相关试卷

1、已知 $m = 5 + \sqrt{7}$ ， $n = 5 - \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $m^{2} - m n + n^{2}$ 的值；

(2)、若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求 $m a + n b$ 的值．

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2、如图，点P是矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点，过点P作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B 、 C D$ 于E，F，连接 $P B ， P D$ ．若 $A E = 2 ， P F = 9$ ，则图中阴影部分的面积是．

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3、如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $C D$ 是 $△ A B C$ 的高线，若 $A B = 6$ ， $C D = 4$ ，则 $D E$ 的长度为．

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4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的面积分别是 $3$ ， $6$ ， $3$ ， $4$ ，则正方形 $G$ 的面积是．

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5、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，点M，N分别是边 $A B$ ， $A D$ 上的动点，点M不与A，B重合，且 $M N = A B$ ， P是五边形 $B M N D C$ 内满足 $P M = P N$ 且 $∠ M P N = 90 °$ 的点．现给出以下结论：
① $∠ B M P = ∠ A N P$ ；
②点P到边 $A B$ ， $A D$ 的距离一定相等；
③点P到边 $B C$ ， $C D$ 的距离可能相等；
④点P到边 $A B$ 的距离的最大值为1；
其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7、如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点P为 $C D$ 的中点，点Q为 $A P$ 的中点，且 $B Q ⊥ A P$ ．记 $B C$ 的长为m， $B D$ 的长为n，当平行四边形 $A B C D$ 的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式 $m^{2} + n^{2}$ 的值始终为定值，则这个定值是（）

A、72 B、81 C、90 D、91

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8、在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 63 °$ ，则∠B的度数是（）

A、 $116 °$ B、 $117 °$ C、 $118 °$ D、 $120 °$

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9、如图， $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 80 °$ ， $∠ 3 = 120 °$ ，则 $∠ 4 =$ （）

A、 $50 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $110 °$

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10、如图，在 $3 \times 2$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 $A, B, C, D$ 都在格点上，以 $A$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，交 $C D$ 于点 $E$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $3 - \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $3 - \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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11、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = 2 \sqrt{5}$ B、 $∠ B A C = 90 °$ C、 $S_{△ A B C} = 10$ D、 $B C$ 边上的高为2

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12、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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13、先化简，再求值： $[{(x + y)}^{2} + (x + y) (x - y)] \div 2 x$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = 5$ ．

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14、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} + {(- 2)}^{3}$ ．

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15、已知 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ A$ 的余角的度数为．

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16、情境：
将图1中长为 $26 cm$ ，宽为 $20 cm$ 的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是嘉嘉折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠）
操作：
（1）如图3，嘉嘉将图1中的矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M N$ 折叠，点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $M D$ 边上，求证： $A^{'} B^{'} ∥ C D$ ．
（2）如图4，将 $E M$ 和 $E N$ 分别沿着 $E P$ 和 $E Q$ 折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边 $P Q$ 与 $C D$ 平行，且 $P Q$ ， $A^{'} B^{'}$ ， $C D$ 三条线段中相邻的两条之间距离均为 $x cm$ ．
①直接写出 $△ E P M^{'}$ 的形状．
②求x的值．
探究：
（3）如图5，在 $C D$ 上选取点F，将四边形 $E P D F$ 沿着 $E F$ 折叠，使 $E P$ 的对应边所在直线与 $E M^{'}$ 所在直线重合，点D的对应点为 $D^{'}$ ，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为 $C^{'}$ ，点E到 $C^{'} D^{'}$ 的距离 $E G$ 为飞机的最大长度，请直接写出这个最大长度．

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17、【模型建立】
美国总统伽菲尔德利用图 $1$ 验证了勾股定理，过等腰 $R t △ A C B$ 的直角顶点 $C$ 作直线 $l$ ，再过点 $A$ 作 $A G ⊥ l$ 于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ l$ 于点 $H$ ，易证得： $△ A G C ≌ △ C H B$ ．我们称这种全等模型为“ $K$ 型全等”（无需证明）．
【模型应用】

(1)、如图 $2$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则点 $B$ 的坐标为；

(2)、如图 $3$ ，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = - 3 x + 6$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C$ 、点 $A$ ，将直线 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的函数表达式为；

(3)、如图 $4$ ，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x + 2$ 的图像分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C$ 、点 $A$ ，点 $P$ ， $Q$ 是正比例函数 $y = k x (k < 0)$ 图像上两点，若 $C Q ⊥ P Q$ ， $C Q = 1$ ，则点 $A$ 到直线 $P Q$ 的距离为；

(4)、【模型拓展】
如图 $5$ ，在平面直角坐标系中，点 $B$ 的坐标为 $(5, 2)$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，作 $B A ⊥ y$ 轴于点 $A$ ，点 $N$ 是线段 $B C$ 上一点，点 $M$ 在直线 $y = x + 1$ 上．当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 构成等腰直角三角形时，直接写出点 $M$ 的横坐标．

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18、【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点M、N分别在边 $A C 、 B C$ 上，且 $A M = C N$ ，试探究线段 $M N$ 长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②、过点C、M分别作 $M N 、 B C$ 的平行线，并交于点P ．作射线 $A P$ ．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

(1)、证明： $A M = M P$ ；

(2)、 $∠ C A P$ 的大小为度，线段 $M N$ 长度的最小值为

(3)、如图③，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 9, B C = 4$ ， G是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动，若 $E F = 1$ ，求 $G E + C F$ 的最小值．

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19、某快递公司每天上午 $9 : 00 ~ 10 : 00$ 为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段 $O A$ 和线段 $B C$ 分别表示甲乙两仓库快件数量 $y$ （件）与时间 $x$ （分）之间的函数图象．

(1)、甲仓库每分钟揽收件快递；

(2)、求线段 $B C$ 对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）；

(3)、从 $9 : 00$ 开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同．

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点E ，若 $B E = 4, A B = 6$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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