相关试卷

1、实数 $- \sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、综合与探究
问题情境：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点，点 $G$ 为 $C D$ 边的中点，以 $C E$ ， $C G$ 为边作矩形 $C E F G$ ．如图2，将矩形 $C E F G$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，射线 $B E$ 与射线 $D G$ 交于点 $H$ ，连接 $C H$ ．
问题解决：
（1）判断 $B H$ 与 $D H$ 的位置关系，并说明理由．
（2）若 $A B = 2, A D = 2 \sqrt{3}$ ，写出线段 $B H, C H$ 和 $D H$ 之间的数量关系，并说明理由．
延伸探究：
（3）在矩形 $C E F G$ 绕点 $C$ 顺时针旋转的过程中，连接 $A G$ ，在（2）的条件下，当点 $H$ 为 $D G$ 的中点时，直接写出 $△ A D G$ 的面积．

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3、阅读与思考

请阅读下面的材料，并完成相应的任务．

作三角形的内接正方形

定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形．

那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作 $△ A B C$ 的内接正方形．可以用下面的方法：第一步：如图2，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．

第二步：延长 $B C$ 到点 $E$ ，使得 $C E = B D$ ，连接 $A E$ ．

第三步：作 $∠ A D E$ 的平分线，交 $A E$ 于点 $F$ ．

第四步：过点 $F$ 作 $F G ⊥ A D$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $P$ ，延长 $F G$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ．

第五步：过点 $Q$ 作 $Q M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ B C$ 于点 $N$ ．

则四边形 $P Q M N$ 为 $△ A B C$ 的内接正方形．

下面证明这种作法的合理性，即证明四边形 $P Q M N$ 为正方形．

证明： $∵ A D ⊥ B C, P G ⊥ A D, P N ⊥ B C$ ，

$∴ ∠ A D C = ∠ D G P = ∠ D N P = 90^{\circ}$ ．

$∴$ 四边形PGDN为矩形（依据）．

$∴ P Q ∥ B C, G D = P N, ∠ Q P N = 90^{\circ}$ ．

．．．．．．

任务：

(1)、填空：材料中的“依据”是指___________．

(2)、补全材料中的证明过程．

(3)、如图3，在

Rt △ A B C

中，

A B = 4

，

A C = 3

，

∠ B A C = 90^{\circ}

．直接写出

Rt △ A B C

内接正方形的个数及对应的边长．

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4、我校数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度，因此开展了实践活动，下面是善思小组的测量方案．

小组名称	善思小组
测量工具	标杆，皮尺
测量示意图
测量方案及数据	如图，小丽同学在离旗杆底部（点 $B$ ）25.4米的点 $D$ 处竖直立一根长度为1.8米的标杆 $C D$ （ $B D = 25.4$ 米， $C D = 1.8$ 米），然后向后退0.6米到达点 $F$ 处（ $D F = 0.6$ 米），此时小丽刚好看见标杆顶端点 $C$ 与旗杆顶端点 $A$ 在同一条直线上，小丽的眼睛到地面的距离为1.5米（ $E F = 1.5$ 米）．已知点 $B$ ， $D$ ， $F$ 在同一条水平直线上，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一竖直平面内
反思	在测量 $E F$ 时，需要记录的是观察者的眼睛到地面的距离，用身高代替误差较大

结合善思小组的测量示意图及测量数据，求旗杆 $A B$ 的高度．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $O$ 为 $A C$ 的中点，连接 $B O$ ．过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线，交 $B O$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $C D$ ．过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为菱形．

(2)、若 $O B = A C = 2$ ，求 $C E$ 的长．

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6、在2025年纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，无人作战群的装备备受关注．某展区陈列了陆上无人作战装备模型和空中无人作战装备模型共6件，分别如下：

模型		卡片
陆上无人作战装备	“机器狼”四足作战装备	A
陆上无人作战装备	侦打突击无人车	B
空中无人作战装备	新型察打一体无人机	C
	无人僚机	D
	舰载无人直升机	E
	无人制空作战飞机	F

我校兴趣小组的同学在实地参观前查阅了以上装备的资料，并将装备名称及图案绘制到卡片上（背面完全相同），要求兴趣小组的同学每人随机抽取一张卡片，记录内容后放回，并对相应的无人作战装备进行分享讲解．

