相关试卷

1、下列说法正确的个数是（）
①任何实数都可以开立方；②无限小数是无理数；③带根号的数都是无理数；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤连接两点的线段叫做两点之间的距离；⑥连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2、当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中 $∠ 1 = 80 °$ ， $∠ 3 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $75 °$

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3、数轴上表示数1和 $\sqrt{3}$ 的点分别为A和B，若A为 $B C$ 的中点，则点C表示的数是（）

A、 $2 \sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 2$

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4、下列图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 不属于同位角的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 1)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、若一个数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $10 = 1^{2} + 3^{2}$ ，所以10是“完美数”，再如： $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“完美数”．

(1)、通过计算判断45是否为“完美数”；

(2)、已知 $S = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 的值．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 4$ 与正比例函数 $y = 3 x$ 交于点 $A (1, m)$ ．

(1)、求m和k的值．

(2)、若点 $B (3, n)$ 在直线 $y = k x + 4$ 上，连接 $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、结合图象，直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 < 3 x$ 的解集．

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8、解不等式： $3 x - 1 \geq 2 (x + 2)$ ，并把解集表示在数轴上；

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9、如图， $△ A B C$ 的面积为16， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $P$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ P C D$ 周长的最小值为．

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10、把多项式 $2 x^{2} + 4 x y$ 分解因式，应提取的公因式是．

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11、如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交腰 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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12、下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $8 a^{2} b^{3} c = 2 a^{2} \cdot 2 b^{3} \cdot 2 c$ B、 $x^{2} y + x y^{2} + x y = x y (x + y)$ C、 $3 a + 1 = a (3 + \frac{1}{a})$ D、 $3 x^{3} + 27 x = 3 x (x^{2} + 9)$

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13、
综合与实践
【问题情境】在书法课上，为了实现图 $1$ 的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索．
【操作探索】
操作一：把正方形纸片 $A B C D$ 对折，使 $D C$ 与 $A B$ 重合，得到折痕 $H E$ ，把纸片展平；
操作二：沿着 $A E$ 再一次折叠纸片，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处，得到折痕 $A E, A B^{'}$ 交HE于点 $G$ ；
操作三：将 $A D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $A D$ 与 $A B^{'}$ 重合，得到折痕 $A M$ ．
【猜想验证】
（1）根据以上操作，小华发现点 $E 、 B^{'} 、 M$ 三点共线，且① $∠ M A E =$ _________°；②线段 $M E 、 D M 、 B E$ 之间的数量关系为：_________．
（2）小海说：“我发现线段 $D M$ 与线段 $D C$ 的比值是 $\frac{1}{3}$ ，即点 $M$ 是线段 $D C$ 的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
【问题探究】
（3）在（ $1$ ）和（ $2$ ）的条件下，延长 $A B^{'}$ 交线段 $D C$ 于点 $N$ ，连接 $A C$ 交 $H E$ 于点 $O$ ，你能发现线段 $G O$ 与线段 $D M$ 的比值吗？请直接写出答案．

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14、数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的．

(1)、【经历体验】已知m，n均为正实数、且 $m + n = 4$ ，求 $\sqrt{m^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 4}$ 的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， $A B = 4$ ， $A C = 1$ ， $B D = 2$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，点E是线段 $A B$ 上的动点，且不与端点重合，连接 $C E$ ， $D E$ ，设 $A E = m$ ， $B E = n$ ．
①用含m的代数式表示 $C E =$ ______，用含n的代数式表示 $D E =$ ______；
②据此写出 $\sqrt{m^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 4}$ 的最小值是______；

(2)、【类比应用】根据上述的方法，代数式 $\sqrt{x^{2} + 25} + \sqrt{{(16 - x)}^{2} + 49}$ 的最小值是______；

(3)、【感悟探索】
①若a，b为正数，写出以 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{4 a^{2} + 4 b^{2}}$ ， $\sqrt{9 a^{2} + b^{2}}$ 为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示）
②已知a，b，c为正数，且 $a + b + c = 1$ ，试运用构图法，画出图形，并求出 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ 的最小值．

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15、在平面直角坐标系中，已知矩形 $A O B C$ ，其中 $A (0, 6), B (10, 0)$ ．

(1)、如图1， $E$ 在 $B C$ 边上将 $△ A C E$ 沿 $A E$ 翻折，点 $C$ 恰好落在 $O B$ 边上的点 $F$ 处．则点 $F$ 的坐标为_______， $E F =$ _______；

(2)、如图2，将（1）中的 $△ A O F$ 沿 $y$ 轴向上平移得到 $△ A^{'} O^{'} F^{'}$ ，点 $G$ 在第二或第四象限，以 $A^{'}$ ， O， $F^{'}$ ， $G$ 为顶点的四边形是菱形，求点 $G$ 的坐标．

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16、图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点 $A (0, 1), B (1, 3), C (4, 3)$ 都落在网格的格点上．

(1)、线段 $A C =$ __________；线段 $A B =$ __________；

(2)、以 $△ A B C$ 某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）．

(3)、点 $M$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $A M + C M$ 的最小值为_______．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A C$ ； $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ．连接 $D E$ 、 $B F$ ．

(1)、求证： $B E = D F$ ．

(2)、判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由．

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18、如图，在 $▱ A B C D$ 中，已知 $A D = 15 cm$ ，点P在 $A D$ 上以 $1 cm / s$ 的速度从点A出发向点D运动，点Q在 $B C$ 上以 $4 cm / s$ 的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、当点P，Q运动t秒时，线段 $A P$ 的长度为_________ $cm$ ；线段 $B Q$ 的长度为_________ $cm$ ；

(2)、若经过t秒，四边形 $A P Q B$ 是平行四边形，请求出t的值．

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19、已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图

(1)、判断正负，用“ $>$ ”“ $<$ ”填空： $a + 1$ ________0， $b - 1$ ________0， $a - b$ ________0．

(2)、化简： $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + 2 \sqrt{{(b - 1)}^{2}} + |a - b|$ ．

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20、计算： $\sqrt{24} - \sqrt{8} \div \sqrt{\frac{2}{3}} + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ．

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