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1、花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长 $2890 m$ ，主桥跨径 $1420 m$ ．如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含的数学道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、三角形的内角和等于 $180 °$ C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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2、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、综合与探究：

【课本回顾】如图1，在 $△ A B C$ 中，中线 $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 交于点 $P$ ，点 $P$ 叫做 $△ A B C$ 的重心．

【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当 $△ A B C$ 的中线 $A D$ ， $B E$ 交于点 $P$ 时，不管 $△ A B C$ 的边长如何变化，线段 $A P$ 与 $P D$ 存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：

	思路一	思路二
第一步	如图3，取 $A D$ 中点 $M$ ，连接 $E M$ ，证明 $△ B D P ∽ △ E M P$	如图4，作 $A N$ 平行 $B C$ 交 $B E$ 延长线于点 $N$ ，先证明 $△ B C E ≌ △ N A E$ ，再证明 $△ B D P ∽ △ N A P$ ；
第二步	利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段 $A P$ 与 $P D$ 之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段 $A P$ 与 $P D$ 之间的数量关系．
第三步

在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；

【问题解决】（2）在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合）．

①如图II，若点 $M$ 是弦 $B C$ 的中点， $A M$ 交 $O C$ 于点 $E$ ，则 $\frac{O E}{O C}$ 的值为_____．

②如图III，在①的条件下，若 $A M ⊥ O C$ ，求 $\frac{O M}{O B}$ 的值．

③如图IV，若 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ， $D$ 为弦 $B C$ 上一动点，过 $D$ 作 $D F ⊥ O C$ ，交 $O C$ 于点 $H$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．设， $B D = x$ ， $E O = y$ ，请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

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4、某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地 $A B C D$ 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知 $A D = 52 m, A B = 28 m$ ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为 $640 m^{2}$ ．

(1)、求道路的宽是多少米?

(2)、该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益．

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + 4 (a \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．

(1)、求a与k的值；

(2)、设直线 $A B$ 与x轴、y轴的交点分别为C，D，求 $△ C O D$ 的面积．

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6、2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．恩平市体育学校的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下．他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是 $C$ （冲浪）和 $D$ （运动攀岩）的概率．

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7、原点 $O$ 为 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的位似中心，位似比为 $\frac{1}{2}$ ．若点 $A$ 的坐标为 $(4, 6)$ ，则对应点 $A_{1}$ 的坐标可以为．

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8、数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：．

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9、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，过点C的切线与 $A B$ 的延长线交于点P，若 $A C = P C$ ，则 $∠ P$ 的度数是（　　）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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10、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $c$ 的值为（　　）

A、 $- 12$ B、 $- 9$ C、 $9$ D、 $12$

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11、方程 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ 配方结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 7$ B、 ${(x + 4)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 7$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 25$

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12、

(1)、如图 $1$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，作 $B E$ 垂直于 $C D$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ．
求证： $△ A B C ∽ △ B C F$ ．

(2)、如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A G ∥ B C$ 交 $B F$ 的延长线于点 $G$ ，若 $A G = A C$ ．
①求证： $△ G E A ≌ △ A B C$ ；
②求 $\frac{E F}{B F}$ 的值．

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13、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 与过 $C$ 点的直线互相垂直，垂足为 $D$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ．

(1)、求证： $D C$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(2)、连接 $B C$ ，若 $∠ D A C = 30 °$ ， $D C = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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14、贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降 $x (0 \leq x \leq 20)$ 元．

(1)、若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？

(2)、当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？

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15、如图，一辆车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点 $P$ 到地面的距离 $P C = 2 m$ ，看前方一栋建筑物顶部点 $M$ 的仰角为 $53 °$ ，且点 $P$ 与建筑物 $M N$ 的水平距离为 $20 m$ ．

(1)、求建筑物 $M N$ 的高度；

(2)、驾驶员从点 $P$ 看地面的斑马线两端 $A, B$ 的俯角分别为 $20 °$ 和 $76 °$ ，求斑马线的宽度 $A B$ ．（结果保留一位小数；参考数据： $tan 53 ° \approx 1.33$ ， $tan 20 ° \approx 0.36$ ， $tan 76 ° \approx 4.01$ ）

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16、一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共 $50$ 个，这些球除颜色外无其他差别．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）．
摸球的次数 $n$
$100$
$200$
$300$
$500$
$800$
$1000$
摸到黑球的次数 $m$
$65$
$118$
$189$
$310$
$482$
$602$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$
$0.650$
$0.590$
$0.630$
$0.620$
$0.603$
$0.602$

(1)、根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位）

(2)、根据（1）中估计的概率估计一下，这 $50$ 个球中，黑球有______个；

(3)、某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图或列表的方法求摸出的两个球的颜色不同的概率．

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17、如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A E F$ ，点E恰好落在 $B C$ 边上， $E F$ 与 $A C$ 相交于点G， $B E = 6$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $∠ C = 25 °$ ，求 $∠ F G C$ 的度数．

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18、已知反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ ．

(1)、①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格；
$x$
$\dots$
$- 5$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$\dots$
$y$
$\dots$
$1$

$\frac{5}{3}$
$\frac{5}{2}$

$- 5$

$- \frac{5}{3}$

$- 1$
$\dots$
②在下图中画出函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象．

(2)、函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象位于第象限，在每个象限内，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而．

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19、（1）解方程： ${(x + 3)}^{2} = 4 (x + 3)$ ；
（2）计算： $2 sin 60 ° + \sqrt{2} cos 45 ° - tan 30 °$ ．

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20、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，它的对称轴为直线 $x = 1$ ，给出下列结论：① $a b c < 0$ ；②当 $x > 2$ 时， $y > 0$ ；③ $\frac{10}{3} a + c < 0$ ；④ $a + b \leq m (a m + b)$ （ $m$ 为任意实数）．其中正确的有．（填序号）

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摸球的次数 $n$	$100$	$200$	$300$	$500$	$800$	$1000$
摸到黑球的次数 $m$	$65$	$118$	$189$	$310$	$482$	$602$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$	$0.650$	$0.590$	$0.630$	$0.620$	$0.603$	$0.602$

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\dots$
$y$	$\dots$	$1$		$\frac{5}{3}$	$\frac{5}{2}$		$- 5$		$- \frac{5}{3}$		$- 1$	$\dots$