相关试卷

1、已知点 $P (a + 2, - 1)$ 是第三象限内一点，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a > 2$ B、 $a > - 2$ C、 $a < - 2$ D、 $a \leq - 2$

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2、下列计算错误的是( )

A、 $(- 4 a)^{2} = 16 a^{2}$ B、 $- 3 a + 5 a - 6 a = - 4 a$ C、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ D、 $a - (b - c) = a - b - c$

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3、 $2025$ 年 $11$ 月 $5$ 日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰福建舰入列 $.$ 已知单次弹射需要释放的能量约为 $120$ 兆焦耳 $(M J)$ ， $120 M J = 120000000 J .$ 用科学记数法将数据 $120000000$ 表示为( )

A、 $1.2 \times 10^{7}$ B、 $12 \times 10^{7}$ C、 $1.2 \times 10^{8}$ D、 $12 \times 10^{8}$

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4、下图是一种常见的化学实验仪器 $— —$ 漏斗，它的俯视图是( )

A、 B、 C、 D、

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5、 $- 2026$ 的绝对值是( )

A、 $2026$ B、 $- 2026$ C、 $\pm 2026$ D、 $- \frac{1}{2026}$

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6、

(1)、【问题情境】在锐角 △ABC中，求作一点 P，使PA +PB +PC 的值最小.
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理.
如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD 的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点 P.则点 P 即为求作的点.
在 PD上取一点 P'，使PP'=AP，连接AP'，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得 $∠ A P P^{'} = ① = 6 0^{\circ},$ ，故△APP'是等边三角形.所以AP =AP'.
进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP =DP'.
所以PB +PA +PC =BP +PP'+ P'D =BD.
由 ② (从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空)可得，BD 的长即为 PA +PB +PC 的最小值.

(2)、【方法迁移】如图2，已知点A，B到直线l的距离AE=BF=4，EF=6.在图中找一点P，使点P到点A、点 B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值

(3)、【拓展应用】如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且 $A B = a, B C = b (a < b < \sqrt{3} a) .$
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设方案(不需要说明理由)，并直接写出路线总长(用含a，b的代数式表示).

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7、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = {(x - m)}^{2} - m$ (m为常数)与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点(3，0).

(1)、直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式；

(2)、若平行于 x轴的直线 l 与抛物线交于点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}),$ 与直线 BC 交于点 $Q (x_{3}, y_{3}),$ 且 $x_{1} < x_{3} < x_{2},$ 求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、设抛物线的顶点为D，连接AC，在x轴上找一点 P，使以点 P，B，D为顶点的 △PBD与△ABC 相似，求点 P 的坐标.

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8、

(1)、【生活观察】小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距(前后轮所在圆的圆心的距离)AB =1.5m，前轮转向角θ即 ∠CBD =30°，则旋转半径 OB =m.

(2)、【类比探究】小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切(轮胎的宽度忽略不计).
如图3，某款家用汽车宽AB约为2m，轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角θ即∠ECF = 20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH 的度数.
(参考数据： $t a n 20 . 6^{\circ} \approx \frac{3}{8}, t a n 26 . 6^{\circ} \approx \frac{1}{2}, s i n 20 . 6^{\circ} \approx \frac{9}{25}, t a n 33 . 6^{\circ} \approx \frac{2}{3}, t a n 18 . 5^{\circ} \approx \frac{1}{3})$

(3)、【综合实践】如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C，D与直角拐点Q共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m，车辆左侧与实线PQ的距离为1m.现右前轮欲以固定转向角θ转弯行驶，若能规范通过此直角弯道(四轮均不压实线)，请直接写出 sinθ的范围.

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9、某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买100亩，价一万.其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今买好田、坏田共100亩，价值10 000钱.

(1)、求好田、坏田各买了多少亩?

(2)、现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为3000kg，坏田的总产量为6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量?

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10、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A(-6，0)，B(10，0)，C(4，10)，D(0，8).请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)

(1)、在CD边上作一点 P，使 PA =PB，此时点 P 的坐标为；

(2)、在BC边上作一点 Q，使△QAD和△QOB 的面积相等.

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11、我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象.小明将关于地域特产的4个IP 形象(A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶)，制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP 形象玩具.

(1)、若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是(填序号)；
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件

(2)、若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率.

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12、6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数(W)进行了统计分析.
【收集数据】
43   95   59   48   62   67   50   40   110   60    63   44   45   60    92
60  112  38    37   60   115  47   35   66    41    68   40   60   98    60
【整理数据】
规定：W≤50时，空气质量为优；50 <W≤100时，空气质量为良；100 <W≤150时，空气质量为轻微污染.
空气质量
频数(天数)
频率
优
12
0.4
良
a
0.5
轻微污染
3
b
合计
30
1.0
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是  c ，中位数是60.
【解决问题】

(1)、填空：a= ， b= ， c=；

(2)、请估计该城市这一年(365天)中有多少天空气质量达到优；

(3)、根据上述统计分析情况，写一条你的想法.

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13、如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且.BE=DF.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.

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14、先化简 $\frac{a - 2}{a} \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} + a},$ 再从3，-1，2中选取一个合适的数代入求值.

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15、解方程x(x-1)=8x-8.

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16、计算 ${(\sqrt[3]{2})}^{3} + {(2026 + π)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} .$

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17、如图，菱形ABCD中，∠BCD=60°，CD=6，点P在边CD上，且PC=2，Q为边BC上的动点，点 C 关于 PQ 的对称点为 C'. 若 △C'AD、△C'BD 的面积分别记为 $S_{△ C^{^{'}} A D} 、 S_{△ C^{^{'}} B D},$ 则 $S_{△ C^{^{'}} A D} - S_{△ C^{^{'}} B D}$ 的最大值为.

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18、若a，b，c是三个不为零的实数，且 $a^{2} = b c,$ 则 $\frac{c^{2} - a^{2}}{b^{2}}$ 的最小值为.

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19、如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 和 $y = - \frac{2}{x}$ 在第二象限内的图象依次为C₁ ， C₂.已知点P在C₁上，点A，B在C₂上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为.

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20、取一张矩形纸片ABCD(图1)，按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C 与点 E恰好重合，则 $\frac{A B}{B C}$ =.

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空气质量	频数(天数)	频率
优	12	0.4
良	a	0.5
轻微污染	3	b
合计	30	1.0