD平分∠ABC和∠ABD，那么对角线BD叫做四边形ABCD的“等分线”，四边形ABCD就称为“等分对角四边形”．
问题：

(1)、下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有；（填序号）

(2)、四边形ABCD是“等分对角四边形”， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， $A D = 2$ ，求四边形ABCD的“等分线”的长；

(3)、如图，在菱形ABCD中， $A B = 8$ ， $∠ A B C = 6 0^{°}$ ，点E， F， G分别在边AD， BC和AB上，BE与GF交于点P，点Q是线段EF上任意一点，连接PQ，若四边形BGEF是“等分对角四边形”，“等分线”是GF，求线段PQ的最小值.

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19、综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为m米的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），使得矩形花园ABCD的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？

(1)、由简单情形入手，分析问题假设篱笆长为4米，即m=4米，设AB=x米，BC=y米，根据题意可得 ${\begin{array}{l} x + y = 4 \\ x = 4 \end{array}$ ，解得x= ， y= ，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；

(2)、建立函数模型，画出函数图象
设AB=x米，BC=y米，依题意得x+y=xy，得到y与y的函数关系式为 $y = \frac{x}{x - 1}$ ．再由篱笆长为m米，得x+y=m，即y=-x+m．兴趣小组的思路是用函数 $y = \frac{x}{x - 1}$ 与函数y=-x+m来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．接下来先画函数 $y = \frac{x}{x - 1}$ 的图象：
列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示，
x
…
-2
-1
0
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{3}{2}$
2
3
4
…
$y = \frac{x}{x - 1}$
…
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
P
-1
-2
4
3
2
$\frac{3}{2}$
q
…
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，p= ▲ ， q= ▲ ；
②请你将下图中直线x=1两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；

(3)、观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数y=-x+m的图象可由直线y=-x平移得到．当直线平移到与函数 $y = \frac{x}{x - 1}$ (x>0)的图象有唯一交点时，此时交点坐标为(2，2)，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出m的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当m为 $\frac{16}{3}$ 时“完美矩形”的长．

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20、如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点．

(1)、请从下列条件：① $D F = B E$ ；② $A F = C E$ ；③ $A E = C E$ ；④ $∠ D A F = ∠ B C E$ 中选择一个能证明四边形 AECF是菱形的条件，并写出完整证明过程．我选择条件（填序号），证明如下：

(2)、若正方形和菱形ABCF的面积分别为10，6，求 $\frac{D F}{E F}$ 的值．

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月份	1	2	3	4	5	6
农产品出口量方式一	74	134	48	171	180	$b$
农产品出口量方式二	$- 26$	$+ 34$	$a$	$+ 71$	$+ 80$	$- 38$

x	…	-2	-1	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	2	3	4	…
$y = \frac{x}{x - 1}$	…	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	P	-1	-2	4	3	2	$\frac{3}{2}$	q	…