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1、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？

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2、已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (4 k + 1) x + 3 k + 3 = 0$ ，其中 $k$ 是整数．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 是斜边长为 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ 的直角三角形的两直角边，求 $k$ 的值；

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3、已知函数 $y = {(x + 1)}^{2} - 4$ ，请按要求填空或解答问题：

(1)、函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________．

(2)、画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当 $x$ 取何值时，函数值 $y < 0$ ；

(3)、利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程 ${(x + 1)}^{2} - 4 = - 3$ 的解．

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4、如图，三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

(2)、在 $x$ 轴上求作一点 $P$ ，使 $△ P A B$ 的周长最小，请画出 $△ P A B$ ．

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5、解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ．

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6、已知抛物线 $P : y = 3 x^{2} + 6 a x - 4 (a > 0)$ ，将抛物线 $P$ 绕原点旋转 $180 °$ 得到抛物线 $P^{'}$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时，在抛物线 $P^{'}$ 上任取一点 $M$ ，设点 $M$ 的纵坐标为 $m$ ，若 $m \leq 4$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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7、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是．
①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③S_△_ABE+S_△_ACD＞S_△_AED；④BE²+DC²＝DE² ．

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8、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = O C$ ，则下列结论：① $a b c < 0$ ；② $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ；③ $a c - b + 1 = 0$ ；④ $O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ，其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9、用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 7$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 25$

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10、下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、综合与实践：
活动一：情景再现，明晰原理
如图 $1$ ，牧民从 $A$ 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，回到 $A$ 处，牧民怎样走可使所走的路径最短？
如图 $2$ ，分别作点 $A$ 关于直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的对称点 $A_{1} ， A_{2}$ ，连接 $A_{1} A_{2}$ 与直线 $l_{1}, l_{2}$ 交于点 $B ， C$ ，则点 $B$ 是牧马处，点 $C$ 是饮水处，此时所走的路径最短．
（ $1$ ）证明过程如下：（①填写合适的线段，②填写依据）
证明：在直线 $l_{1}$ 上任意找与 $B$ 不同的一点 $B_{1}$ ，在直线 $l_{2}$ 上任意找与 $C$ 不同的一点 $C_{1}$ ，连接 $A B_{1} ， A_{1} B_{1} ， A C_{1} ， A_{2} C_{1} ， B_{1} C_{1}$ ，
∵点 $A$ 关于直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的对称点 $A_{1} ， A_{2}$ ，
∴直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别垂直平分 $A A_{1} ， A A_{2}$ ，
∴ $A B_{1} = A_{1} B_{1} ， A C_{1} =$ _①_，
∴ $A B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{2}$ ，
$A B + B C + C A = A_{1} B + B C + C A_{2} = A_{1} A_{2}$ ，
∴ $A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{2} > A_{1} A_{2}$ ( ___②___ )，
即所走的路径最短是 $A - B - C$ ．
活动二：感悟方法，尝试应用
（ $2$ ）如图 $3$ ，点 $A$ 在 $∠ B C D$ 的内部且 $∠ B C D = 70 °$ ， $E ， F$ 分别 $∠ B C D$ 两边 $C B ， C D$ 上的两点，当 $△ A E F$ 的周长最小时，求 $∠ E A F$ 的度数．
活动三：迁移拓展，综合应用
（ $3$ ）如图，某小区计划在休闲场地中修建风雨走廊为小区居民挡风遮雨．从商业区边沿 $D$ 处出发，先到公共绿化区边沿 $E$ 处，再到住宅区边沿 $F$ 处，然后回到点 $D$ 处．其中 $∠ A = 30 °$ ， $A B = 12$ 米， $A C = 12$ 米， $B C = 6.25$ 米，风雨走廊每米造价 $5000$ 元．当风雨走廊的总长 $D E + E F + F D$ 最短时，工程造价是多少元?

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12、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，在 $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求 $∠ A F B$ 的度数；

(2)、问： $B F$ ， $A F$ ， $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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13、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线与 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C N$ 的平分线交于点D，过点D作 $D E ⊥ B N$ 于E，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ M A C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 周长为20，求 $B E$ 的长．

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14、作图及计算：

(1)、尺规作图：在 $△ A B C$ 中，过点 $B$ 作 $A C$ 边上的高 $B D$ ；

(2)、在（1）的基础上， $∠ C = ∠ A B C = 2 ∠ A$ ，则 $∠ D B C$ 的度数．

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15、如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ ．求证 $A B = C D$ ．

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16、计算： $x^{2} \cdot x^{4} \cdot x^{6} + {5 (- x^{4})}^{3} + {(- {2 x}^{6})}^{2}$

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17、如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是 $A (0, 3), B (4, 0)$ ．点C是射线 $B O$ 上的一动点，过点C作 $C D ⊥ A B$ 于点D，交y轴于点E，当 $△ C O E$ 与 $△ A O B$ 全等时，则 $B C$ 长为．

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18、如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆 $C D$ 垂直平分 $A B$ ， $A C ＝ 5$ ，则 $B C$ 的长为．

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19、如图，已知 $△ A B C ≌ △ A D C$ ，若 $∠ B A C = 60 ° ， ∠ A C B = 20 °$ ，则 $∠ D =$ ．

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20、点 $M (2025, 2026)$ 关于y轴对称点 $M^{'}$ 的坐标为．

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