相关试卷

1、中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程 $2 x - 3 = 1$ 与不等式 $x + 3 > 0$ ，方程的解为 $x = 2$ ，使得不等式也成立，则称“ $x = 2$ ”为方程 $2 x - 3 = 1$ 和不等式 $x + 3 > 0$ 的“梦想解”．

(1)、 $x = - 1$ 是方程 $2 x + 3 = 1$ 和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号）
① $x - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}$ ；② $2 (x + 3) < 4$ ， ③ $\frac{x - 1}{2} < 3$ ．

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 3 m + 2 \\ 2 x - y = m - 5 \end{matrix}$ 和不等式组 $\{\begin{matrix} x > y - 5 \\ x - y < 1 \end{matrix}$ 有“梦想解”，且 $m$ 为整数，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - 4 = - 3 n$ 和关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 2 n + 1 \\ x - 1 < 4 \end{matrix}$ 有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出 $n$ 的取值范围．

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3、如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A = ∠ C$ ，点E，G分别在 $A B$ ， $C D$ 上，连结 $D E$ ， $B G$ ，延长 $A D$ 和 $B G$ 交于点F．

(1)、求证： $A F ∥ B C$ ；

(2)、若 $D E ∥ B F$ ， $∠ A + ∠ F = 110 °$ ，求 $∠ E D G$ 的度数．

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4、如图1， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”．

(1)、在图1的 $3 \times 3$ 正方形网格中，格点 $△ A B C$ 和格点 $△ D E F$ 关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴．

(2)、请在图2中画出 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 后得到的格点 $△ A^{'} B^{'} C$ ．

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5、计算： ${(- 1)}^{2026} + \sqrt{16} \times {(- 3)}^{2} + (- 6) + \sqrt[3]{- 8}$

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6、点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，一副三角板如图摆放，其中 $∠ C = ∠ D O C = 45 °$ ， $∠ M = 30 °$ ， $∠ N = 60 °$ ．将直角三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 旋转一周，当 $∠ A O M$ 的度数是时，直线 $M N$ 与直线 $O C$ 互相平行．

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7、当 $k =$ 时，不等式 $4 x^{k - 1} + 2 > 0$ 是一元一次不等式．

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8、观察下列等式： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ； $\dots$
根据以上规律计算 $3^{2025} + 3^{2024} + 3^{2023} + 3^{2022} + \dots + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1$ 的值是（）

A、 $\frac{3^{2026} - 1}{2}$ B、 $3^{2026} - 1$ C、 $\frac{3^{2026}}{2}$ D、 $3^{2026} + 1$

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9、2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长 $B D$ 约 $50.5$ 米，若起飞过程中 $B^{'} D$ 约为85米，则 $B D^{'}$ 的长约是（）

A、14米 B、16米 C、34.5米 D、69米

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10、设“ $□$ ”“ $△$ ”“ $○$ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（）

A、 $□ > △ > ○$ B、 $□ > ○ > △$ C、 $△ > ○ > □$ D、 $△ > □ > ○$

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11、近几年，我国新能源企业出海规模不断提升，某品牌新能源汽车在2025年7~12月的月产量折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（）

A、从8月到9月的月产量增长最快 B、从9~12月份月产量逐渐增加 C、10月份和7月份的产量相同 D、8月份汽车的月产量最低

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12、在实数 $\sqrt[3]{7}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{π}{5}$ ， $\sqrt{3}$ ， 0中，无理数共有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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13、已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图1，设抛物线的顶点为 $D$ 点，连接 $D B$ ，点 $E$ 是线段 $D B$ 上的动点，点 $F$ 为抛物线对称轴上一动点，连接 $B F$ 、 $F E$ ，求 $B F + E F$ 的最小值；

(3)、如图2，连接 $B C$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，连接 $P C$ 、 $O P$ ， $O P$ 交 $B C$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ， $S_{△ C P Q} = S_{1}$ ， $S_{△ C O Q} = S_{2}$ ， $y = \frac{s_{1}}{s_{2}}$ ．
①求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式，并写出 $t$ 的取值范围；
②当 $y$ 的值取最大时，求点 $P$ 的坐标．

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14、综合探究

(1)、【问题发现】
如图1，已知点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点（不与点 $A$ 、 $C$ 重合），连接 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°到 $B F$ 处，连接 $C F$ ．请写出 $A E$ 与 $C F$ 的数量关系，并给出证明过程．

(2)、【类比探究】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $E$ 为对角线 $A C$ 上一动点（不与点 $A$ 、 $C$ 重合）．在 $Rt △ B E F$ 中， $∠ E B F = 90 °$ ， $∠ E F B = ∠ A C B$ ，连接 $C F$ ．请探究此时 $A E$ 与 $C F$ 的数量关系，并给出探究过程．

(3)、【拓展延伸】
如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $E$ 为射线 $A C$ 上一动点，点 $M$ 为 $△ B E C$ 的外接圆的圆心，连接 $B M$ ， $C M$ ，若 $A C = 8$ ，则当 $∠ B M C = 90 °$ 时，请直接写出线段 $A E$ 的长．

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15、生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析：
【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
成绩
年级
A
B
C
D
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x < 100$
七年级
2
5
4
4
八年级
1
$a$
$b$
6
【分析数据】
两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82
$c$
87
92.13
八年级
86
87
$d$
79.73
【问题解决】根据以上信息解决下列问题：

(1)、填空： $c =$ ___________， $d =$ ___________；

(2)、请计算八年级扇形统计图中B组 $(70 \leq x < 80)$ 所在扇形的圆心角的度数；

(3)、该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数．

(4)、根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）．

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16、幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1， $A D$ 、 $M N$ 为垂直于地面 $l$ 的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B$ 长3米， $A D$ 长 $0.8$ 米，点 $D$ 距地面的距离 $D O$ 为 $0.2$ 米．道闸打开的过程中，边 $A D$ 固定，连杆 $A B$ ， $C D$ 分别绕点 $A$ ， $D$ 转动，且边 $B C$ 始终与边 $A D$ 平行．

(1)、如图2，当道闸打开至 $∠ A D C = 45 °$ 时，连杆 $C D$ 上一点 $P$ 到地面 $l$ 的距离 $P E$ 为 $1.2$ 米，求此时点 $P$ 到立柱 $M N$ 的距离 $P F$ 的长．

(2)、若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度 $P F$ 不能小于 $2.3$ 米，同时高度 $P E$ 不能低于 $1.8$ 米．当道闸打开至 $∠ A D C = 18 °$ 时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ， $\tan 18 ° \approx 0.32$ ）

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2.5$ ， $B C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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18、计算： ${(π - 2026)}^{0} - |- 5| + \sqrt{16} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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19、我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形， $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心为点 $O$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形，边 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $∠ A B E = 9 °$ ， $O A = 10$ ，则图中 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长为（结果用 $π$ 表示）．

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20、如图，点 $A$ 是直线 $l$ 外一点，以点 $A$ 为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线 $l$ 于点 $M$ ， $N$ ；分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，以 $2 M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ （点 $P$ 与点 $A$ 在直线 $l$ 的两侧）；作直线 $A P$ 交直线 $l$ 于点 $O$ ，连接 $A M$ ， $A N$ ， $P M$ ， $P N$ ．则 $\sin ∠ M P O =$ ．

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成绩年级	A	B	C	D
成绩年级	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x < 100$
七年级	2	5	4	4
八年级	1	$a$	$b$	6