(1)、小丽分享讲解的装备是“侦打突击无人车”的概率为___________．

(2)、小华和小强都对空中无人作战装备更感兴趣，求他们分享讲解的都是空中无人作战装备的概率．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, A C = 5$ ．

(1)、尺规作图：作射线 $B P$ ，使 $∠ A B P = ∠ C$ ， $B P$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、在（1）的条件下，求 $A D$ 的长．

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8、解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 2 x = 5$ ．

(2)、 $(5 x + 1) (2 x - 3) = 2 (3 - 2 x)$ ．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $C D = 2 A D$ ，则 $B D$ 的长为．

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10、为推动高新技术产业发展，市政府对某科技企业连续两年给予专项研发补贴．该企业2023年的研发产值为150万元，2025年的研发产值达到216万元．若该企业这两年研发产值的年平均增长率相同，则此年平均增长率为．

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11、在某市中小学科技创新大赛中，共有200支参赛队伍参与“智能机器人避障”项目角逐．组委会随机抽取了40支队伍进行赛前模拟测试，发现其中有12支队伍能成功完成所有避障任务．据此估计全市200支参赛队伍中，能成功完成所有避障任务的队伍有支．

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ．分别以点 $A$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P, Q$ ，连接 $P Q$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，连接 $O E$ ．若 $O E$ 的长为5，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接对角线 $A C$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．若 $B E = 3, C E = 3 A E$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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14、一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是 $0 ~ 9$ 这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{20}$ D、 $\frac{1}{100}$

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15、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点 $O$ 是它们的位似中心，若 $A D = 3 A O$ ， $△ D E F$ 的面积为 $8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{8}{9}$

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16、下列各选项中，任意两个图形一定相似的是（）

A、直角三角形 B、平行四边形 C、正方形 D、菱形

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17、如图，在正方形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $B D$ ， $B E$ 平分 $∠ D B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A E B$ 的度数为（）

A、 $22.5 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $67.5 °$

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18、如图是一片枫叶，将其叶尖到叶柄末端看成线段 $A B$ ，叶柄与叶片的连接处看成点 $C$ ，则 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．其中蕴含的数学原理是（）

A、黄金分割 B、勾股定理 C、图形的全等 D、轴对称

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19、综合与探究
问题情境：
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A D = C D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，将线段 $D B$ 绕点 $D$ 逆时针旋转到 $D F$ ，使 $∠ B D F = ∠ A D C$ ，连接 $C F$ ．
问题初探：
（1）如图1，当 $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ 时，线段 $A B$ 和线段 $C F$ 的数量关系为，位置关系为．
深入探究：
（2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段 $B E, C E$ 与线段 $C F$ 之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明．
解决问题：
（3）如图2，连接 $A E$ ，当 $A D ∥ B C$ ， $A B = A E = D E = 4$ 时，请直接写出四边形 $A B C D$ 的面积．

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20、综合与实践
问题情境：
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，上面覆上一层或多层保温塑料膜，就形成了一个温室空间，大棚的设计要保证安全、通风且利于采光．
数学建模：
如图是一种使用钢结构作为骨架的蔬菜大棚，其横截面示意图如图1，是由抛物线 $A E B$ 和立柱 $A D, B C$ 构成．经测量，大棚的最高点 $E$ 到地面的距离为 $5 m$ ，大棚宽度 $D C$ 为 $12 m$ ，立柱 $A D = B C = 2 m$ ，以 $D C$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $E$ 且垂直于 $D C$ 的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：

(1)、求该蔬菜大棚横截面所在抛物线对应的函数解析式．

(2)、如图2，从安全角度考虑，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中 $P M$ ， $Q N$ 垂直于地面， $P Q$ 平行于地面，且点 $P$ ， $Q$ 均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少．

(3)、为提高水分的利用率，大棚引进智能节水灌溉系统，将灌溉管平行于地面安装于两立柱 $A D$ 与 $B C$ 之间，每组灌溉管上安装若干个洒水器，且这种洒水器喷洒的纵截面呈抛物线形状．如图3，当洒水器 $F$ 距地面高度为 $2 m$ 时（即灌溉管为 $A B$ ），其最大喷洒直径 $G H$ 为 $4 m$ ．为保证蔬菜获得充足的水分，同时考虑喷洒的密集程度，需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面 $1.5 m$ 的高度．若使大棚内蔬菜均被完全喷洒到，请直接写出此时一组灌溉管上至少要安装洒水器的个数．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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