相关试卷

1、
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”
【问题探究】
（1）如图①，已知 $Rt △ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是以 $A C$ 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）
【问题解决】
（2）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A D \neq C D$ ， $∠ A B C = 70 °$ ， $∠ A D C = 145 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．求证： $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图③，已知 $F H$ 是四边形 $E F G H$ 的“相似对角线”， $∠ E F H = ∠ H F G = 60 °$ ，连接 $E G$ ，若 $△ E F G$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $F H$ 的长．

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2、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 是“倍根方程”

(1)、通过计算，判断 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是否是“倍根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ 是“倍根方程”，求 $k$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出 $m$ 、 $n$ 的值．

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3、中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套.9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套．

(1)、若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率；

(2)、为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？

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4、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B < A D$ ．

(1)、请利用尺规作图作 $∠ B C D$ 的角平分线 $C M$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，在 $C B$ 上截取 $C F = C D$ ，连接 $E F$ ；（要求保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $C D E F$ 是菱形．

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5、计算： ${(π - 2026)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt{25}$ ．

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6、如图，线段 $A B = 2$ ，点 $C$ 与点 $D$ 均为线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D =$

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7、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ ．

(1)、 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值为__________．

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为90，求各边的长．

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8、用适当的方法解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$ ；

(2)、 $y^{2} - 2 y = 5$ ；

(3)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{9}{4} = 0$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2} = 0$ ．

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9、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，直线 $E F ⊥ A B$ 交两对边于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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11、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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12、在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线 $B C$ 于点Q．

(1)、求直线 $B C$ 的解析式；

(2)、设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段 $P Q$ 的长；

(3)、当m为何值时， $△ P B C$ 的面积最大？最大面积是多少？

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13、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求顶点D的坐标；

(3)、求 $△ A B D$ 的面积；

(4)、在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得 $△ A B P$ 的面积等于 $△ A B D$ 的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、如图，某农户要用长 $60 m$ 的篱笆，在练江边靠墙（墙长 $40 m$ ）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙．

(1)、设垂直于墙的一边长为 $x m$ ，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？

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15、某商店销售潮阳特产，进价为每盒30元．调查发现：当售价为每盒50元时，每天可售出40盒；每涨价1元，每天就少售出1盒。设每盒涨价x元，每天的销售利润为y元．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当每盒涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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16、潮阳区某中学英歌队在一次汇演后，全体队员每两人之间互赠一张合影照．已知全队共赠送了240张照片，求该英歌队共有多少名队员．

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17、如图是二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象．

(1)、求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

(2)、求该抛物线与x轴的交点坐标；

(3)、结合图象，直接写出当 $y < 0$ 时x的取值范围．

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18、已知关于x的方程 $x^{2} + (m + 1) x + m = 0$ ．

(1)、求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；

(2)、若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根．

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19、已知 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ ．

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20、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向下，与x轴交于 $A (- 1, 0) 、 B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c < 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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