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1、综合与实践
【问题背景】
如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动。
【问题解决】
请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解。
(1)、方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 B 处测得边缘点 C的仰角为α（测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长：（用含α的代数式表示)
(2)、方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长；
(3)、方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜。目高为1.5m（即EF=1.5m)的小亮在点 F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点 D，并测量得到如下三个数据：BQ=a， QF=b， FN=c。已知∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式。（结果可含字母)
我选择数据： ▲ ，
求解过程如下：
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2、在 中， BC=BD。
图1 图2
(1)、如图1，在 CD边上求作一点 E，连接BE，使得BE 最短； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)、如图2，以BD为直径的半圆交AB于点 F， G是CD上一点，连接DF， BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： ▲ ， 使得四边形BDHF为矩形，并说明理由。 -
3、 2026年被公认为“智能AI 元年”，AI产品深受欢迎。某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售。据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A 型和3件B型产品需要11万元。(1)、求每件A 型和B型产品的进价分别是多少万元?(2)、若该公司计划购买这两种型号的产品共12 件（两种型号的产品均购买)，购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品?
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4、某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个。为了评估广告效果，该电商随机抽取了 500 名看过广告的用户和 500 名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元)，并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元， C类200元， D类300元， E类400元， F类500元，进行了如下分析。
(1)、【整理数据】补全条形统计图，扇形统计图中m= ▲ ；
(2)、【分析数据】下表中a= ， b=；
消费金额的平均数
消费金额的中位数
消费金额的众数
看过广告组
186
200
a
未看过广告组
117
b
0
(3)、【判断决策】电商是否有必要继续投放该商品的广告?请你根据上述数据，做出判断并说明理由。
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5、先化简，再求值： 其中a=2。
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6、计算：
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7、如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线， BE⊥AD于点E。若AE=2， 则△ACD 的面积为。
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8、排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的倍。
音阶
do
re
mi
fa
so
la
xi
do'
半音数n
0
2
4
5
7
9
11
12
频率
f0
f0·q2
f0·q4
f0·q5
f0·q7
f0·q9
f0·q11
f0·q12
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9、如图，已知正方形ABCD的边长为 ， 对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为。
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10、老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外)，其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个。小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为。
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11、写出不等式x-3>0的一个整数解：。（写出一个即可)
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12、在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（ ）
A、5（x+180)+4x=7200 B、 C、 D、 -
13、在平面直角坐标系xOy中，已知A（4， 0)， B（0， 4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1 ， △OBC的面积为S2 ， 则 的值为（ ）
A、 B、1 C、 D、2 -
14、如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案。根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m，纵向长度BD为3m，则菱形ABCD的边长是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
15、如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（ ）
A、70° B、90° C、105° D、140° -
16、如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断a∥b（ ）
A、∠1=110°， ∠2=70° B、∠1=110°， ∠4=110° C、∠2=70°， ∠3=70° D、∠1=110°， ∠3=70° -
17、下列计算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、
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18、如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ）
A、
B、
C、
D、
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19、综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动. 如图 1，这是凹面镜的剖面图，从位于点 O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线 BA，CD都是水平线，即BA||CD.
(1)、【探索发现】如图 1， ∠ABO， ∠OCD， ∠BOC之间的数量关系为 .
(2)、【深入探究】如图 2，直线 AB||CD，E， G分别为直线 AB， CD上的点， F是平面内的任意一点， 连接 EF， GF. P，Q都是直线 CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线 MN||FG， 交 FQ于点 K， 试猜想 与 之间的数量关系，并说明理由.
(3)、 在 （2） 的条件下， 若∠NKQ=∠AEF， 试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系. -
20、综合与探究.
若 x满足 （30-x) （x-20) =16，求（30-x) 2+ （x-20) 2的值.
解：设30-x=a， （x-20) =b，则 （30-x) （x-20) = ab=16， a+b= （30-x) + （x-20) =10，
∴（30-x）2+（x-20）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=102-2×16=68.
(1)、 【类比探究】若 x满足 （80-x) （x-60) =150， 求（80-x) 2+ （x-60) 2的的值；(2)、 【联系拓展】若 x满足 （2026-x) （2020-x) =5， 求 的值；(3)、 【解决问题】如图， 在长方形 ABCD 中，AB=21，BC=17， 点 E、F是 BC、CD上的点， 且BE=DF=x，分别以 FC、CE为边在长方形 ABCD外侧作正方形 CFGH和正方形 CEMN，若长方形 CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位?