相关试卷

1、龙舟比赛是端午节传统的比赛项目.某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛.如图 1，在L型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题.

数学抽象绘制图形

龙舟转弯示意图可近似如图 2 所示

龙舟安全过弯示意图可近似如图 3 所示

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①.两河道宽均为d米，龙舟长为a米 (龙头C到龙尾D之间的距离)

②.龙舟中间最宽处 1米，中间部车分的中点即为龙舟中心G；

③.当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙氵舟绕点O逆时针旋转(O在内外河道拐点AB的延长线上，转弯时龙头C和龙尾D在如图所示的圆弧上运动)，此时测得C，D与旋转中心O夹角∠DOC=60°.

①.龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形；

②.为保证龙舟能够安全过L型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行；

③.学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘E与内河道拐点B最近距离不少于0.5米 (如图 3 所示)

(1)、若该小组经过测量得到河道宽为 15米，请求出河道拐点处的距离AB；

(2)、假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为 6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；(结果用含a的代数式表示)

(3)、在(1)条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度a的最大值是多少?

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2、已知抛物线 $G : y = 2 x^{2} + (m - 3) x + n$ 过点A(2，m+3)，点B为抛物线G与x轴的一个交点.

(1)、用含m的式子表示n；

(2)、若点B为定点，求点B的坐标；

(3)、在(2)的条件下，若抛物线G在点B左侧部分 (包含点B)的最低点的横坐标为m-2，求m的值.

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3、如图， △ABC中， AB=AC， O为BC的中点， AB与⊙O相切于点D.

(1)、求证： AC是⊙O的切线；

(2)、若BD=4， BO=5，求AD的长.

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4、某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售 120袋，三月份销售量比二月份增长20%，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到 225袋.

(1)、求该商店三月份的销量；

(2)、求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率.

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5、已知①号盒中有m个白球、1个黄球，②号盒中有1个白球、1个黄球，这些球除了颜色外无其他差别.

(1)、若从①号盒中随机摸出1个球，它是黄球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则m=；

(2)、在(1)的条件下，分别从每个盒中各随机摸出1个球，请用树状图或列表法求摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的概率.

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6、如图，点A，B，C均在正方形网格图的格点上，将线段BC绕点A逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ 后得到线段DE (点D为点B的对应点).

(1)、画出线段DE；

(2)、以DE为直径作⊙O.(保留作图痕迹，不写作法)

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7、如图，直径为AB的⊙O上有一点C，连接BC，将 $\hat{B C}$ 绕点B逆时针旋转一定角度得到 $\hat{B D},$ 点D恰好落在直径AB上.
⑴若 $\hat{A C} = \hat{B C},$ 则 $\frac{A B}{B C} =$ ；
⑵若BC与 $\hat{B D}$ 相交于点E，且 $\hat{D E} = \hat{B E},$ 则 $\frac{A B}{B C} =$ .

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8、定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有 $a^{*} b = {(a + b)}^{2} - 2 a,$ 如 $2^{*} 3 = {(2 + 3)}^{2} - 2 \times 2 =$ 25-4=21. 若 $x^{*} m = 0$ (m为实数)是关于x的方程，且x=2是这个方程的一个根，则m的值是.

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9、用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为cm.

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10、已知点(-1，m)和点(-5，n)都在二次函数 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 的图象上，且 mn<0. 若点(1，y₁)， (-2，y₂)，(-6，y₃)也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是( )

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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11、形如x(x+2)=3的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图 1，用4个长和宽分别为(x+2)和x的矩形，围成一个边长为(2x+2)的大正方形 (四个矩形彼此不重叠).得到大正方形的面积为 $3 \times 4 + 2^{2} = 16,$ 则该方程的正数解为x=(4-2)÷2=1.羊羊同学按此方法解关于x的方程x(x+m)=m时，构造出如图 2所示图形，得到该方程的正数解为 $x = \frac{2}{3},$ 则图 2所示的大正方形的面积为( )

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{32}{9}$ D、 $\frac{64}{9}$

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12、下列事件为必然事件的是( )

A、相等的弦所对的弧相等 B、三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C、关于x的方程 $x^{2} - b x + 1 = 2$ 有两个不相等的实数根 D、有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等

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13、如图，将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转后得到△AED，此时点D恰好落在边BC上.若AE∥BC，∠EAC=110°，则∠BAD的度数为( )

A、20° B、30° C、40° D、50°

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14、如图，在一块长8m，宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等.设花圃四周绿地的宽为 xm，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么x满足的方程是( )

A、 $(8 - x) (6 - x) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$ B、(8-x)(6-x)=6×8 C、 $(8 - 2 x) (6 - 2 x) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$ D、(8-2x)(6-2x)=6×8

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15、二次函数 $y = x^{2} - x - 2$ 的图象如图所示，则不等式 $x^{2} - x - 2 < 0$ )的解集是( )

A、x<-1 B、x>2 C、-1<x<2 D、x<-1或 x>2

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16、如图， △ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，若OA=2， OD=4， AC=3，那么DF的长是( )

A、4 B、6 C、8 D、10

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17、已知⊙O的半径是 6，点P到圆心O的距离是 5，则点P与⊙O的位置关系是( )

A、点P在⊙O内 B、点P在⊙O上 C、点P在⊙O外 D、无法确定

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18、下列图形中，是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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19、某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题.

发现问题确定目标	遮阳棚抗风加固	公交车安全停靠
模型抽象与图形表示	遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示.	公交车停靠示意图如图3所示(忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的.)
条件与规范整理	如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架 AB(AB为线段)加固，且在棚顶与钢架AB之间安装一根垂直钢架CD(C在棚顶、D在AB上， CD⊥x轴)	车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体(包括车厢最高点)均位于遮阳棚的横向覆盖范围内. 垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞.
实测数据采集	棚顶最高点 B到地面距离为4 米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米.	已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约2.5米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响.

问题解决：

(1)、如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线ACB解析式；

(2)、如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方；

(3)、如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于

\frac{4}{9}

米.请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题.

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20、如图，在矩形ABCD中， ∠ABC=90°.

(1)、如图1，过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证： $C D^{2} = C E \cdot C A;$

(2)、如图2，在(1)条件下，点F为DE上一点，连接CF并延长至点G，CG交AD于点O，连接AG、DG，当∠CDG=∠CFD时，判断△AGC的形状，并说明理由；

(3)、如图3，平面内一点 M，满足∠CMD=∠MCD， CD=1， BC= $\sqrt{6}$ 连接CM并延长至点H，使∠CBM=∠CHB，连接DH，当线段BH取最小值时，求线段DH的长.

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