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1、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于O ，经过点 $O$ 的直线分别交 $B C$ 、 $A D$ 于点E、F ，连接 $A E$ 、 $C F$ ，且 $E F$ 平分 $∠ A E C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $A B$ 的长．

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2、已知关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + (m - 5) x - 3 = 0$ （m为实数且 $m \neq 2$ ）．

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O E$ 并延长至点 $F$ ，使 $E F = E O$ ，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A F B O$ 是菱形．

(2)、若 $A B = 9$ ， $F O = 12$ ，求菱形 $A F B O$ 的面积．

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4、如图，点E ， F分别是矩形 $A B C D$ 的 $C D$ 和 $A B$ 边上的点，且 $A E = C F$ ．求证： $D E = B F$ ．

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5、用适当的方法解方程．

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 4$

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 (x - 1)$

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上的一个动点（不与 $A$ ， $C$ 两点重合），过点 $P$ 作 $E F ⊥ A C$ 分别交 $A D$ ， $A B$ 于点 $E$ ， $F$ ．将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，当 $△ A^{'} B C$ 是等腰三角形时， $A P$ 的长为．

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7、某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产 $50$ 万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为 $x$ ，预计十一月份产量比九月份新增 $128$ 万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为．

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8、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} =$ ．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连结 $E F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $E F$ 的最小值为．

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点， $∠ A = 30 °$ ，则 $∠ B C D =$ $°$ ．

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11、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2027 = 0$ 的两个实数根，实数 $a$ 、 $b$ 满足： $a {x_{1}}^{2025} + b {x_{2}}^{2025} = 2025$ ， $a {x_{1}}^{2026} + b {x_{2}}^{2026} = 2026$ ，则 $a {x_{1}}^{2027} + b {x_{2}}^{2027}$ 的值为（）

A、 $2027$ B、 $2025$ C、 $- 2027$ D、 $- 2025$

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12、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，D在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C G = 3$ ， H是 $A F$ 的中点，则 $C H$ 长为（）．

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、2.5 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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13、如图，延长正方形 $A B C D$ 的 $B C$ 边至点E ，使得 $C E = A C$ ．连结 $A E$ 交边 $C D$ 于点F ，则 $∠ A F C$ 的大小是（ )

A、112.5度 B、120度 C、115度 D、135度

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14、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，把 $△ A B C$ 沿着 $C D$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $A E$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $A D + D E = A B$ B、 $∠ C D E = 60 °$ C、 $A E + E C = A C$ D、 $A E ⊥ C D$

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15、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ C、 $x^{2} + y - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 7 = 0$

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A C = 10$ ，则 $B D =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、12

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17、下列说法不正确的是（）

A、对角线相等的平行四边形是矩形 B、对角线相互垂直的四边形是菱形 C、菱形的对角线平分一组对角 D、矩形的对角线相互平分

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18、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x^{2} + y = 1$ C、 $x + \frac{1}{x^{2}} = 4$ D、 $x^{2} = 5 x - 1$

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19、阅读下面材料：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)、【概念理解】：如图①，若AD＝1，AD＝DB＝DC， $B C = \sqrt{2}$ ，则四边形ABCD （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；

(2)、【性质应用】：如图①，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD＝4，AB＝3时，BC²＝；

(3)、【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，∠ADE＝90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明AC与BE的数量关系；

(4)、【拓展提高】：如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD＝1，AB＝2，∠BAD＝45°，求AC的长．

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20、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（4，3），C（2，0）．

(1)、在平面直角坐标系中画出△ABC；

(2)、请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；并写出△A₁B₁C₁各顶点坐标；

(3)、已知P为x轴上一点，若△ACP的面积为4，请直接写出所有符合题意的点P的坐标．

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