相关试卷

1、【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的圈3次方”； $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $(- 3)$ 的圈4次方”．一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 写作 $a^{ⓝ}$ 读作“a的圈n次方”．特别地，规定： $a^{①} = a$ ．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： $4^{②} =$ ________， ${(- \frac{1}{2025})}^{③} =$ ________；
（2）①1的圈 $n$ 次方等于________；
②比较大小 $3^{④}$ ________ $4^{③}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
【深入思考】
有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示：
除方→ $2^{④} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ →乘方幂的形式
（3）请把有理数 $a (a \neq 0)$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式： $a^{ⓝ} =$ ________；
（4）计算： $- 2025^{②} \times {(- \frac{1}{2})}^{④} - (- 4) \div {(- 2)}^{④}$ ．

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2、某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表：
一次性购物价格m（元）
优惠办法
$m < 200$
不予优惠
$200 \leq m \leq 500$
全部按9折优惠
$m > 500$
其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠

(1)、若小惠一次购物原价400元，她实际付款________元；
若一次购物原价600元，她实际付款________元．

(2)、若小惠在该超市一次购物x元．当 $x > 500$ 元时，她实际付款________元（用含x的代数式表示）．

(3)、如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为a元（ $200 < a < 300$ ），用含a的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？当 $a = 250$ 元时，小惠两次购物一共节省了多少元？

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3、下面有四张卡片，其上分别写有相应的有理数．

(1)、上面卡片中，写有非负有理数的卡片共有________张；

(2)、将上面卡片中的数用“ $<$ ”号连接起来；

(3)、现在需要拿走一张卡片，对剩下卡片中的数进行计算：
①若拿走卡片C，计算剩下卡片中所有数的乘积；
②若拿走卡片________，则剩下卡片中所有数的和刚好等于拿走卡片上的数．

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4、某校要在长60米，宽35米的长方形空地上修建四个篮球场，空地中间欲铺设纵、横两条道路（图中空白地方），现有如下两种方案．
方案一
横向道路的宽为x米．
纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍．

方案二
横向道路的宽为y米．
横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍．

(1)、方案一中，纵向道路的宽是________米（用含x的代数式表示）；
方案二中，纵向道路的宽是________米（用含y的代数式表示）；

(2)、已知方案一中篮球场的总面积为 $(60 - 2 x) (35 - x)$ 平方米，请据此类比求出方案二中篮球场的总面积（不用化简）；再比较当 $x = 2$ ， $y = 4$ 时，两种方案下篮球场总面积的大小．

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5、【阅读理解】已知 $F = (k + 3) x + 1$ ，若F的值和x的取值无关，则 $k + 3 = 0$ ， $k = - 3$ ．所以当 $k = - 3$ 时， $F = (k + 3) x + 1$ 和x的取值无关．
【知识应用】已知 $M = m x^{2} - 3 x + 7$ ， $N = 2 x^{2} + n x - 2$ ．

(1)、用含m，n，x的式子表示 $M + N$ ；

(2)、若 $M + N$ 的值和x的取值无关，求 $m^{n}$ 的值．

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6、某手工饰品店制作一种特色手串，是用崖柏珠和琉璃球搭配而成，其独特的外观和香气深受顾客青睐．

(1)、若每条手串由x颗崖柏珠组成，则用500颗崖柏珠可以制作________条手串，手串的总条数与每条手串的崖柏珠数量成________比例关系；

(2)、若有p颗崖柏珠，按每条手串的崖柏珠颗数相等的规定，制作了q条手串，还剩余r颗崖柏珠，则用含p、q、r的代数式表示每条手串的崖柏珠颗数；当 $p = 300$ ， $q = 38$ ， $r = 34$ 时，求每条手串的崖柏珠的颗数．

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7、下面是两位同学有理数运算的过程：

嘉嘉： $(+ 3) + (- 9) + (- 3)$

$= (+ 3) + (- 3) + (- 9)$ ……步骤一

$= [(+ 3) + (- 3)] + (- 9)$ ……步骤二

$= 0 + (- 9)$ …………………步骤三

$= - 9$ ………………………步骤四

琪琪： $- 4^{2} \div {(- 2)}^{3} \times (- \frac{1}{8})$

$= - 16 \div (- 8) \times (- \frac{1}{8})$ ………①

$= - 16 \div [(- 8) \times (- \frac{1}{8})]$ …………②

$= - 16 \div 1$ ………………………③

$= - 16$ …………………………④

(1)、嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪是从第________（填序号）步开始出现错误的；

(2)、请你对琪琪的原算式重新进行正确计算．

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8、若代数式 $2 x^{2} - 3 x$ 的值为2025，则代数式 $- 2 x^{2} + 3 x + 2026$ 的值为．

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9、定义一种新运算： $x Δ y = 2 x y + y^{x} (y \neq 0)$ ，例： $2 Δ 2 = 2 \times 2 \times 2 + 2^{2} = 12$ ，则 $3 Δ (- 3)$ 的值为．

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10、2024年上半年，河北城市 $GDP$ 中，唐山和石家庄均超四千亿元．关于数据“四千亿”，下列说法正确的是（）

A、用科学记数法可以表示为 $4000 \times 10^{8}$ B、用科学记数法可以表示为 $4 \times 10^{11}$ C、它是一个四位数 D、它是一个十三位数

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11、若 $(- 2026) \times 50$ 的值记为 $q$ ，则 $(- 2026) \times 49$ 的值可表示为（）

A、 $q + 1$ B、 $q - 1$ C、 $q + 2026$ D、 $q - 2026$

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12、嘉琪在计算 $- \frac{2}{11} + \frac{5}{6} + ■$ 时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{17}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{13}{11}$

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13、公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力 $\times$ 阻力臂 $=$ 动力 $\times$ 动力臂”．小刚用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是 $500 N$ 和 $0.5 m$ ，则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的关系正确的是（）

A、成正比例关系 B、成反比例关系 C、不成比例 D、无法确定

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14、人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用n表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为 $0.8 (220 - n)$ 次．正常情况下，20岁的青年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是（）

A、16次 B、160次 C、176次 D、200次

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15、河北美食众多，各具特色．其中河间驴肉火烧的单价为m元，唐山棋子烧饼的单价为n元，买3份棋子烧饼和4份驴肉火烧共需（）

A、 $7 m n$ 元 B、 $(m + n)$ 元 C、 $(3 m + 4 n)$ 元 D、 $(4 m + 3 n)$ 元

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16、按照有理数减法法则， $- \frac{1}{3} - (- 3)$ 可以转化为（）

A、 $\frac{1}{3} + 3$ B、 $\frac{1}{3} - 3$ C、 $- \frac{1}{3} - 3$ D、 $- \frac{1}{3} + 3$

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17、用代数式表示“m的3倍与 $2 n$ 的差的平方”，正确的是（）

A、 $3 {(m - 2 n)}^{2}$ B、 $3 m - 2 n^{2}$ C、 ${(3 m - 2 n)}^{2}$ D、 $2 {(n - 3 m)}^{2}$

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18、下列代数式中，符合书写要求的是（）

A、 $a \cdot 4$ B、 $3 a \times b$ C、 $- 1 x y$ D、 $- m n$

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19、试说明：对于任意自然数n，代数式n（n+7）﹣n（n﹣5）+6的值都能被6整除．

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20、用平方差公式或完全平方公式计算

(1)、 $102 \times 98$ ；

(2)、 $99^{2}$

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一次性购物价格m（元）	优惠办法
$m < 200$	不予优惠
$200 \leq m \leq 500$	全部按9折优惠
$m > 500$	其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