相关试卷

1、如图所示， AD⊥BC于点 D， EG⊥BC于点 G， AD 是∠BAC的角平分线，请说明∠1=∠E.请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据)
解：  ∵AD⊥BC，  EG⊥BC，
∴∠4=    ▲        =90°（      ) .
∴EG∥AD   （               )   .
∴∠3=∠E  （               )   .
    ▲        =    ▲        两直线平行，内错角相等).
∵    ▲         ，
∴∠2=∠3（角平分线的定义).
∴∠1=∠E （等量代换) .

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2、化简求值： $(x + 2 y) (x - 2 y) + (4 x^{2} y + 8 x y^{2}) \div 2 x,$ 其中 x=3， y=-1.

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3、如图 1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图 2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为 r₁、r₂的圆形，其中重叠部分 P为花圃，对应阴影部分 S₁、S₂分别表示两个班级的基地面积.若 $r_{1} + r_{2} = 8,$ $r_{1} r_{2} = 12,$ 则 S₁-S₂=.

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4、如图，将 Rt△ABC与 Rt△DEC叠在一起，点 B恰好落在 DE上， AB∥CE， ∠A=32°，则∠ACE=.

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5、已知 a+b=2，则 $3^{2 a} \cdot 9^{b} =$ .

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6、 ${(2 x^{2})}^{3} \cdot 3 y =$ .

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7、已知∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β的 2倍多 30°，则∠β的度数为（ )

A、45° B、50° C、45°或 50° D、50°或 75°

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8、已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东 60°的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东 78°方向走到了深圳博物馆.那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（ )

A、42° B、138° C、72° D、108°

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9、深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为 A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中 A组的概率是（ )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10、下列能判定直线 AD 与直线 BC平行的条件是（ )

A、∠DAE=∠FCB B、∠E=∠F C、∠BGC=∠GCD D、∠DAE=∠E

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11、如图，点 P 是直线 l外一点，点 A， B， C在直线 l上，且 PA=6，PB=5， PC=4.下列说法正确的是（ )

A、点 P到直线 l的距离等于 4 B、点 P到直线 l的距离等于 5 C、点 P到直线 l的距离等于 6 D、点 P到直线 l的距离一定不大于 4

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12、当今是自媒体的时代，图 1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当∠AOB 增加 20°时， ∠COD （ )

A、增加 70° B、不变 C、减少 20° D、增加 20°

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13、下列事件是必然事件的是（ )

A、老师进教室先迈左脚 B、太阳东升西落 C、商场买盲盒抽中隐藏款 D、关闭手机软件启动广告时刚好一次成功

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14、
通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，这是一种常见的解决问题的思路．
（1）如图1，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{2} ∠ B A C = 45 °$ 时，可通过旋转将 $∠ B A D$ 和 $∠ E A C$ 这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1中线段 $B D$ ， $D E$ ， $C E$ 之间的数量关系为___________（直接填写结果）．
【触类旁通】小张思考，若 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C$ 时，有什么有趣的结论呢？
（2）如图2，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C = 30 ° . A F$ 平分 $∠ D A E$ 且 $A F = A E$ ．请求出此时 $B D$ ， $C E$ ， $D F$ 之间的数量关系．
【举一反三】
（3）如图3， $∠ B A C = 135 °, A B = A C, ∠ B A D + ∠ E A C = 45 °, B D = 4, C E = \sqrt{2}$ ．将线段 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得线段 $A F$ ，连接 $D F$ ．求 $D F$ 的长度．

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15、
【教材呈现】：
已知 $M$ 是含字母 $x$ 的单项式，要使多项式 $4 x^{2} + M + 1$ 是某个多项式的平方，求 $M$ ．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当 $M$ 为含字母 $x$ 的一次单项式时，原式可以表示为关于 $x$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = {(2 x)}^{2} + M + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}, ∴ M = \pm 2 \times 2 x \cdot 1 = \pm 4 x$ ；
当 $M$ 为含字母 $x$ 的四次单项式时，原式可以表示为关于 $x^{2}$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = M + 2 \times 2 x^{2} \cdot 1 + 1^{2} = {(2 x^{2} + 1)}^{2}, ∴ M = 4 x^{4}$ ．
综上所述， $M$ 为 $4 x$ 或 $- 4 x$ 或 $4 x^{4}$ ．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式： $4 x^{2} \pm 4 x + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}; 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ ，
观察等式左边多项式的系数发现： ${(\pm 4)}^{2} = 4 \times 4 \times 1$ ．
②结合多项式的因式分解又如：
$16 x^{2} + 24 x + 9 = {(4 x + 3)}^{2}; 9 x^{2} - 12 x + 4 = {(3 x - 2)}^{2}$ ，
发现这两个多项式的系数规律： $24^{2} = 4 \times 16 \times 9, {(- 12)}^{2} = 4 \times 9 \times 4$ ．
③一般地：若关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数）是某个含 $x$ 的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________；
【解决问题】
（2）若多项式 $9 y^{2} + 4$ 加上一个含字母 $y$ 的单项式 $N$ ，就能表示为一个含 $y$ 的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式 $N$ ，并对 $9 y^{2} + 4 + N$ 进行因式分解；
（3）若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 (m - 3) x + (m^{2} + 3 m)$ 是一个含 $x$ 的多项式的平方，求实数 $m$ 的值．

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16、综合与实践

主题	2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案
信息1	为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台．
信息2	某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台．
信息3	采购完成后，设备供应商赠送n张（ $6 \leq n \leq 9$ 且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元．

(1)、探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价．

(2)、计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果）

(3)、确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, E, F$ 分别是 $B C ， A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点 $D$ ，使 $A D = \frac{1}{2} A B$ ．连接 $D F ， A E ， E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是平行四边形；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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18、小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为 $\frac{1}{x - 3}$ ．

(1)、求被墨水污染的部分；

(2)、小明认为当 $x = 4$ 时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？

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19、计算

(1)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (x + 1) > x - 1, \\ \frac{x + 5}{2} > 3 x . \end{array}$

(2)、因式分解： $a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (y - x)$

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20、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ，以 $B C$ 为斜边向 $△ A B C$ 内部作等腰直角 $△ B D C$ ，过直角顶点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于 $F, D E ⊥ A B$ 于 $E, D F = 1, A F = 2$ ，则线段 $D E$ 的长度为．．

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